6.4.2正弦定理（课件）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

6.4.2正弦定理 高教版（第三版）·拓展模块 第六单元 三角计算 学习目标 知识层面 理解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理的公式形式与适用范围 能力层面 能运用正弦定理解决三角形中已知两角任一边、已知两边及一边对角的求解问题，实现三角形边与角的相互转化 核心素养层面 通过正弦定理的探究与应用，培养数学抽象和逻辑推理能力，提升数学建模与数学运算的核心素养 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 知识回顾：三角形面积公式 任意三角形的面积等于它的两条边长及其夹角正弦的乘积的一半 教学导入 情景导入 神舟二十一号发射 神舟二十一号载人飞船于北京时间2025年10月31日23时44分发射.在这激动人心的时刻，让我们将目光投向浩瀚的太空，思考一个实际的问题： 思考：卫星距离我们到底有多远呢？能用我们所学知识进行估算吗？ 教学导入 情景导入 月球是地球的自然卫星，了解月球与地球之间的距离对于天文学和航天工程等领域至关重要. 地面上的科学家，只要对准月球的相应位置发射一束强激光束，就能收到镜面反射回来的峰值，根据激光来回的时间，就能精确测量地月距离. 求地月距离 教学导入 情景导入 求地月距离 教学导入 情景导入 求地月距离 2 知识讲授 知识讲授 解三角形的应用历史 在数学发展历史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被用于解决许多测量问题. 测量地球与月亮之间的距离 测算台风的影响范围 知识讲授 无线电“猎狐” 无线电测向运动是利用无线电信号迅速、准确地测定出隐蔽电台方位, 并寻找出隐蔽电台的一种体育竞技运动, 也称无线电“猎狐”.如图所示, 运动员在A、B两点使用测向机分别测得隐蔽电台的方向, 这两个方向的交点C 就是目标所在的位置, 即隐蔽电台的位置. 思考：若测得怎样计算和的长度呢？ 这里已知两角及夹边，能求出另外两边的边长吗？ 知识讲授 公式推导 即 两边同时除以， 知识讲授 正弦定理公式 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等.即，在任意△ABC 中，都有： 适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立，无特殊限制. 结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦值. 揭示规律：建立了三角形中三条边与对应角的正弦之间的等量关系. 知识讲授 正弦定理公式 容易看出，利用正弦定理可以解决下列问题： 已知两角和任一边，求其他的边和角 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角 实现三角形中“边”与“角”的互相转化 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等.即，在任意△ABC 中，都有： 知识讲授 知识储备 初中学过的中边、角关系有哪些？ 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 勾股定理： 大边对大角；小边对小角 知识讲授 正弦定理的发展史 最早提出 阿拉伯的数学家阿布尔提出了平面三角的正弦定理 1030年 首次证明 数学家阿尔毕鲁尼首次对定理进行了证明 1464年 清晰展示 德国数学家雷格蒙塔努斯在他的著作《论各种三角形》中清晰地将定理展示出来 在后来很漫长的一段时间，人们才慢慢地接受并应用正弦定理 知识讲授 新知速记 公式纠错 知识讲授 案例分析 例1 解： 知识讲授 案例分析 例2 解： 知识讲授 案例分析 例2 解： 因为钝角三角形只能有一个内角为钝角，∠B为钝角，所以∠A只能是锐角. 知识讲授 案例分析 例3 解： 将以上两式代入已知中, 得 又因为, 所以. 知识讲授 案例分析 例4 解： ， 知识讲授 新知速记 公式填空 3 学以致用 学以致用 练习 1.在中，，则是（   ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.针角三角形 [答案] [分析]根据正弦定理得出，即可确定三角形的形状. [详解]已知在中，， 所以为等腰三角形． 学以致用 练习 2.在中，，则（    ） [答案] [分析]根据三角形的内角和为180°，以及正弦定理即可求解. [详解]在中，, , 学以致用 练习 3.在中，，则的值是（    ） [答案] [分析]正弦定理即可求解. [详解]在中，, 4 课堂练习 课堂练习 练习 1.判断正误: (1)正弦定理只适用于锐角三角形.( ) (2)正弦定理不适用于直角三角形. ( ) (3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值( ) √ × × 课堂练习 练习 2. 【解析】 课堂练习 练习 3. 【解析】 课堂练习 练习 4. 【解析】 又因为，所以或． 又因为 所以 课堂练习 练习 5. 【解析】 课堂练习 练习 【解析】 5 课堂小结 课堂小结 正弦定理公式 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等.即，在任意△ABC 中，都有： 容易看出，利用正弦定理可以解决下列问题： 已知两角和任一边，求其他的边和角 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角 实现三角形中“边”与“角”的互相转化 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. $