精品解析：2026年江苏省南通市海门区东洲国际学校中考一模数学试题

江苏省南通市海门区东洲国际学校2026年中考模拟试卷（一） 数学试题 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本试卷按0分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按0分处理． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A B. C. D. 平分 7. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点，点是上的任意一点（不与点重合）如果，则点和点的坐标可能为（ ） A. 和 B. 和 C 和 D. 和 10. 如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 分解因式：______． 12. 计算：______． 13. 现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 14. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 15 已知实数a，b满足，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点和点，连接，以为边作等边三角形，顶点为，过点作，分别交y轴、x轴于点、，再以为边作等边三角形，……，逐次作等边三角形，则第2017个等边三角形的顶点坐标是____． 17. 如图，在平面鱼角坐标系xOy中，A（﹣3，0），点B为y轴正半轴上一点，将线段AB绕点B旋转90°至BC处，过点C作CD垂直x轴于点D，若四边形ABCD的面积为36，则线AC的解析式为_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为___________． 三．解答题（共8小题，共96分） 19. 计算： （1） （2）解不等式组并写出它的所有负整数解． （3）先化简，再求值：，其中． 20. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 21. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 22. 【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 24. 已知是的直径，点在线段的延长线上，，点在上，连接． （1）如图①，线段所在的直线与相切，求线段的长； （2）如图②，线段与还有一个公共点，且，连接交于点D． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②求线段的长． 25. 如图所示，边长为的正方形两对角线相交于点O，，绕着点自逆时针方向旋转，交直线于点、． （1）如图1所示，当绕着点旋转到恰好平分时，试证明； （2）如图2所示，当绕着点旋转，边、恰好位于两侧，且，计算三角形的面积； （3）如图3所示，射线旋转到正方形外侧，与直线相交于点F，令，令，请写出与的关系． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区东洲国际学校2026年中考模拟试卷（一） 数学试题 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本试卷按0分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按0分处理． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求解． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与的字母部分不同（与），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B：，故本选项的计算错误； C：，故本选项的计算正确； D：，故本选项的计算错误． 故选：C． 4. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 6. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 7. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， ∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴当时，的符号不确定，即的符号不确定， ∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 8. 如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若． 【详解】解：， 若与相似，可分两种情况： ①若， 则， ； 解得． ②若， 则， ， 解得或6． 则满足条件的长为或1或6． 故选：C． 9. 如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点，点是上的任意一点（不与点重合）如果，则点和点的坐标可能为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据圆周角性质可得∠BAO=∠BCO，从而得出，即，然后进一步可得两点的坐标. 【详解】 如图，连接， ∵， ∴是的直径， 易得：， ∴， ∴， ∴A、B两点坐标有可能为：）和. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了圆周角性质与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 10. 如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，且， ∴，， ∵存在， ∴，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13. 现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 14. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 15. 已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点和点，连接，以为边作等边三角形，顶点为，过点作，分别交y轴、x轴于点、，再以为边作等边三角形，……，逐次作等边三角形，则第2017个等边三角形的顶点坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设与相交于点E，作轴于点F，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，证明等腰直角三角形，得出，求出点C的坐标是，证明为等腰直角三角形，求出，得出，总结一般规律，得出答案即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点E，作轴于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴点C的坐标是， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，点坐标为：， 即， …， 则的坐标是． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了坐标规律探索，等边三角形的性质，等腰直角的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是求出点C和的坐标，找出一般规律． 17. 如图，在平面鱼角坐标系xOy中，A（﹣3，0），点B为y轴正半轴上一点，将线段AB绕点B旋转90°至BC处，过点C作CD垂直x轴于点D，若四边形ABCD的面积为36，则线AC的解析式为_____． 【答案】y＝x+1或y＝﹣3x﹣9． 【解析】 【分析】过C作CE⊥OB于E，则四边形CEOD是矩形，得到CE＝OD，OE＝CD，根据旋转的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到BO＝CE，BE＝OA，求得OA＝BE＝3，设OD＝a，得到CD＝OE＝|a﹣3|，根据面积公式列方程得到C（﹣6，9）或（6，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A点和C点的坐标代入即可得到结论． 【详解】解：过C作CE⊥OB于E， 则四边形CEOD是矩形， ∴CE＝OD，OE＝CD， ∵将线段AB绕点B旋转90°至BC处， ∴AB＝BC， ∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBO＝∠CBO+∠BCE＝90°， ∴∠ABO＝∠BCE， ∵∠AOB＝∠BEC＝90°， ∴△ABO≌△BCO（AAS）， ∴BO＝CE，BE＝OA， ∵A（﹣3，0）， ∴OA＝BE＝3， 设OD＝a， ∴CD＝OE＝|a﹣3|， ∵四边形ABCD的面积为36， ∴AO•OB+（CD+OB）•OD＝×3×a+（a﹣3+a）×a＝36， ∴a＝±6， ∴C（﹣6，9）或（6，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A点和C点的坐标代入得， 或 解得：或 ， ∴直线AB的解析式为或y＝﹣3x﹣9． 故答案为或y＝﹣3x﹣9． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于，则，，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，． ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 如图，取的中点，连接、，作交的延长线于， ， 则，， ∴，， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共96分） 19 计算： （1） （2）解不等式组并写出它的所有负整数解． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）3 （2）不等式组的解集为，负整数解为， （3） 【解析】 【分析】本题考查含特殊角的三角函数值的混合运算，不等式组的解法，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先代入特殊角的三角函数值，再进一步运算即可． （2）分别解不等式组中的两个不等式得到不等式组的解集，再确定负整数解即可． （3）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组解集为，负整数解为，． 【小问3详解】 解： ， 由题意得，， ∴原式． 20. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1） （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估算总体，平均数，中位数的含义． （1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由B组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可； （3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案. 【小问1详解】 解：B组15个成绩的平均数为： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， ∵，而， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第个，第个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）. 21. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据矩形得到，再结合已知条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 22. 【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【答案】（1）；（2）该部件的长度符合要求；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用． （1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可； （3）能，将圆柱换成正方体． 【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，， ∴，； （2）∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴该部件的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体．如图， 设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出． （3）①设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ②根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由①可得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 ①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由①得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由①可得， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 24. 已知是的直径，点在线段的延长线上，，点在上，连接． （1）如图①，线段所在的直线与相切，求线段的长； （2）如图②，线段与还有一个公共点，且，连接交于点D． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②求线段的长． 【答案】（1） （2）①，理由见试题解析；② 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质得，然后利用勾股定理来求的长度即可． （2）如图②，连接．利用三角形中位线的判定与性质得到．根据圆周角定理推知，进而可证． ②如图，连接，证明，利用相似三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图①，连接． ∵线段所在的直线与相切，点Q在上， ∴． ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：①．理由如下： 如图②，连接． ∵， ∴点B是的中点， 又∵， ∴点C是的中点， ∴是的中位线， ∴． 又∵是直径， ∴，即， ∴． 如图②，，则四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ 解得，或(负值舍去) ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 25. 如图所示，边长为的正方形两对角线相交于点O，，绕着点自逆时针方向旋转，交直线于点、． （1）如图1所示，当绕着点旋转到恰好平分时，试证明； （2）如图2所示，当绕着点旋转，边、恰好位于两侧，且，计算三角形的面积； （3）如图3所示，射线旋转到正方形外侧，与直线相交于点F，令，令，请写出与的关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，根据正方形的性质，易证，再根据角平分线的性质，易证，从而，利用“”，可证，则，等量代换即可求证； （2）过点作交于点，和相交于点K，设，则，，根据正方形的性质，易得和是等腰直角三角形，可得，，从而，进而，利用“”，得，则，求出x的值，最后利用面积公式即可求解； （3）过点作交于点，根据正方形的性质和解直角三角形，易得，，是等腰直角三角形，进而，，整理可得，代入，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，过点作交于点， 正方形， ，， ，即是等腰直角三角形， ， 恰好平分，， ，则， 又， （）， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，过点作交于点，过点作交于点，和相交于点K， 设，则，， 正方形的边长为， ，，，， ，， ，，即和是等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，即是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 则，解得，（舍去）， ， ， 则三角形的面积为； 【小问3详解】 如图3，过点作交于点， 正方形的边长为， ，，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，即是等腰直角三角形， ， ，则， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）直接由待定系数法即可求解； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； 【小问3详解】 解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $