5.5指数函数与对数函数的应用（课件）高教版（第三版）《数学 基础模块下册》【上好课】

5.5指数函数与对数函数的应用 高教版（第三版）·基础模块 第五单元 指数函数与对数函数 学习目标 知识层面 理解指数函数模型与对数函数模型的概念，了解建立函数模型的一般步骤 能力层面 能根据实际问题情境选择恰当的模型，能通过建立指数或对数函数模型解决简单的实际问题 核心素养层面 通过经历"问题情境—数学建模—解决问题"的过程，培养数学抽象与数学建模的能力 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 知识回顾 指数函数 定义 图象和性质 定义域：R； 值域： 图象恒过点 当时为减函数； 当时为增函数 教学导入 知识回顾 对数函数 定义 图象和性质 定义域： ；值域： 图象恒过点 当时为增函数； 当时为减函数 教学导入 知识回顾 学过的函数模型 一次函数模型 二次函数模型 分段函数模型 两种或多种解析式 教学导入 利用指数、对数函数构建模型 指数函数模型 对数函数模型 1 当时，函数叫作指数增长模型 2 当时，函数叫作指数衰减模型 教学导入 利用兔子种群数量增长认识指数模型 2 知识讲授 知识讲授 建立函数模型的一般步骤 1 分析问题情境中存在的变量 2 合理设未知量，寻找变量关系 3 确定自变量的取值范围 4 列出对应的函数关系 5 用函数模型解决实际问题 知识讲授 （一）指数函数模型 某小微企业年营业收入为万元,根据市场调研, 预期在未来年内, 平均每年营业收入按的增长率增长, 预计该企业年的营业收入约为多少万元(保留到个位)． 设在年后的第年该企业的营业收入为y万元, 则 第1年, 即当时, , 第2年, 即当时, , 第3年, 即当时, , …… 你能归纳出第年的表达式吗？ 第年该企业的营业收入为 知识讲授 （一）指数函数模型 某小微企业年营业收入为万元,根据市场调研, 预期在未来年内, 平均每年营业收入按的增长率增长, 预计该企业年的营业收入约为多少万元(保留到个位)． 第年该企业的营业收入为 当时, 得到年该企业的营业收入为 即该企业年的营业收入约为万元． 知识讲授 （一）指数函数模型 某种药物服用后，通过尿液排出体外.经过天，药物在体内的剩余量就减少为原来的.设这种药物最初量为，那么这种药服用一周以后体内还剩多少？ 设经过天后，药物在体内的剩余量为,则 第1天, 即当时, , 第2天, 即当时, , 第3天, 即当时,, …… 第天药物在体内的剩余量为 知识讲授 （一）指数函数模型 某种药物服用后，通过尿液排出体外.经过天，药物在体内的剩余量就减少为原来的.设这种药物最初量为，那么这种药服用一周以后体内还剩多少？ 第天药物在体内的剩余量为 当时, 得到药服用一周以后体内的剩余量为 故这种药服用一周以后，在体内的剩余量大约还有. 知识讲授 （二）对数函数模型 年某县人口总数约万, 如果预计人口的年平均自然增长率为, 哪一年该县人口总数将超过万？ 设x年后人口总数为万, 依题意得 求这里的指数，需要利用对数. 知识讲授 （二）对数函数模型 年某县人口总数约万, 如果预计人口的年平均自然增长率为, 哪一年该县人口总数将超过万？ 设x年后人口总数为万, 依题意得 即年该县人口总数将超过万． 知识讲授 案例分析 开展人口普查, 对于调整、 完善人口政策, 推动人口结构优化,促进人口素质提升具有重要意义.第七次全国人口普查结果显示, 年年末全国大陆总人口为万人,其中城镇常住人口万人,占总人口的比例(常住人口城镇化率)为,与年相比,提高了个百分点. 分析：年年末人口约为万; 经过1年 人口约为 万; 经过2年 人口约为 =万； 经过3年 人口约为 =万； … 经过年 人口约为万. 例1 知识讲授 案例分析 (1)假设此后每年都增加万人口,年后我国大陆人口总数是多少? (2)假设此后每年人口的平均增长率是(每年都在前一年基础上增加),年后我国大陆人口总数约为多少? (单位:万, 结果精确到 ) 解：(1)因为每年增加万人口, 年共增加万人口, 因此年后我国大陆人口为万(亿) . 例1 (2) 当时， 万. 经过20年后我国大陆人口约为万. 知识讲授 案例分析 随着电商和物流行业的蓬勃发展，小李创办的同城快递公司凭借自身优质服务和良好口碑，业务规模持续扩大，到年末，公司年业务量已达万件，预期未来年内公司业务量将以的年增长率稳定增长.从年起，设经过（年），该公司年业务量为（万件）. (1) 写出随变化的函数关系式，并指出定义域. (2) 预估多少年后，该公司业务量可以翻倍？（结果四舍五入取整数） 参考数据： ，， 解：(1)设经过（年），该公司年业务量为（万件） 所以， 例2 (2) 2024年末，公司年业务量已达100万件，翻倍即为200万件 则 ，即年 3 学以致用 学以致用 1.某公司的利润L（单位：万元）与广告投入（单位：万元）满足关系.当广告投入为万元时，公司利润为（    ）.（ 参考） 练习 [答案] [分析]根据题意把万元代入中即可得解. [详解]由题意，利润（单位：万元）与广告投入（单位：万元） 满足关系， 把万元，代入中， 得万元. 学以致用 2.某产品连续两次降价，原价元，现价（    ） 练习 [答案]B [分析]根据题意，结合指数函数的应用，即可求解. [详解]元. 学以致用 3.某电子产品上市后，由于技术更新换代，其市场价值每年衰减.已知该产品上市初的市场价值为元，则经过年后，其市场价值（元）与时间（年）的函数关系为（    ） 练习 [答案]B [分析]根据指数函数模型可得结果. [详解]由题可知， 1年后，市场价值：（元）； 2年后，市场价值：（元）； ⋯ t年后，市场价值：（元）. 4 课堂练习 课堂练习 练习 1.某地年粮食总产量约为万吨, 计划按照年均增长速度增长, 求该地年后的年粮食总产量(保留到小数点后第位)． 解： 当时， 万. 课堂练习 练习 2.一台价值万元的新机床, 投入使用后, 每年的折旧率是, 年后这台机床的价值约为多少万元 (保留到小数点后第位)? 解： 当时， 万. 课堂练习 练习 3.某化工产品去年生产成本为元/桶, 现进行了技术革新, 使生产成本平均每年降低, 多少年后每桶的生产成本能降到元? 解： 当时， 解得：5年后每桶的生产成本能降到元. 课堂练习 练习 4.年世界人口数量达到亿, 假设世界人口年平均增长率约为, 并且这种趋势保持不变, 哪一年世界人口将达到亿？ 解： 当时， 解得：年后，即年世界人口将达到亿. 课堂练习 练习 5.下列各函数模型中,为指数增长模型的是（    ） 选项,,底数,符合指数增长模型,故正确. 课堂练习 练习 6.某工厂年生产某种产品万件，打算从年开始，每年的产量比上一年增长，咨询哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过万件. 解：设过年后，产量超过万件 由题意知，年后的产量为 当万件时，即有 解得：至少过年后，即年产量超过万件. 5 课堂小结 课堂小结 指数函数模型 对数函数模型 1 当时，函数叫作指数增长模型 2 当时，函数叫作指数衰减模型 需熟练背诵 指数函数模型与对数函数模型 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. $