学易金卷：八年级数学下学期3月学情自测卷（安徽专用，范围：新教材沪科版八下第16～17章）

( 11 ) 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 . ________________ 1 3 . ________________ 1 2 . ________________ 1 4 . _______ _______ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 8 分） 17 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 10 分） 2 1 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 4 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B A C B A B C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11． 12．且 13．20或27 14． 9 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．【详解】（1）解：原式 ；（4分） （2）解：原式 ．（8分） 16．【详解】（1）解：， 直接开平方得： 或 ， 解得：，；（4分） （2）解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：，．（8分） 17．【详解】解：∵，， ∴， ， （8分） 18．【详解】（1）证明：由题意，得， ∴无论取何值，该方程总有实数根．（3分） （2）解：∵等腰三角形的底边长为5， ∴另两边的长为等腰三角形的腰长， 即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴这个等腰三角形的三边长分别为3，3，5， ∴这个等腰三角形的周长为．（8分） 19．【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴此三角形是奇异三角形；（4分） （2）解：设第三边为x， 当边长为4的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴或， 解得或（舍去）；或（舍去）； 当边长为x的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，第三边的长为或或．（10分） 20．【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为；（5分） （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价10元时，商场获利1250元．（10分） 21．【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：；（4分） （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：；（8分） （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：．（12分） 22．【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；；（2分） （2）解：∵， 故答案为：；（4分） （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或；（8分） （4）解：∵ ， ∴．（12分） 23．【详解】（1）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为，即的最小值为．（4分） （2）解：，理由如下： ， ， ， ∴．（8分） （3）解：由题意得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为9，即：当的值为3时，的面积最大，最大值为． ∵四边形的面积 ， 当的面积最大时，四边形的面积有最小值， 即当时，四边形面积的最小值，最小面积为．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =。===。=●一一==-===-====。一=-。=。= 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1[/1 一、 单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。) 1.A1[B1[CJ[D1 5.[AJ[B][C1[D1 9.[AJ[B][C][D1 2[A][B][C][D] 6.A][B][C][D1 10.A][BJ[C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.A][B][CJ[D1 8.[A][B][C][D] 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11. 12. 13 14. 三、解答题（本题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(8分) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（14分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版八年级下册第16~17章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的为（    ） A． B． C． D． 2．（4分）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 3．（4分）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 4．（4分）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C．-2025 D．2026 5．（4分）在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 6．（4分）估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 7．（4分）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A． B． C． D． 8．（4分）已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（4分）股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ）． A． B． C． D． 10．（4分）已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．（5分）关于x的一元二次方程方程有实数根，则m的取值范围是 ． 13．（5分）一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 14．（5分）在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为 ． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．（8分）计算： (1)； (2)． 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 17．（8分）已知，，求的值． 18．（8分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 19．（10分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若△ABC的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若△ABC是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 20．（10分）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 21．（12分）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 22．（12分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 23．（14分）配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值． 解：． ， ， 当时，取最大值，最大值是5． 试利用配方法解决下列问题： (1)求出的最小值． (2)已知，试判断的大小，并说明理由． (3)如图，在△ABC中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？ 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版八年级下册第16~17章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的为（    ） A． B． C． D． 2．（4分）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 3．（4分）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 4．（4分）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C．-2025 D．2026 5．（4分）在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 6．（4分）估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 7．（4分）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A． B． C． D． 8．（4分）已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（4分）股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ）． A． B． C． D． 10．（4分）已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．（5分）关于x的一元二次方程方程有实数根，则m的取值范围是 ． 13．（5分）一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 14．（5分）在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为 ． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．（8分）计算： (1)； (2)． 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 17．（8分）已知，，求的值． 18．（8分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 19．（10分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若△ABC的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若△ABC是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 20．（10分）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 21．（12分）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 22．（12分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 23．（14分）配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值． 解：． ， ， 当时，取最大值，最大值是5． 试利用配方法解决下列问题： (1)求出的最小值． (2)已知，试判断的大小，并说明理由． (3)如图，在△ABC中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版八年级下册第16~17章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足三个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式；分母不含根号，根号内不含分母． 【详解】解：选项A：的分母含有根号，需要分母有理化为， 不是最简二次根式，故A选项不符合题意； 选项B：中将化为分数， 根号内分母含非平方数因数，需化简为， 不是最简二次根式，故B选项不符合题意； 选项C：的分子中无法再开方，分母无根号，且被开方数不含平方因子， 是最简二次根式，故C选项符合题意； 选项D：的被开方数，含平方因子，可化简为， 不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（4分）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基础知识是解题的关键； 先将原方程变形为一般形式，进而得到答案. 【详解】解：原方程即为， 所以方程的一次项系数是； 故选：C. 3．（4分）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【分析】考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先把每个选项中的m的值代入，根据二次根式的性质进行化简，如果和是同类二次根式就可以合并，否则不能合并． 【详解】解：A、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、当时，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； D、当时，，与是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（4分）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C． D．2026 【答案】B 【分析】主要考查了利用方程根的定义和根与系数的关系求解．将代入原方程得到的表达式，再结合的值整体代入目标式即可． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ ，即， 代入所求式： ， 由根与系数的关系，方程两根之和为， ∴ ． 故选：B． 5．（4分）在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 【答案】A 【分析】考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 把分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵， ∴，故甲的结果正确； ，故乙的结果正确； ，故丙的结果正确； 故选：A 6．（4分）估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 根据二次根式的乘法化简式子，然后再估算结果的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在5到6之间． 故选：C． 7．（4分）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了实数与数轴，实数的运算，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键； 先根据数轴推出，，，据此计算算术平方根、乘方和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：有数轴得，， ∴，， ∴， ． 故选∶B． 8．（4分）已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】考查了解一元二次方程，将原方程变为，再转化为关于的一元二次方程，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， 故选：A． 9．（4分）股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了一元二次方程的应用．先设原价为a元，可得跌停后的价格，再根据增长两天回到原价列出方程即可． 【详解】解：设原价为a元，则跌停后的价格，根据题意，得 ， 即． 故选：B． 10．（4分）已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键． ①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立； ②代入验证是否满足方程； ③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可； ④将所求式子作差，判断差的情况即可． 【详解】解：①∵方程的两个根为和1， ∴ ， ，∴，， ∴，故说法①不正确； ②若，代入得，即方程有一根为，故②正确； ③当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④∵是方程的一个根，∴ ， ∵ ∴，故说法④正确． 综上，正确说法为②③④， 故选：C． 二、填空题（共20分） 11．（5分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义、分式有意义的条件的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，根据分式有意义的条件得出，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12．（5分）关于x的一元二次方程方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0，方程有实数根，得到判别式大于等于0，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故答案为：且． 13．（5分）一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 【答案】20或27 【分析】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的周长即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 当时，， ∴三角形的周长为：； 当时，， ∴三角形的周长为：； 综上所述，三角形的周长是20或27． 故答案为：20或27． 14．（5分）在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为 ． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 9 【分析】主要考查了正方形和长方形．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，求一个数的算术平方根，是解题的关键． （1）根据较小正方形的面积为8，根据正方形面积公式直接开方求出边长； （2）先根据两个空白部分的对称性得出它们面积相等，进而推出重叠部分是正方形，求出其边长。再通过空白部分面积和较小正方形边长求出空白长方形的宽和长，从而得到较大正方形边长和面积，最后用大正方形面积减去重叠部分面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）∵较小的正方形面积为8， ∴较小正方形的边长为， 故答案为：； （2）①∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴； ②由①得，重叠部分也为正方形， ∵重叠部分的面积为3， ∴重叠部分的边长为， ∴一个空白长方形的宽为：， ∵两处空白部分的面积为：， ∴一个空白长方形面积为： ， ∴一个空白长方形的长为：， ∴较大正方形边长为：， ∴大正方形面积， ∴阴影部分的面积为 故答案为：；9． 三、解答题（共90分） 15．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解：， 直接开平方得： 或 ， 解得：，； （2）解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：，． 17．（8分）已知，，求的值． 【答案】 【分析】主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 先将分式通分，再把字母的值代入相应的式子运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 18．（8分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】考查一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键． （1）根据完全平方公式的非负性判别即可得到证明； （2）解一元二次方程，再根据周长公式求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意，得， ∴无论取何值，该方程总有实数根． （2）解：∵等腰三角形的底边长为5， ∴另两边的长为等腰三角形的腰长， 即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴这个等腰三角形的三边长分别为3，3，5， ∴这个等腰三角形的周长为． 19．（10分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析； (2)或或 【分析】主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）可证明，据此可得结论； （2）设第三边为x，分边长为4的边是最长边和边长为x的边是最长边两种情况，根据奇异三角形的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； （2）解：设第三边为x， 当边长为4的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴或， 解得或（舍去）；或（舍去）； 当边长为x的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，第三边的长为或或． 20．（10分）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 【答案】(1) (2)10元 【分析】考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据商场获利1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价10元时，商场获利1250元． 21．（12分）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】主要考查了二次根式的混合运算． （1）观察各个特例可知：等式左边被开方数的被减数等号右边二次根式的系数特例序号，等式左边被开方数的减数等号右边的被开方数，由此规律求出答案即可； （2）按照（1）中的特例找出规律，进行解答即可； （3）根据（2）中找出规律，求出a，b，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 22．（12分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【分析】考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 23．（14分）配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值． 解：． ， ， 当时，取最大值，最大值是5． 试利用配方法解决下列问题： (1)求出的最小值． (2)已知，试判断的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？ 【答案】(1)． (2)．理由见解析 (3)时，四边形面积的最小值，最小面积为． 【分析】主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方的非负性求出当的值为3时，的面积有最大，最大值为．由四边形的面积得到当时，四边形面积的最小值，最小面积为． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为，即的最小值为． （2）解：，理由如下： ， ， ， ∴． （3）解：由题意得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为9，即：当的值为3时，的面积最大，最大值为． ∵四边形的面积 ， 当的面积最大时，四边形的面积有最小值， 即当时，四边形面积的最小值，最小面积为． / 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