5.5指数函数与对数函数的应用（教案）高教版（第三版）《数学 基础模块下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 基础模块下册》（第三版） 第五章 指数函数与对数函数 5.5 指数函数与对数函数的应用 一、教材 高等教育出版社《数学 基础模块下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节位于第五章“指数函数与对数函数”的末尾，是在学生掌握指数函数、对数函数的定义、图象和性质的基础上，对函数知识的实际应用延伸，也是中职数学“学以致用”核心理念的重要体现。教材以生活中常见的增长、衰减问题为载体，引导学生建立指数函数与对数函数模型，经历“问题情境—数学建模—解决问题”的完整过程，既巩固了前几节的核心知识，又为后续学习更复杂的函数应用、数据分析奠定基础。 五、学情分析 学生已掌握指数函数、对数函数的定义、图象和基本性质，能进行简单的指数、对数运算，初步了解一次函数、二次函数的应用模型，但对“数学建模”的概念和步骤较为陌生，难以快速将实际问题转化为数学问题。 中职学生形象思维优于抽象思维，对具体、直观、贴近生活的实例兴趣浓厚，但对枯燥的理论推导和抽象概念接受度较低，注意力集中时间较短，需要通过多样化的案例、练习激发学习兴趣，逐步引导其完成知识的迁移和应用。 学生普遍存在“学用脱节”的问题，能掌握书本上的公式和例题，但面对新的实际情境时，难以准确分析变量关系、选择恰当的函数模型，且计算过程中容易出现指数、对数运算失误，解题规范性有待加强。 六、教学目标 知识层面 理解指数函数模型与对数函数模型的概念，了解建立函数模型的一般步骤 能力层面 能根据实际问题情境选择恰当的模型，能通过建立指数或对数函数模型解决简单的实际问题 核心素养层面 通过经历"问题情境-数学建模-解决问题"的过程，培养数学抽象与数学建模的能力 七、教学重点 1.指数函数模型（增长、衰减）与对数函数模型的识别和应用； 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤。 八、教学难点 1.准确分析实际问题中的变量关系，将实际问题转化为数学问题，选择恰当的函数模型； 2.对数函数模型的应用（如求解指数型方程中的自变量）。 九、教学方法 1.案例教学法：选取贴近学生生活和职业的实例（如企业营收增长、药物衰减、人口预测等），引导学生分析、建模、求解，增强知识的实用性和直观性； 2.启发式教学法：在新知讲授、案例分析过程中，通过设问、引导，激发学生思考，逐步引导学生归纳建模步骤，突破教学难点； 3.讲练结合法：讲解例题后，及时安排课堂练习和学以致用环节，巩固所学知识，规范解题步骤，提升学生的运算能力和应用能力； 4.多媒体辅助教学法：利用视频、PPT展示实例情境、函数图象和解题步骤，直观呈现指数增长、衰减的变化规律，降低抽象思维难度，吸引学生注意力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 知识回顾 指数函数 定义： 图象和性质： 定义域：；值域： 图象恒过点 当 时为减函数；当 时为增函数 对数函数 定义： 图象和性质： 定义域：；值域： 图象恒过点 当 时为减函数；当 时为增函数 学过的函数模型 一次函数模型：（，为常数，） 二次函数模型：（，，为常数，） 分段函数模型：两种或多种解析式 利用指数、对数函数构建模型 指数函数模型：（，，为常数，且） 1 当时，函数叫作指数增长模型 2 当时，函数叫作指数衰减模型 对数函数模型：（，，为常数，且） 利用兔子种群数量增长认识指数模型 播放视频 1.回顾旧知，为新知应用奠定基础，避免学生因基础不牢影响建模过程； 2.直接给出两种函数模型的一般形式，降低学生抽象概括的难度，重点引导学生关注模型特征； 3.利用视频创设情境，吸引学生注意力，激发学习兴趣，让学生直观感知指数增长的实际意义，自然引出本节课核心内容。 新知讲授 建立函数模型的一般步骤 1 分析问题情境中存在的变量 2 合理设未知量，寻找变量关系 3 确定自变量的取值范围 4 列出对应的函数关系 5 用函数模型解决实际问题 (一)指数函数模型 某小微企业2022年营业收入为200万元，根据市场调研，预期在未来10年内，平均每年营业收入按8%的增长率增长，预计该企业2032年的营业收入约为多少万元(保留到个位)。 设在2022年后的第 年该企业的营业收入为万元，则 第1年，即当 时， 第2年，即当 时， 第3年，即当 时， 第 年该企业的营业收入为 当 时，得到2032年该企业的营业收入为 即该企业2032年的营业收入约为432万元。 某种药物服用后，通过尿液排出体外。经过1天，药物在体内的剩余量就减少为原来的60%。设这种药物最初量为1，那么这种药服用一周以后体内还剩多少？ 设经过 天后，药物在体内的剩余量为 ，则 第1天，即当 时， 第2天，即当 时， 第3天，即当 时， 第 天药物在体内的剩余量为 当 时，得到药服用一周以后体内的剩余量为 故这种药服用一周以后，在体内的剩余量大约还有0.028。 (二)对数函数模型 2022年某县人口总数约120万，如果预计人口的年平均自然增长率为1.25%，哪一年该县人口总数将超过140万？ 设 年后人口总数为140万，依题意得 求这里的指数需要利用对数。 即2035年该县人口总数将超过140万。 1.分步讲解建模步骤，让学生明确“建模”的核心流程，为后续自主解题提供思路； 2.指数模型分“增长”“衰减”两类讲解，结合企业营收、药物代谢两个贴近生活的实例，让学生清晰区分两类模型的特征，突破教学重点； 3.对数模型重点讲解“指数方程转化为对数求解”的步骤，放慢节奏，结合运算过程讲解，帮助学生突破“对数应用”这一难点； 4.讲解过程中注重设问引导，让学生参与到“找关系、列方程”的过程中，避免教师单向灌输，培养学生的思考能力。 案例分析 例1 开展人口普查，对于调整、完善人口政策，推动人口结构优化，促进人口素质提升具有重要意义。第七次全国人口普查结果显示，2020年年末全国大陆总人口为141178万人，其中城镇常住人口90199万人，占总人口的比例(常住人口城镇化率)为63.89%，与2010年相比，提高了14.21个百分点。 分析：2020年年末人口约为141178万； 经过1年，人口约为 万； 经过2年，人口约为 万； … 经过年，人口约为万。 (1)假设此后每年都增加700万人口，20年后我国大陆人口总数是多少？ (2)假设此后每年人口的平均增长率是1% (每年都在前一年基础上增加1%)，20年后我国大陆人口总数约为多少？ (单位：万，结果精确到0.01) 解：(1)因为每年增加700万人口， 因此20年后我国大陆人口为155178万(15.5178亿)。 (2)设经过年，我国人口为万，由题意得 经过20年后我国大陆人口约为172263.99万。 例2 随着电商和物流行业的蓬勃发展，小李创办的同城快递公司凭借自身优质服务和良好口碑，业务规模持续扩大，到2024年末，公司年业务量已达100万件，预期未来10年内公司业务量将以15%的年增长率稳定增长。从2025年起，设经过 (年)，该公司年业务量为(万件)。 (1) 写出 随 变化的函数关系式，并指出定义域。 (2) 预估多少年后，该公司业务量可以翻倍？(结果四舍五入取整数) 参考数据: , , 解：(1)设经过 (年)，该公司年业务量为(万件) (2) 2024年末，公司年业务量已达100万件，翻倍即为200万件 则 , 即 1.选取人口、物流两个贴近学生生活和职业的案例，综合应用指数、对数模型，让学生体会数学知识的实用性； 2.例1对比两种增长方式，帮助学生进一步区分函数模型的选择，避免混淆； 3.例2结合中职学生可能接触的物流行业，增强职业导向性，同时强化对数求解指数方程的步骤，巩固难点知识。 学以致用 1.某公司的利润(单位：万元)与广告投入(单位：万元)满足关系 。当广告投入为8万元时，公司利润为( )。 A.20万元 B.25万元 C.33万元 D.43万元 [答案]D [分析]根据题意把 万元代入 中即可得解。 [详解]由题意，利润(单位：万元)与广告投入 (单位：万元) 满足关系 , 把 ,代入 中， 2.某产品连续两次降价10%，原价100元，现价( ) A.80元 B.81元 C.82元 D.83元 [答案]B [分析]根据题意，结合指数函数的应用，即可求解。 [详解]现价 3.某电子产品上市后，由于技术更新换代，其市场价值每年衰减20%。已知该产品上市初的市场价值为5000元，则经过年后，其市场价值(元)与时间(年)的函数关系为( ) A. B. C. D. [答案]B [分析]根据指数函数模型可得结果。 [详解]由题可知， 1.三道题目难度适中，分别考查对数模型应用、指数衰减模型应用和模型识别，针对性巩固本节课重点知识； 2.题型为选择题，贴合中职数学考试特点，快速检验学生的知识掌握情况； 3.简要讲解重点题目，及时纠正学生的易错点（如对数运算、衰减模型的底数判断），强化知识记忆。 课堂练习 1.某地2022年粮食总产量约为1500万吨，计划按照年均增长速度2.5%增长，求该地5年后的年粮食总产量(保留到小数点后第2位)。 解：设经过年，年粮食总产量为万吨，由题意得 2.一台价值100万元的新机床，投入使用后，每年的折旧率是8%，20年后这台机床的价值约为多少万元 (保留到小数点后第2位)？ 解：设经过年，机床的价值为万元，由题意得 3.某化工产品去年生产成本为100元/桶，现进行了技术革新，使生产成本平均每年降低10%，多少年后每桶的生产成本能降到60元？ 解：设经过年，每桶的生产成本为元，由题意得 解得：5年后每桶的生产成本能降到60元。 4.2022年世界人口数量达到80亿，假设世界人口年平均增长率约为0.7%，并且这种趋势保持不变，哪一年世界人口将达到100亿？ 解：设经过年，世界人口为亿，由题意得 解得：32年后，即2054年世界人口将达到100亿。 5.下列各函数模型中，为指数增长模型的是( ) A. B. C. D. [答案]A [详解]A 选项， ,底数 ,符合指数增长模型，故正确。 6.某工厂1988年生产某种产品2万件，打算从1989年开始，每年的产量比上一年增长20%，咨询哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件。 解：设过年后，产量超过12万件，由题意知，年后的产量为 当万件时，即有 解得：至少过10年后，即1998年产量超过12万件。 1.练习题目覆盖指数增长、衰减、对数求解三类核心题型，与新知讲授、案例分析的题型对应，强化学生的解题能力； 2.要求学生规范书写解题步骤，培养严谨的解题习惯； 3.教师巡视指导，及时发现并解决学生的易错点（如自变量取值范围、运算失误），确保学生掌握建模和求解的核心步骤。 课堂小结 指数函数模型与对数函数模型 指数函数模型：(，， 为常数， 且 ) 1当 时，函数叫作指数增长模型 2当 时，函数叫作指数衰减模型 对数函数模型：(，， 为常数， 且 ) 简要梳理本节课核心知识和方法，帮助学生构建完整的知识框架，强化记忆。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 指数函数模型与对数函数模型 指数函数模型：(，， 为常数， 且 ) 1当 时，函数叫作指数增长模型 2当 时，函数叫作指数衰减模型 对数函数模型：(，， 为常数， 且 ) 严格标注参数范围与常数定义，培养学生规范的数学表达习惯。直观对比指数、对数模型的结构差异，帮助学生建立两类模型的关联与区分，为实际应用建模打好基础。 11、 教学反思 本节课围绕指数函数与对数函数的实际应用展开，紧扣中职数学“基础够用、注重应用”的理念，结合学生的学情的特点，通过情境导入、新知讲授、案例分析、讲练结合等环节，引导学生掌握建模步骤，应用函数模型解决实际问题，整体达成了预设的教学目标。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $