6.4.1 三角形面积公式（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第六章 三角计算 6.4.1 三角形面积公式 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节的三角形面积公式（两边及夹角形式）是解三角形的重要工具，既衔接了初中所学的底乘高面积公式，又为后续解决复杂的几何计算、实际应用问题奠定基础。教材通过坐标法推导公式，渗透数形结合思想，让学生从代数角度理解几何图形的数量关系，体现了数学知识的逻辑性和关联性。本节内容的学习，能帮助学生完善解三角形的知识体系，提升运用三角知识解决实际问题的能力。 五、学情分析 中职学生抽象思维能力较弱，对公式的推导过程理解易流于表面，且在公式应用中容易出现“选边选角错误”“忽略角的取值范围讨论”等问题。同时，学生对实际应用类问题的审题和建模能力有待提升，教学中需结合直观演示、实例分析降低理解难度，通过针对性练习强化公式的正确使用。 六、教学目标 知识层面 理解三角形面积公式的推导过程，掌握公式、结构特征与适用条件 能力层面 能根据已知条件正确选择面积公式完成计算 核心素养层面 通过坐标法推导公式的过程，体会数形结合思想，培养数学运算与逻辑推理能力 七、教学重点 1.三角形面积公式的推导与识记。 2.能根据已知的两边及夹角，正确运用公式计算三角形面积。 八、教学难点 1.利用坐标法结合三角函数定义推导三角形面积公式的过程理解。 2.已知三角形面积和两边，求解夹角时，对角度取值范围的讨论。 九、教学方法 1.情境教学法：通过中国古代三角形瓦当的实际情境引入，激发学生的学习兴趣和民族文化认同感。 2.探究式教学法：引导学生自主参与公式的推导过程，通过观察、分析、推理，体验知识的形成过程。 3.讲练结合法：结合典型例题讲解公式的应用方法，通过即时练习、小组合作练习巩固知识，及时反馈学习效果。 4.直观演示法：利用坐标系图形演示点的坐标推导过程，将抽象的代数推导转化为直观的几何图形，降低理解难度。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 三角形的历史 播放视频 瓦当 属于中国古代建筑构件，是覆盖建筑檐头筒瓦前端的遮挡物，兼具保护屋檐、装饰建筑的作用. 整体为三角形轮廓，内部以对称的卷云纹为主要纹饰，线条古朴流畅，是典型的传统瓦当工艺风格. 转化为几何图形 思考：三角形的面积与什么有关？ 解三角形 在 中，常用、、表示三个角，用、、分别表示这三个角的对边；根据已知条件求三角形的边和角的过程称为解三角形； 余弦定理和正弦定理反映了任意三角形中边和角之间的数量关系，是解三角形的重要工具. 1. 结合传统文化情境引入，激发学生学习兴趣，让学生感受数学与生活、文化的联系。 2. 通过复习旧知提出问题，制造认知冲突，引导学生思考，自然引出新课内容，为公式推导做好铺垫。 新知讲授 三角形面积公式的推导 设为任意三角形，以的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为，过点作边上的高，则，且。 由三角函数的定义，可得，，因此，，即点的坐标为。 三角形面积推导： 同理可得：，。 三角形面积公式 结论：任意三角形的面积等于它的两条边长及其夹角正弦的乘积的一半。 注意： 1.该公式适用于任意的三角形（锐角、直角、钝角）； 2.计算时必须选取两条相邻的边和它们的夹角。 公式使用判断 判断以下三角形面积公式的使用是否正确？并对错误用法进行修改： (1) （×） (2) （×） (3) （√） (4) （×） 挖空记忆公式 1. 借助坐标系和三角函数定义推导公式，让学生体会数形结合思想，理解公式的由来，而非机械记忆。 2. 明确公式的注意事项和使用误区，通过辨析、挖空练习，帮助学生准确掌握公式的结构特征，突破“选边选角错误”的难点。 案例分析 例1：为迎接国庆节，某职业学校对校园重新进行修整。园林工人计划利用一夹角成的墙角修建一个三角形花圃，若墙角的两面墙的长度分别为和，求所建花圃的面积。 分析：在中，，，，求的值。 解： 答：花圃面积为平方米。 例2：在中，，，，求。 解： 因为，所以或。 说明：已知角的正弦值求角时，要讨论角的取值范围（，）。 例3：在中，，，，求。 解： 因为，所以或。 公式强化记忆 1. 例1为基础应用，规范解题步骤，让学生掌握公式的基本使用方法；例 2、例3为逆向应用，突破“已知面积求夹角时忽略角度多解”的教学难点。 3. 结合实际生活案例（建花圃），体现数学的应用价值，提升学生的数学建模能力。 学以致用 小组合作计算 1.在中，，，，求三角形的面积。 解： 2.在中，，，，求三角形的面积。 解： 判断题练习 (1) 三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的余弦乘积的一半。（×） 分析：利用三角形面积公式即可得解。 详解：三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半。 (2) 在中，，，，则。（×） 分析：利用三角形面积公式即可得解。 详解：因为，，，即，解得，又因为，所以或。 (3) 等边三角形面积公式是，其中为等边三角形边长。（×） 分析：根据面积公式，求出等边三角形边长为时的面积即可判断。 详解：若等边三角形边长为，根据等边三角形的性质可知三角形的三角均为，。 (4) 在中，若，，，则。（×） 分析：利用三角形面积公式即可得解。 详解：因为，，，即。 (5) 在中，若，，则面积的最大值为1。（,√） 答案：正确 分析：根据三角形的面积公式以及三角函数的性质求解。 详解：，当时，面积最大，最大为；当时，边长，三角形存在。 1. 小组合作计算培养学生的合作交流能力，通过基础练习巩固公式的直接和逆向应用。 2. 判断题从多个角度考查学生对公式的理解和掌握，及时发现学生的知识漏洞，进行针对性讲解，强化知识的理解。 课堂练习 1. 判断（正确的打“√”，错误的打“×”） (1) 三角形的面积公式适用于所有的三角形。（√） (2) 已知三角形两边及其夹角不能求出其面积。（×） (3) 已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积。（×） 2. 根据下列条件求的值 (1) ； 解析： (2) ； 解析： 3. 在中，，，，求 解析： 4. 在中，，，，求的值 解析： 因为，，所以 5. 在中，，，，求这个平行四边形的面积 解析： 6. 在中，已知，，且的面积是，则该三角形是（A） A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 解析：将，，的面积是代入 ，解得 从而，且，所以该三角形是等边三角形。 1. 课堂练习层层递进，从基础判断到综合计算，兼顾公式的基础应用和灵活拓展，考查学生的知识掌握情况。 2. 融入平行四边形面积、三角形形状判断等知识点，实现知识的迁移和综合应用，提升学生的解题能力。 课堂小结 三角形面积公式 任意三角形的面积等于它的两条边长及其夹角正弦的乘积的一半。 通过简洁的小结，梳理本节课的核心知识，帮助学生构建知识框架，强化重点和难点内容的记忆。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 三角形面积公式 板书简洁明了、重点突出，方便学生跟随课堂思路，课后也能根据板书回顾知识。 11、 教学反思 本节课以中国古代三角形瓦当为情境引入，将传统文化与数学知识结合，有效激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学的文化价值，符合中职数学教学的素养要求。 2.采用坐标法推导公式，通过直观的坐标系图形演示，将抽象的代数推导转化为学生易理解的几何过程，突破了公式推导的教学难点，学生能较好地理解公式的由来，而非机械记忆。 3.教学环节设计遵循“引入—推导—辨析—应用—巩固—小结”的逻辑，讲练结合，层层递进，从基础的公式直接应用到逆向的已知面积求夹角，再到综合的形状判断、平行四边形面积转化，逐步提升学生的解题能力，符合学生的认知规律。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $