精品解析：安徽省阜阳市江淮理工学校2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

阜阳江淮理工学校2025-2026学年高二1月份测试卷《数学》 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.） 1. “四边形是正方形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量 ，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 8. 双曲线 的实轴长为 ，虚轴长为 ，则其方程为（ ） A. B. C. D. 9. 命题p：，命题q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知椭圆过点，焦点在轴上，焦距为，则其标准方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知 ，则与 方向相反的单位向量为（ ） A. B. C. D. 12. 直线 与椭圆 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 13. 若向量，，且，则______. 14. 椭圆 的离心率 ______. 15. 双曲线的焦点坐标为_____ 16. 已知 ，，若 ，则 ______. 17. 若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 ______. 三、解答题（共5题，第18～21题每题10分，第22题12分，共52分） 18. 已知命题，命题. （1）分别求出、对应的的取值范围； （2）判断是的什么条件，并说明理由. 19. 已知向量，，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值； （3）求在方向上的投影向量. 20. 求满足下列条件的椭圆标准方程： （1）焦点在轴上，离心率为，且经过点； （2）长轴长是短轴长的倍，且过点. 21. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为，且经过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程； （3）若直线与双曲线有两个不同的交点，求的取值范围. 22. 已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，若 （ 为坐标原点），求实数 的值； （3）在（2）的条件下，求 的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳江淮理工学校2025-2026学年高二1月份测试卷《数学》 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.） 1. “四边形是正方形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性与必要性的概念求解即可. 【详解】∵正方形是特殊的菱形， ∴四边形是正方形是四边形是菱形的充分条件， 但四边形是菱形不一定是正方形，故必要性不成立； ∴“四边形是正方形”是“四边形是菱形”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知向量 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的内积坐标求解即可. 【详解】因为向量 ，， 则. 故选：A. 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求解椭圆离心率即可； 【详解】由椭圆方程得，即， 所以，故. 故选：B 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据双曲线渐近线方程的求法求解. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且，，即，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 5. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件求解即可. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：A. 6. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，即可求出，继而求得c的值，即可求解. 【详解】因为椭圆的标准方程为， 所以焦点在x轴上，且， 得到，故， 因此椭圆的焦点坐标为. 故选：C. 7. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的坐标表示与向量模长的坐标公式求解即可； 【详解】因为 ，， 则， 所以， 故选：B 8. 双曲线 的实轴长为 ，虚轴长为 ，则其方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实轴长、虚轴长求出，进而得到双曲线的方程. 【详解】因为实轴长为 ，虚轴长为 ，所以， 解得 进而双曲线方程为. 故选：A. 9. 命题p：，命题q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义和一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】若，则； 若，则或， 故p是q的充分不必要条件. 故选：A 10. 已知椭圆过点，焦点在轴上，焦距为，则其标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据椭圆的性质和已知条件求出、的值，再代入椭圆标准方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上，且过点， 所以该点为椭圆的右顶点，所以， 已知椭圆的焦距为，可得，则， 可得：， 因为椭圆焦点在轴上，所以其标准方程为. 故选：A. 11. 已知 ，则与 方向相反的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出与  方向相同的单位向量，再方向取反即可. 【详解】因为，所以与  方向相同的单位向量为. 所以与  方向相反的单位向量. 故选：A. 12. 直线 与椭圆 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】联立方程组，根据判别式的大小确定直线与椭圆的交点个数，进而确定位置关系； 【详解】联立方程组，可得，即， 所以，则直线与椭圆有两个交点. 所以直线与椭圆相交， 故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 13. 若向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】若向量，，且， 则，解得， 故答案为：. 14. 椭圆 的离心率 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】椭圆 中，所以， 所以，进而. 故答案为：. 15. 双曲线的焦点坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出即可. 【详解】在双曲线中，，， 所以，可得， 由于该双曲线焦点在轴上，所以焦点坐标为， 故答案为： 16. 已知 ，，若 ，则 ______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】因为 ，，且， 所以，解得. 故答案为：1. 17. 若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 ______. 【答案】或. 【解析】 【分析】联立直线方程与双曲线方程，再根据判别式求解即可. 【详解】联立方程，化简得. 因为直线  与双曲线  有且仅有一个公共点， 若二次项系数为0 ，即，解得，此时只有一个交点. 若二次项系数不为0，所以，化简得，解得. 故答案为：或. 三、解答题（共5题，第18～21题每题10分，第22题12分，共52分） 18. 已知命题，命题. （1）分别求出、对应的的取值范围； （2）判断是的什么条件，并说明理由. 【答案】（1） （2）充分不必要条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式的解法求解即可. （2）根据充分条件和必要条件的概念求解即可. 【小问1详解】 ， 所以命题对应的的取值范围为. ， 所以命题对应的的取值范围为. 【小问2详解】 是的充分不必要条件. 因为的解集是的解集的真子集， 即, 所以是的充分不必要条件. 19. 已知向量，，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值； （3）求在方向上的投影向量. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求解； （2）根据向量垂直的坐标表示求解； （3）根据投影向量的概念求解. 【小问1详解】 ∵向量，，， ∴. 【小问2详解】 ，与垂直， ∴. 【小问3详解】 在方向上的投影向量为. 20. 求满足下列条件的椭圆标准方程： （1）焦点在轴上，离心率为，且经过点； （2）长轴长是短轴长的倍，且过点. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设出椭圆方程，再根据离心率以及过点求解即可. （2）根据长轴长以及短轴长的关系，以及过点，再根据焦点的位置讨论即可. 【小问1详解】 设方程为. 因为，所以， 将点代入得， 由且，所以，解得， 所以方程为. 【小问2详解】 设，方程为或. 若焦点在轴：代入点并结合， 得， 所以方程为； 若焦点在轴：， 方程为. 21. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为，且经过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程； （3）若直线与双曲线有两个不同的交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出双曲线的方程，根据实轴长以及过点求解即可. （2）根据（1）求出渐近线方程即可. （3）联立直线方程与双曲线方程，根据判别式求解即可. 【小问1详解】 设双曲线方程为，实轴长， 代入得：，方程为. 【小问2详解】 因为双曲线的方程为， 所以，进而渐近线：. 【小问3详解】 联立两方程，化简得，整理得， 由且， 解得且，即. 22. 已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，若 （ 为坐标原点），求实数 的值； （3）在（2）的条件下，求 的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干确定的值，进而确定椭圆方程； （2）联立方程，由韦达定理结合垂直关系列式求解即可； （3）根据弦长公式与点到直线的距离公式求解即可； 【小问1详解】 由题意 ，， 则 ，所以椭圆方程为 . 【小问2详解】 联立方程：，可得， 整理得， 设 ， 则， ， 由 得 ，即， 即 . 【小问3详解】 由（2）可知，， 原点到直线的距离， 面积 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $