11.2 第3课时 利用一元一次不等式解决方案问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学讲解课件(人教版·新教材)河北专版

该初中数学课件聚焦利用一元一次不等式解决方案问题，先通过回顾列不等式步骤搭建基础，再以购物选择情境导入，衔接旧知与新知，引导学生从实际问题中抽象不等关系。 其特色在于通过分类讨论、表格对比等方法培养数学思维与模型意识，如例1分购物款范围分析最优方案，例2结合促销方案构建不等式模型。助力学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第十一章 不等式与不等式组 11. 2 一元一次不等式 第3课时 利用一元一次不等式解决方案问题 学习目标 会用一元一次不等式解决生活中的利润、方案选择等较复杂问题，进一步体会数学建模思想，提高分析问题，解决问题的能力． 学习重难点 分析实际问题中的不等关系，列出一元一次不等式. 抓住问题中的关键点分类讨论，抽象出不等关系，建立不等式模型进行求解. 难点 重点 回顾复习 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤 ① 审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系. ② 设：设出适当的未知数. ③ 列：根据题中的不等关系列出不等式. ④ 解：解不等式，求出其解集. ⑥ 答：写出答案. ⑤ 验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 创设情境 现实生活中，我们天天都面临着各种选择，例如，同样一支钢笔，甲超市卖10元，乙超市卖12元，你会选择到哪家超市购买呢？这节课我们来列一元一次不等式讨论生活中最常见的购物问题. 例1 甲、乙两超市以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 分析 我们需要分三种情况讨论： (1) 累计购物不超过 50 元； (2) 累计购物超过 50 而不超过 100 元； (3) 累计购物超过 100 元. 新知探究 知识点 利用一元一次不等式解决决策问题 你能从表格中看出在哪家超市花费少吗？ (1) 当累计购物不超过 50 元时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，且两超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费相同. 购物款 到甲超市花费 到乙超市花费 0< x ≤50 50< x ≤100 x >100 x x 100+0.9(x-100) x 50+0.95(x-50) 50+0.95(x-50) (2)当累计购物超过 50 元而不超过 100 元时，享受乙超市的购物优惠，不享受甲超市的购物优惠，因此到乙超市购物花费少. (3)当累计购物超过 100 元时，两个超市都享受购物优惠，需要列不等式求解. ①若到甲超市购物花费少，则100+0.9(x-100)＜50+0.95(x-50)，解得x>150. 这就是说,累计购物超过 150 元时,到甲商场购物花费少. ②若到乙超市购物花费少，则100+0.9(x-100)＞50+0.95(x-50)，解得x<150. 这就是说，累计购物超过 100 元而不到150 元时，到乙商场购物花费少. ③若到两超市购物花费相同，则100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50)，解得x=150. 这就是说，累计购物为 150 元时，到甲、乙两超市购物花费相同. 现在你能给出一个合理的消费方案了吗？ 购物不超过 50 元或等于 150 元时，到两家超市购物话费相同；当超过 50 元而不到 150 元时，到乙超市购物花费较少；当超过 150 元时，到甲超市购物花费较少． 例题示范 例1 某旅游景区为了保护环境，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共10台(每种型号至少买1台).已知每台A型设备日处理能力为12 t，每台B型设备日处理能力为15 t，购回的设备日处理能力不低于140 t. (1)请你为该景区设计购买A，B两种设备的方案. (2)已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按九折优惠，问：采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？ 解：(1)设购买A型设备x台，则购买B型设备(10－x)台． 根据题意，得12x＋15(10－x)≥140， 解得x≤3 . ∵x为正整数，∴x＝1，2，3. ∴该景区有三种购买方案： 方案一：购买A型设备1台，B型设备9台； 方案二：购买A型设备2台，B型设备8台； 方案三：购买A型设备3台，B型设备7台． (2)各方案购买费用分别为： 方案一：3×1＋4.4×9＝42.6(万元)＞40万元， 实际付款：42.6×0.9＝38.34(万元)； 方案二：3×2＋4.4×8＝41.2(万元)＞40万元， 实际付款：41.2×0.9＝37.08(万元)； 方案三：3×3＋4.4×7＝39.8(万元)＜40万元， 实际付款：39.8万元． ∵37.08＜38.34＜39.8， ∴采用(1)设计的第二种方案，购买费用最少． 例2 友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的九折销售.方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台. (1)当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围. 解：(1)当x＝8时，方案一费用：0.9a·8＝7.2a(元)， 方案二费用：5a＋0.8a×(8－5)＝7.4a(元)． ∵a＞0，∴7.2a＜7.4a. ∴方案一费用最少，最少费用为7.2a元． (2)若x≤5，方案一每台按售价的九折销售，方案二每台按售价销售． 所以采用方案一购买合算． 若x＞5，方案一的费用：0.9ax元； 方案二的费用：5a＋0.8a×(x－5)＝(0.8ax＋a)元． 由题意得0.9ax＞0.8ax＋a，解得x＞10. ∴若该公司采用方案二购买更合算，x的取值范围是x＞10且x为正整数． 14 随堂练习 1.张明准备重新装修自家店面．现有甲、乙两家装修公司可供选择，这两家装修公司提供的信息如下表所示： 若设需要x天装修完毕，请解答下列问题： (1)请分别用含x的式子表示出甲、乙两家公司的装修总费用； (2)当装修天数为多少时，两家公司的装修总费用一样多？ (3)根据装修天数x讨论选择哪家装修公司更合算. 装修公司 装修工人/名 每名装修工人费用/(元·天) 设计费/元 甲 10 200 3 000 乙 15 150 2 000 解：(1)选择甲装修公司的装修总费用为200×10x＋3 000＝(2 000x＋3 000)元； 选择乙装修公司的装修总费用为150×15x＋2 000＝(2 250x＋2 000)元． (2)依题意，得2 000x＋3 000＝2 250x＋2 000，解得x＝4. 答：当装修天数为4天时，两家公司的装修总费用一样多. (3)当2 000x＋3 000＞2 250x＋2 000时，x＜4， 又∵x＞0，∴当0＜x＜4时，选择乙装修公司更合算. 由（2）得，当x＝4时，选择两家装修公司装修总费用一样多. 当2 000x＋3 000＜2 250x＋2 000时，x＞4， ∴当x＞4时，选择甲装修公司更合算. 答：当0＜x＜4时，选择乙装修公司更合算；当x＝4时，选择两家装修公司装修总费用一样多；当x＞4时，选择甲装修公司更合算. 2.某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个. (1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数； (2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，将所有参加活动 的师生装载完，求租用小客车数量的最大值. 解：(1)设每辆大客车的乘客座位数是x个，每辆小客车的乘客座位数是y个． 根据题意，得解得 答：每辆大客车的乘客座位数是35个，每辆小客车的乘客座位数是18个． (2)设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完，则 18a＋35(6＋5－a)≥300＋30，解得a≤3. 符合条件的a的最大整数值是3. 答：租用小客车数量的最大值为3. 1．建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方103．2万立方. (1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ (2)在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？ 拓展提升 解：(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方． 根据题意，得解得 答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方． (2)设乙队平均每天的施工土方量要比原来提高z万立方． 根据题意，得40(0.38＋z)＋110(0.38＋z＋0.42)≥120， 解得z≥0.112. 答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高 0.112万立方才能保证按时完成任务． 归纳小结 1 审题 2 设未知数 3 （分类讨论） 列不等式 4 解不等式 5 检验 6 作答 $