6.3正弦型函数的图像和性质（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第六章 三角计算 6.3正弦型函数的图像和性质 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节内容位于三角计算章节的核心位置，是正弦函数知识的深化与拓展。教材以实际生活和物理现象（交流电、筒车）为引入，抽象出正弦型函数的定义，依次讲解振幅、相位、初相、周期、频率等核心概念，再通过探究式学习推导图像变换规律，最后结合例题、练习实现知识的应用。教材编排遵循“从具体到抽象、从理论到实践”的认知规律，注重数学与实际的联系，同时通过图像变换的探究，培养学生的数形结合思想。 五、学情分析 本节课的授课对象为中职学生，学生已掌握正弦函数的定义、图像、五点作图法及基本性质，具备一定的数形结合分析能力和简单的三角运算能力。但中职学生抽象思维能力较弱，对“相位、初相”等抽象概念的理解存在困难，同时在图像平移变换中，容易混淆“左右平移的单位与的关系”，出现直接平移个单位的错误。此外，学生对数学知识的实际应用意识不足，需通过具体生活实例激发学习兴趣，降低抽象概念的理解难度。 六、教学目标 知识层面：理解正弦型函数的定义，掌握振幅、相位、初相、周期、频率的定义及图像变换规律 能力层面：能根据参数的值完成正弦型函数图像的绘制与变换 核心素养层面：通过图像变换的探究过程，培养数学抽象与直观想象的能力 七、教学重点 1.正弦型函数的定义，振幅、相位、初相、周期、频率的概念及计算。 2.由的图像得到图像的变换规律（、、对图像的影响）。 八、教学难点 1.图像平移变换中，左右平移单位为的应用，避免“直接平移个单位”的错误。 2.结合图像求正弦型函数的解析式，综合运用、、的求解方法。 九、教学方法 1.情境教学法：以交流电、筒车等实际生活和物理实例为情境，激发学生学习兴趣，抽象出正弦型函数的定义。 2.探究式教学法：通过提出问题、小组讨论、自主探究的方式，引导学生推导、、对图像的影响及图像变换规律。 3.直观演示法：结合多媒体课件、图像画板，直观展示正弦型函数的图像变换过程，突破抽象概念和平移难点。 4.讲练结合法：通过典型例题讲解核心知识点，配合即时练习、课堂练习，强化知识的理解与应用，及时反馈学习效果。 5.小组合作法：针对图像变换的探究问题，开展小组合作，培养学生的合作交流能力和逻辑推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 知识回顾 五点作图法 我们使用“五点法”在区间内快速绘制图像。这五个关键点是: 情境1：交流电 交流电是指电流方向随时间作周期性变化的电流，在一个周期内的平均电流为零。 不同于直流电，它的方向是会随着时间发生改变的，而直流电没有周期性变化。 通常交流电波形为正弦曲线。 交流电表达式： 情境2：筒车 播放视频 筒车是我国古代发明的一种依靠水流动力灌溉的工具。 据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，因其材料成本低廉、结构简单、效率高且持续性强，一些地区沿用至今。 假设匀速转动的筒车半径为，转动的角速度为。 以筒车的中心为坐标原点建立坐标系，若点表示盛水筒在时间时的位置，点表示盛水筒的初始位置，已知。 由正弦函数的定义，得 得点的纵坐标与时间的函数关系为： 1.回顾五点作图法，为后续正弦型函数的图像绘制做好铺垫； 2.以交流电、筒车两个实例为情境，将抽象的数学知识与生活、物理、历史结合，激发学生学习兴趣； 3.从实例中抽象出形如y=Asin(ωx+φ)的函数，自然引入正弦型函数的定义，让学生体会数学的实际应用价值。 新知讲授 正弦型函数定义 形如(，，为常数)的函数称为正弦型函数。在物理学中，正弦型函数常用于描述物理学中的简谐振动与正弦式电流。 习惯上，称为振幅，称为相位，称为初相，称为周期，称为频率。 探究 思考：当时，函数表示成什么？ 当，，时，，这就是我们熟悉的正弦函数！ 类比 回顾作正弦函数  图像的方法, 可作正弦型函数的图像, 从而研究它的性质 定义域 R 最大值与最小值 A，−A 值域 [−A，A] 周期 图像变换规律： 把函数图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，就得到函数的图像； 把函数的图像沿轴向左平移个单位，就得到函数的图像； 把函数图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数的图像。 正弦型函数的图像特点 1.振幅的影响：管高低，将图像上的所有点的纵坐标变为原来的倍， 的作用：使正弦函数的最大值、最小值发生变化， 得最大值、最小值。 2.的影响：管胖瘦，将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍， 的作用：使正弦函数的周期发生变化， 得周期。 3.初相的影响：管左右，将图像上的所有点沿轴向左()或者向右()平移个单位， 的作用：使正弦函数的图象发生位移变化，遵循“左加右减”原则。 1.清晰界定正弦型函数的定义及参数限制，结合物理学应用场景，让学生理解定义的实际意义，建立数学与物理学科的关联； 2.通过探究思考，帮助学生明确正弦函数与正弦型函数的从属关系，构建知识衔接，降低新知接受难度； 3.以具体函数为例分步推导图像变换，直观呈现三个参数的作用，总结通俗易记的规律，突破“平移单位计算”的难点； 4.逐一解析参数对图像的影响，为后续图像绘制、解析式求解奠定基础，同时培养学生的直观想象和逻辑推理素养。 案例分析 例1 求函数的振幅、周期、初相。 解：根据正弦型函数标准形式进行对比分析 振幅 周期 初相 例2 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图。 (1)；(2)；(3)；(4) 解：(1) 解：(2) 解：(3) 解：(4) 小组合作 1.探究的图像怎么由得到？ ①横坐标变为原来的，得； ②向左平移个单位，得； ③纵坐标变为原来的2倍，得。 （） 探究的图像怎么由得到？ ①横坐标变为原来的，得； ②向右平移个单位，得； ③纵坐标变为原来的2倍，得。 （） 例3 某正弦交流电的电压瞬时值表达式为，其中，311是 ，是 ，周期 ，初相是 。 解：，， 周期 311是振幅，是，周期，初相是 例4 求函数的周期、最大值和最小值，并指出当取何值时，函数取得最大值和最小值。 解：因为 周期 最大值、最小值 当，即时，函数取得最大值； 当，即时，函数取得最小值。 例5 如图所示为函数在一个周期的图像，其中，，，，求该函数的解析式。 解：由图像可知，，所以周期，可得。 所以函数为。 因为函数图像经过点，所以，得，，可得，。 因为，所以。 因此解析式为。 新知速记 1.正弦型函数的定义：形如的函数称为正弦型函数。 2.振幅、相位、初相、周期、频率：称为振幅，称为相位，称为初相，称为周期，称为频率。 3.正弦型函数的图像变换特点： 管高低：将图像上的所有点的纵坐标变为原来的倍； 管胖瘦：将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍； 管左右：将图像上的所有点沿轴向左()或者向右()平移个单位。 1.通过梯度化例题，从基础概念计算到图像绘制、实例应用、综合推导，层层递进巩固核心知识点，适配中职学生由浅入深的认知规律； 2.设计小组合作探究，引导学生主动思考图像变换步骤，培养合作交流能力和自主探究意识，深化对变换规律的理解； 3.结合交流电实例设计例题，强化数学知识的实际应用，让学生体会数学的工具性价值； 4.补充新知速记，帮助学生快速梳理核心要点，提升课堂记忆效率，为后续练习和复习做好铺垫。 学以致用 练习 1.函数的图像向左平移个单位，得到的函数为（B） A. B. C. D. [分析]根据正弦函数的平移规则求解即可。 [详解]若函数的图像向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到。 2.正弦型函数的最小值为（B） A. B. C. D. [分析]根据题意，结合正弦函数的值域，即可求解。 [详解]正弦型函数的最值为，中，最小值为。 3.函数的最小正周期是，则（C） A.3 B.6 C.4 D. [分析]根据正弦型函数的性质即可求解。 [详解]由已知。 4.函数，，)的部分图像如图所示，则（A） A. B. C. D. [分析]根据正弦型函数的性质即可求解。 [详解]由图可知，，，所以。 由五点作图法可知，所以， 因为，所以，所以函数的解析式为。 1.设计4道基础选择题，针对性考查图像平移、最值、周期、解析式求解等核心知识点； 2.即时练习及时反馈学生的学习效果，发现学生的知识漏洞，及时讲解纠正； 3.选择题形式降低答题难度，提升中职学生的答题信心。 课堂练习 1.用五点法作出下列函数在一个周期的简图。 (1)；(2)；(3)；(4) 【解析】 (1) (2) (3) (4) 2.说明怎样由函数的图像得到下列函数的图像。 (1)；(2)；(3)；(4) 【解析】 (1)的图像上所有点的纵坐标乘以； (2)的图像上所有点向右平移个单位长度； (3)的图像上所有点横坐标乘以2，得到，再将纵坐标乘以2； (4)的图像上所有点横坐标乘以，得到；再将所有点向右平移个单位，得到；最后所有点纵坐标乘以2，得到（）。 3.求下列函数的周期、最大值和最小值以及取得最值时的集合。 (1)；(2)；(3)；(4) 【解析】 (1)周期：； 最大值：，当，即时取得； 最小值：，当，即时取得。 (2)周期：； 最大值：，当，即时取得； 最小值：，当，即时取得。 (3)周期：； 最大值：，当，即时取得； 最小值：，当，即时取得。 (4)； 周期：； 最大值：，当，即时取得； 最小值：，当，即时取得。 4.函数的振幅是，是，初相是。 【解析】根据可得振幅为3，，初相是。 5.将函数图像上每一点的纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的，再将整个图像沿轴向左平移个单位，得到函数的图像，则函数。 【解析】 纵坐标变为原来的； 横坐标变为原来的； 再将整个图像沿轴向左平移个单位，化简得。 6.已知函数(，)的最小值为，最小正周期为，则函数。 【解析】 已知函数的最小值为且，则； 由最小正周期为，可得，，解得； 所以。 1.课堂练习涵盖图像绘制、图像变换、周期最值、参数求解、解析式推导等所有核心知识点，实现知识的全面巩固； 2.让学生动手绘制图像、书写步骤，培养学生的动手操作能力和规范答题习惯； 3.教师巡视指导，及时解决学生的个性化问题，落实分层教学。 课堂小结 必背知识点1：正弦型函数定义及相关概念 ，其中(，) 振幅：；相位：；初相：；周期：；频率：。 必背知识点2：正弦型函数的变换特点 管高低：将图像上的所有点的纵坐标变为原来的倍； 管胖瘦：将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍； 管左右：将图像上的所有点沿轴向左()或者向右()平移个单位。 1.以“必背知识点”形式梳理核心概念和图像变换规律，帮助学生快速构建本节课知识体系，强化记忆重点； 2.明确强调数学思想方法，引导学生不仅掌握知识，更能领悟解题思路，提升数学核心素养. 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 正弦型函数定义及相关概念 ，其中(，) 振幅：；相位：；初相：；周期：；频率：。 正弦型函数的变换特点 管高低：将图像上的所有点的纵坐标变为原来的倍； 管胖瘦：将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍； 管左右：将图像上的所有点沿轴向左()或者向右()平移个单位。 突出核心知识，强化基础记忆。 简化抽象规律，突破教学难点。 11、 教学反思 本节课以生活和物理实例为引入，将抽象的正弦型函数知识与实际结合，有效激发了学生的学习兴趣，符合中职学生的认知特点。通过探究式学习和小组合作，让学生自主推导图像变换规律，突破了“平移单位为”的教学难点，培养了学生的合作交流能力和直观想象素养。讲练结合的教学方法，让学生及时巩固核心知识点，课堂练习和即时练习的反馈效果较好，大部分学生能掌握振幅、周期、初相的计算及基本的图像变换步骤。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $