5.4对数函数（教案）高教版（第三版）《数学 基础模块下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 基础模块下册》（第三版） 第五章 指数函数与对数函数 5.4 对数函数 一、教材 高等教育出版社《数学 基础模块下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节内容以三星堆文物年代鉴定、里氏震级等实际问题为引入，贴近生活且具有实用性，符合中职数学“学以致用”的教学理念。内容编排遵循“实际问题→抽象概念→图像探究→性质总结→例题应用→练习巩固”的逻辑，层层递进，先让学生感知对数函数的实际意义，再抽象出数学概念，进而通过描点法作图探究图像与性质，最后结合例题和练习掌握知识应用，符合中职学生的认知规律。同时，教材注重基础，突出对数函数的定义域、单调性、定点等核心知识点，弱化复杂推导，贴合中职数学的教学要求。 五、学情分析 学生已掌握对数的定义、运算性质以及指数函数的概念和图像性质，具备一定的函数抽象思维和描点作图能力，为学习对数函数奠定了知识基础。但中职学生普遍抽象逻辑推理能力较弱，对抽象函数的概念理解、性质应用容易产生困惑，且在知识的灵活运用、数形结合思想的落实方面存在不足。同时，学生对与生活实际相关的数学问题兴趣较高，因此教学中可借助实际案例、图像直观演示突破难点，降低抽象思维难度，注重基础练习和分步讲解，强化知识的理解与应用。 六、教学目标 知识层面 理解对数函数的概念，掌握对数函数的定义域、图像特征及单调性 能力层面 能根据底数的取值范围判断对数函数的单调性并比较对数值大小；能运用“描点法”绘制图像 核心素养层面 通过探究对数函数图像与性质的过程，培养数学抽象与逻辑推理能力 七、教学重点 1.对数函数的概念，能准确判断对数函数并掌握对数函数的定义域。 2.对数函数的图像特征和单调性，掌握对数函数恒过定点（1，0）的性质。 八、教学难点 1.对数函数单调性的灵活应用，尤其是不同底数对数值的大小比较、对数不等式的求解。 2.数形结合思想在对数函数图像和性质探究中的运用。 九、教学方法 1.情境教学法：通过三星堆文物年代鉴定、里氏震级等实际情境，激发学生学习兴趣，让学生感知对数函数的实际意义； 2.探究式教学法：引导学生自主运用描点法绘制对数函数图像，小组合作探究图像特征，总结对数函数性质，培养学生自主探究能力； 3.讲练结合法：结合例题分步讲解核心知识点，搭配即时练习、课堂练习，边讲边练，及时巩固，突破重点难点； 4.直观演示法：利用多媒体展示多个对数函数的图像，直观呈现底数与函数单调性的关系，帮助学生理解抽象的性质规律。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 神奇的三星堆 播放视频 考古学家怎么鉴定三星堆出土文物的年代？ 考古学家鉴定三星堆出土文物年代的公式： 思考：b 能看成是关于 N 的函数，对于每一个 N，通过对应关系都有唯一确定的时间 b 与它对应，所以 b 是 N 的函数。 里氏震级 20世纪30年代，美国加州理工学院的地震学家里克特和古登堡提出了一种地震震级标度，以发生地震时产生的水平位移作为标准，即目前国际通用的里氏震级. 其中，A 为地震的最大地面振幅（以微米为单位），T 为与地震波类型相关的周期（秒）。 储备知识：两种特殊的对数 1.常用对数：以10为底的对数，记作 ， 2.自然对数：以无理数 为底的对数，记作， 以三星堆、里氏震级等贴近生活和科技的实际案例为情境，激发学生的学习兴趣和探究欲，让学生感受对数函数的实际应用价值；同时回顾特殊对数的知识，为对数函数概念的引入做好知识铺垫，自然过渡到新知。 新知讲授 对数函数的概念 一般地，函数 ，且 叫做对数函数。 其中 x 是自变量，由“零和负数没有对数”可知，对数函数的定义域为 特殊的对数函数 常用对数函数： 自然对数函数： 对数函数的条件 一个函数为对数函数需满足三个条件，缺一不可： 系数为1；底数为常数，且 且 ；真数为单个自变量 对数函数的结构 x 是真数，作为函数的自变量 系数必须是1，不能是其他常数 a 是底数，且且 概念解读 判断下列函数中哪些是对数函数： 对数函数的图像 用描点法画出函数 和 的图象。 描点法作图步骤：一找定义域；二列表；三描点；四连线 x 1 2 4 -2 -1 0 1 2 2 1 0 -1 -2 填空 填空归纳函数 和 的图象特点. 1.函数图像都在y轴的右边，向右无限延伸，向左无限靠近 y 轴； 2.函数图像都经过点 (1, 0)； 3.函数 的图像在 上自左至右呈上升趋势；函数 的图像在 上自左至右呈下降趋势。 探究对数函数的图像特点 在同一坐标系中展示 的图像，得出规律： 底数：函数为增函数，图像都经过点(1, 0)； 底数：函数为减函数，图像都经过点(1, 0)。 对比辨析 对数函数 的图像和性质 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 填一填，记一记 1.对数函数 的定义域是 2.对数函数 恒过定点 (1, 0) 3.当 时，函数 在上是增函数；当 时，函数 在上是减函数 4.常用对数简记为；自然对数简记为 从实际问题抽象出对数函数概念，明确概念的核心要素，通过判断练习强化对概念的理解，突破“区分对数函数与对数型函数”的难点；让学生动手描点作图，培养动手操作能力，通过图像直观感知对数函数的特征；借助多媒体展示多个对数函数图像，引导学生自主探究底数与单调性的关系，突出教学重点，同时渗透数形结合思想。 案例分析 例1：求下列函数的定义域 解： (1) 因为 ，即 ，所以定义域为 (2) 由 得，所以定义域为 (3) 由 得，即，所以定义域为 例2：求下列函数的定义域 解： (1) 因为 ，即 ，所以定义域是 (2) 因为 ，即 ，所以定义域是 例3：比较下列各组中两个数值的大小 解： (1) 因为，在上是增函数，且，所以 (2) 因为，在上是减函数，且，所以 (3) 因为，在上是减函数，故； 因为，在上是增函数，故； 因此 例4 已知函数 ，且 的图象过点 (1) 求 的解析式； (2) 解不等式 。 解： (1) ，即 ，得 ，故 (2) 因为在上单调递增，且，所以，解得，故不等式的解集为 新知速记 一般地，函数 且 叫做对数函数； 对数函数的条件：系数为1、底数 且 、真数 ； 对数函数的单调性：当 时，在定义域内单调递增；当 时，在定义域内单调递减。 通过分层例题，从基础的定义域求解到单调性的综合应用，由浅入深讲解知识，规范解题步骤，突破“定义域求解”“对数值大小比较”“对数不等式求解”等重点难点；在解题过程中强调“定义域优先”“分类讨论”“中间量法”等解题方法，提升学生的数学运算和逻辑推理能力。 学以致用 练习1 若 ，则 a 的取值范围是（B） A . B. C. D. [答案]B [分析]根据题意结合对数函数的单调性即可得解. [详解]因为，则函数为减函数， 所以， 故选：B. 练习2 已知对数函数 的图像过点 ，则该对数函数 的解析式为（B） A. B. C. D. [答案]B [分析]设对数函数的解析式为(a>0，且a≠1) ，再将点(e,1)代入求解即可 [详解]设对数函数的解析式为(a>0，且a≠1) 因为对数函数的图像经过点(e,1) 所以，即，则a=e， 所以对数函数的解析式为， 故选：B. 练习3 若 ，则（B） A .4 B .5 C .6 D.7 [答案]B [分析]将对数方程转化为普通方程求解. [详解]由方程，得， 解得x=5， 故选：B. 练习4 函数 ( 且 )的图象恒过的定点是（D） A. B .(1,0) D. [答案]D [分析]根据题意令真数等于1即可得解. [详解]令4x−1=1，解得，此时y=0， 所以图像恒过点， 故选：D. 练习5 函数 的定义域是（A） A .(0,2] B .[0,2) C.[0,2] D.(0,2) [答案]A [分析]根据偶次根号下大于等于0，0和负数无对数列不等式求解即可. [详解]要使有意义， 必须有解得， 所以该函数的定义域为(0,2] . 故选：D. 通过5道基础选择题，即时检测学生对本节课核心知识点的掌握情况，做到学练结合；针对易错题重点讲解，及时纠正学生的认知偏差，强化基础知识点的理解和应用。 课堂练习 练习1：求下列函数的定义域 解： (1) 因为 ，即 ，定义域是 (2) 因为 且，即 且，定义域是 (3) 因为 ，即 ，定义域是 (4) 由得，定义域是 练习2：比较下列各组中两个数值的大小 解： (1) 是增函数，，故 (2) 是减函数，，故 (3) ，是减函数，，故 (4) 是增函数，，故 练习3 已知函数 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是______。 解：令 ，得，此时，故定点为。 练习4 若对数函数的图象过点P(9,2)，求此对数函数的解析式。 解：设对数函数为 且 ，代入得，得，解析式为 。 练习5 解不等式 解：在上单调递减，由，得，解得 ，解集为。 练习6 已知函数 且 恒过定点 ，求实数 a , b。 解：令，，所以函数故函数且 恒过定点，因此，。 通过6道梯度练习，涵盖定义域、单调性、定点、解析式、不等式等所有核心知识点，让学生独立完成，培养自主解题能力；教师巡视指导，及时发现学生的知识漏洞，进行针对性讲解，进一步巩固教学重点。 课堂小结 必背知识点1：对数函数的概念 一般地，函数 且 叫做对数函数； 两种特殊的对数函数：常用对数函数，自然对数函数。 必背知识点2：对数函数的图像及性质 对数函数 的图像和性质 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 简洁明了地梳理本节课的核心知识点、解题方法和数学思想，帮助学生构建知识体系，形成清晰的知识框架，加深对本节课内容的整体理解。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 对数函数的概念 一般地，函数 且 叫做对数函数； 两种特殊的对数函数：常用对数函数，自然对数函数。 对数函数的图像及性质 对数函数 的图像和性质 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 板书简洁明了、重点突出，分板块呈现概念、性质、解题方法和例题，条理清晰；利用表格对比不同底数对数函数的性质，直观易懂，便于学生课堂记录和课后复习。 11、 教学反思 1.以三星堆文物鉴定、里氏震级等实际情境引入，贴合中职数学“学以致用”的理念，有效激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的联系； 2.注重学生的动手操作，让学生自主描点绘制对数函数图像，再通过多媒体展示多个图像引导探究性质，渗透数形结合思想，降低了抽象知识的理解难度，符合中职学生的认知规律； 3.采用“讲练结合、层层递进”的教学方式，从概念理解到基础例题，再到课堂练习，由浅入深突破重点难点，同时规范解题步骤，强化了学生的数学运算能力； 4.板书设计条理清晰，利用表格对比对数函数性质，便于学生记录和复习，课堂小结梳理知识体系，帮助学生构建完整的知识框架。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $