2026年中考数学一轮复习重点专题专训（华东师大版）05 方程（诊讲评提闭环专训）

中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版）05 方程 （诊讲评提闭环专训） 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01 通过方程基本概念识别对应方程（一元一次、一元二次、二元一次方程）并结合 题型02 利用方程与的解关系求代数式的值及系数问题 题型03 选用合适的方法解对应方程，核心素养渗透：通过解方程逐步渗透消元降次思想。 题型04 错看或错解方程问题 题型05 能够利用配方思想解决相关问题 题型06 判断不含字母的一元二次方程根的情况 题型07 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 题型08 应用根的判别式证明方程根的情况 题型09 由根与系数的关系解决相关求代数式的值问题 题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 题型11 方程的基本应用（增长率问题、利润问题、面积问题、循环问题、数字问题、传播问题等） ， 核心素养渗透： 利用方程思想解决相关面积问题 二、依标扣本（课标相关要求） 1、理解一元二次方程的相关概念. 2、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 3、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 4、掌握基本的一元二次方程的根与系数的关系. 5、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. ∴m+n＝2025，mn＝1， ∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027， 故答案为：2027． 三、诊断卷 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数是2，则一次项系数是（    ） A．3 B． C．1 D． 3、用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 4．（2025江苏中考）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 5．若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ． 6、（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025广东中考）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 8、（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 . 9、如图，在中，，将△ABC折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 10、解方程或方程组 （1）（2025•西安校级四模）解方程：． （2）、． （3）4（x﹣1）2＝9； （4） 用配方法解方程：x2﹣10x+9＝0． （5）解方程：x（x﹣2）＝7． 11、已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 12、解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值． 四、典型试题 1、（2025•兰州）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2、（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 3．已知是方程的一个解，则的值为（    ） A．10 B．－10 C．2 D．－40 4、已知，则的最小值是（    ） A．8 B． C． D．9 5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 6、（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是（   ） A． B． C． D． 7．（2025•连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　） A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1 8．若方程组的解中x与y互为相反数，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9、解方程或方程组 （1）（2025•淄博）解方程组：． （2）（2024秋•汉台区期末）解方程：． （3） 解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）． （4） ； 10．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求实数的值； （3）求使的值为整数的实数的整数值． 11、某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 12．春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染， 根据题意得：， 即， 解得：， (不符合题意，舍去)． 答：每轮每人传染的人数为7人． 五、评估卷 1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2、（2025•贵州）已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025年河南中考）一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A．－2 B．2 C．－4 D．4 5．（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 6、解方程 （1）：． （2）（配方法）． （3） ． 7、已知实数x满足，则代数式的值为_______． 8、根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题． 应用：代数式有 　 　值(填“最大”或“最小”)这个值是 　 　． 探究：求代数式的最小值，小明是这样做的： ∴当时，代数式有最小值，最小值为1 请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值， 拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值 9、 关于x，y的方程组与的解相同，求（a﹣b）2022的值． 10．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③ ③×17得：17x+17y＝17．④ ①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1． 所以这个方程组的解是． （1）请你运用小明的方法解方程组． （2）猜想关于x、y的方程组（a≠b）的解是 　． 11．现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完） 12．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 六、提升卷 1、若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x，y的方程组的解满足x+y=2022，则k等于（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 3．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为　　 A．0 B． C． D． 4、（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 5．（2025甘肃中考）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 6、如图，矩形中，，将矩形沿对角线翻折，点B的对应点为点，交于点E，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 7．下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 8、（2025·甘肃定西）若m是方程的根，则式子的值为 9、（2025·四川绵阳·二模）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为 ． 10、我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明： 例：解方程：． 解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设， 则原方程可化为，∴，∴，∴， ∴或， ∴方程的解为，． 任务： (1)上述小论文的解析过程中，解方程的过程主要用了______． A．直接开平方法　　　B．配方法　　C．因式分解法　　　D．公式法 (2)解方程：． 11．已知：关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根为，求的值，并求另一根； （3）若方程两根为，，且满足，求的值． 12、先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴多项式的最小值是4 (1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______； (2)求多项式的最大值． 13、（2025•烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版）05方程（诊讲评提闭环专训） (解析篇) 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01通过方程基本概念识别对应方程（一元一次、一元二次、二元一次方 程)并结合相关概念求参数的值 题型02利用方程与的解关系求代数式的值及系数问题 题型O3选用合适的方法解对应方程，核心素养渗透：通过解方程逐步渗透消 元降次思想。 题型04错看或错解方程问题 题型05能够利用配方思想解决相关问题 题型06判断不含字母的一元二次方程根的情况 题型07由方程根的情况确定字母的值或取值范围 题型08应用根的判别式证明方程根的情况 题型09由根与系数的关系解决相关求代数式的值问题 题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用 题型11方程的基本应用（增长率问题、利润问题、面积问题、循环问题、数 字问题、传播问题等)， 核心素养渗透：利用方程思想解决相关面积问题 二、依标扣本（课标相关要求) 1、理解一元二次方程的相关概念. 2、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程： 3、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等： 4、掌握基本的一元二次方程的根与系数的关系. 5、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. .∴.tn=2025,mm=1, .∴.（叶1）（叶1）=tt+1=1+2025+1=2027, 故答案为：2027. 三、诊断卷 1.下列方程中，是一元二次方程的是（) A.2x2=5x-1 B.x+1=2 C.(x-3)(x+1)=x2-5 D.3x-y=5 【答案】A 2.一元二次方程2x2+1=3x的二次项系数是2，则一次项系数是( A.3 B.-3 C.1 D.-1 【答案】B 3、用配方法解一元二次方程-2x-2023=0,将它转化为(+a)2=b的形式， 则a的值为() A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 解：由题知， X-2x-2023=0, X-2x=2023, X-2+1=2023+1, (x-1)2=2024, 所以a=-1,b=2024, 所以a°=（-1)2024=1. 故选：D 4.（2025江苏中考)关于一元二次方程x-3x+1=0的根的情况，下列结论正确 的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 解：.△=（-3)2-4×1×1=5>0， .方程-3+1=0有两个不相等的实数根. 故选：A. 5.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-ax+a2=1的一个根为0.则a= 【答案】-1 解：关于x的一元二次方程(a-1)x2-ax+a2=1的一个根为0 a2=1,a-1≠0 .a=-1 故答案为：-1. 6、(2025·辽宁铁岭·一模)我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题， 其原文如下：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？其 大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车：若2个人乘一辆车，则有9个人要步行， 问人数和车数各是多少.设人数为x人，车数为y辆，可列方程为( ) 3(y+2)=x 3(y-2)=x 3(x-2)=y A. f3(y-2)=xB. C. 2y-9=x 2-9=x 2y+9=x 2y+9=x 【答案】C 解：设人数为x人，车数为y辆， 由题意得， 3(y-2)=x 2y+9=x 故选：C, 7.(2025广东中考)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现 快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月 产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出 的方程为( A.2500（1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100 C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100 解：设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x, 根据题意得：2500（1+x)2=9100. 故选：A 8、（2025·江苏南京·模拟预测)若一元二次方程2.x2-4x-1=0的两根为m, 则m2+n2的值为 【答案】5 解：一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n, .由根与系数的关系得：m+n=2,m= 2 m+=0m+-2m=2-2司 =4+1=5. 故答案为：5. 9、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将△ABC折叠，使点B恰好落 在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB的长为() B A.3 B.2.5 C.1.5 D.1 A 解：根据折叠可得EB=EB',AB'=AB=6, 设EB=EB=x,则EC=8-x, 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8, .'AC=AB2+BC2=10, .B'C=AC-AB=10-6=4, 在Rt△EB'C中，由勾股定理得，x2+4=(8-x)2 解得x=3, 故选：A 10、解方程或方程组 (1)(2025·西安校级四模)解方程：2-2x1=+8 3 4 解：2-21=+8， 3 41 24-4(2x-1)=3(x+8), 24-8+4=3x+24, -8x-3x=24-24-4, -11x=-4, x=品 (2)、解下列方程组 2x+3y=12 3x+4y=171 解： 2x+3y=12① (3x+4y=17② ①×3得，6x+9y=36③， ②×2得，6x+8=34④， ③-④得，=2， 把=2代入①得，243×2=12， 解得x=3, 所以，方程组的解是武二2 (3)4(x-1)2=9: 解：(3)原方程直接开平方得：(x-1)2= 则x-1-± “x1=x2=- (4)用配方法解方程：x-10x+9=0. 解：X-10+9=0, X2-10x=-9, x-10x+25=-9+25, (x-5)2=16, x-5=±4， x-5=4或x-5=-4, x=9,x=1. (5)解方程：x（x-2)=7. 解：x(x-2)=7, X2-2x=7, X-2x+1=7+1,即(x-1)2=8, .x-1=±2V2, .x=1+2V2,x=1-2V2. 11、已知关于x的方程x2-2mx+m2-9=0. (1)求证：此方程有两个不相等的实数根： (2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x1+x2=6,求m的值. 解：（1)证明：根据题意可知：△=(-2m)2-4m2-9)=36>0, .方程有两个不相等的实数根： (2)解：由题意得：x1+2=2m ∴.x1+x2=2m=6, 解得m=3 12,解方程组化+8》-1日时，小方出于看错了系数结果得到的解为北1 2x-by=-1 小龙由十看错了系数A结果得到的解为，火a+的值。 【答案】4 解：，小卢由于看错了系数a, 把此7代入2x-by=-1待街：-6+b-1, 解得：b=5, ,小龙由于看错了系数b, 把6-4代入x+5y=15得：5a+20=15, 解得：a=-1, ∴.a+b=-1+5=4. 四、典型试题 1、(2025·兰州)若关于x的一元二次方程x+2x+a=0有两个不相等的实数根， 则a的值可以是（) A.3 B.2 C.1 D.0 解：根据题意得△=2-4a>0, 解得a<1, 所以a可以取0. 故选：D 2、(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度， 该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均 增长率为( ) A.10% B.20% C.22% D.44% 解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x, 根据题意得：25（1+x)2=36, 解得：x=0.2=20%,x=-2.2（不符合题意，舍去)， ∴.该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%. 故选：B 3.已知a是方程2x2-3x-5=0的一个解，则-4a2+6a的值为( A.10 B.-10 C.2 D.-40 【答案】B 解.a是方程的一个解， .有2a2-3a-5=0,即，2a2-3a=5, .-4a2+6a=-2(2a2-3a)=-2×5=-10, 故选：B. 4、已知y2-2x+4=0,则x2+y2+2x的最小值是( A.8 B.-8 C.-9 D.9 【答案】A 解：.y2-2x+4=0, ∴.y2=2x-4,且2x-4≥0即x≥2， .x2+y2+2x=x2+2x-4+2x =x2+4x+4-8 =(x+2)2-8, (x+2)2≥0，x≥2 .当x=2时，x2+y2+2x的最小值是8， 故选：A. 5.已知关于x的一元二次方程kx2-(2k-1)x+k-2=0有两个不相等的实数 根，则实数k的取值范围是() A.k>- B.k<} C.k>-且k≠0 D.k<且k≠0 【答案】c 解：由题可得： k≠0 [-(2k-10]2-4kk-2)>0' 解得：k>-且k≠0： 故选：C 6、(2025·湖北荆州·模拟预测)《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木， 不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思 是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木 还剩余1尺.问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是 ( ) y-x=4.5 x-y=4.5 x-y=4.5 -x=1 1 B. 1 C. 2y-x=1 1 x-2=1 y-x=4.5 D. 1 x- 【答案】D 解：设木长x尺，绳长y尺， [y-x=4.5 根据题意，得{1 2=1' 故选：D. 7.(2025连云港)《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海： 雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭.所提问题 即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？)如果设经 过x天能够相遇，根据题意，得() A.7x+5x=1B.7x-x=1 C.7+9x=1 D.9x-7x=1 解：根据题意得：+=1. 故选：A. 8.若方程组 m-x+(m+1)y=4的解中x与y互为相反数，则m的值为() 2x+3y=1 A.1 B.2 C.3 D.4 解：方程细++1y-4的中与万为冠反微 :2x+3y=10 x+y=0② 解这个方程组， 得1 把卧二11代入方程a-产(m1D广4， 得t1+(t1)×1=4. 解这个方程，得m=1. 故选：A 9、解方程或方程组 (1)（2025·淄博)解方程组： x-兰=2 2 2x+3y=12 解： x-=2@ 2x+3y=12② ①得：x=2+③， 把③代入②得：4++3y=12, .y=2, 把y=2代入③得：x=2+1=3, 1原方程组的解为化二2 (2)(2024秋~汉台区期末)解方程：2x-号=2- 解：2x-分=2-2 8x-（x-1)=8-2（3-x), 8x-x+1=8-6+2x, 8x-x-2x=8-6-1, 5x=1, x=0.2 (3)解方程：x(x1)=2(x1)(因式分解法). 解：x（x1)=2(xr1), 移项，得x(1)-2(x1)=0, ∴.(r1)(x2)=0, .x1=0或x2=0, 解得：x1=1,x2=2. (4)2x2-5V2x+1=0: (4)解：：方程x2-5V2x+1=0, △=(-522-4×3×1=48， ∴原方程的解为：x1=5V2+4V3,x2=5V2-4W3: 10.已知x’x,是关于x的一元二次方程4：-4+k+1=0的两个实数根. (1)求实数k的取值范围： (2)若+=4，求实数k的值： (3)求使立+一-2的值为整数的实数k的整数值. X2 X 解：(1)关于x的一元二次方程4x2-4+k+1=0的两个实数根， (4)2-4×4(k+)0,且4k≠0，解得：k<0; (2),x是关于x的一元二次方程42-4+k+1=0的两个实数根， 、+火2=A=1·二 -4k, 中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版）05 方程（诊讲评提闭环专训） （解析篇） 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01 通过方程基本概念识别对应方程（一元一次、一元二次、二元一次方程）并结合 题型02 利用方程与的解关系求代数式的值及系数问题 题型03 选用合适的方法解对应方程，核心素养渗透：通过解方程逐步渗透消元降次思想。 题型04 错看或错解方程问题 题型05 能够利用配方思想解决相关问题 题型06 判断不含字母的一元二次方程根的情况 题型07 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 题型08 应用根的判别式证明方程根的情况 题型09 由根与系数的关系解决相关求代数式的值问题 题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 题型11 方程的基本应用（增长率问题、利润问题、面积问题、循环问题、数字问题、传播问题等） ， 核心素养渗透： 利用方程思想解决相关面积问题 二、依标扣本（课标相关要求） 1、理解一元二次方程的相关概念. 2、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 3、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 4、掌握基本的一元二次方程的根与系数的关系. 5、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. ∴m+n＝2025，mn＝1， ∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027， 故答案为：2027． 三、诊断卷 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．一元二次方程的二次项系数是2，则一次项系数是（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 3、用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 解：由题知， x2﹣2x﹣2023＝0， x2﹣2x＝2023， x2﹣2x+1＝2023+1， （x﹣1）2＝2024， 所以a＝﹣1，b＝2024， 所以ab＝（﹣1）2024＝1． 故选：D． 4．（2025江苏中考）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ． 【答案】-1 解 关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0 故答案为：-1． 6、（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设人数为人，车数为辆， 由题意得，， 故选：． 7．（2025广东中考）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x， 根据题意得：2500（1+x）2＝9100． 故选：A． 8、（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 . 【答案】5 解：一元二次方程的两根为m，n， 由根与系数的关系得：，， ． 故答案为：5． 9、如图，在中，，将△ABC折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 A 解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 10、解方程或方程组 （1）（2025•西安校级四模）解方程：． 解：， 24﹣4（2x﹣1）＝3（x+8）， 24﹣8x+4＝3x+24， ﹣8x﹣3x＝24﹣24﹣4， ﹣11x＝﹣4， ． （2）、解下列方程组 ． 解：， ①×3得，6x+9y＝36③， ②×2得，6x+8y＝34④， ③﹣④得，y＝2， 把y＝2代入①得，2x+3×2＝12， 解得x＝3， 所以，方程组的解是． （3）4（x﹣1）2＝9； 解：（3）原方程直接开平方得：， 则， ∴，； （4）用配方法解方程：x2﹣10x+9＝0． 解：x2﹣10x+9＝0， x2﹣10x＝﹣9， x2﹣10x+25＝﹣9+25， （x﹣5）2＝16， x﹣5＝±4， x﹣5＝4或x﹣5＝﹣4， x1＝9，x2＝1． （5）解方程：x（x﹣2）＝7． 解：x（x﹣2）＝7， x2﹣2x＝7， x2﹣2x+1＝7+1，即（x﹣1）2＝8， ∴x﹣1， ∴x1＝1+2，x2＝1﹣2． 11、已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 解：（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 12、解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值． 【答案】4 解：∵小卢由于看错了系数a， ∴把代入得：， 解得：， ∵小龙由于看错了系数b， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 四、典型试题 1、（2025•兰州）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 解：根据题意得Δ＝22﹣4a＞0， 解得a＜1， 所以a可以取0． 故选：D． 2、（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故选：B． 3．已知是方程的一个解，则的值为（    ） A．10 B．－10 C．2 D．－40 【答案】B 解 ∵a是方程的一个解， ∴有，即，， ∴， 故选：B． 4、已知，则的最小值是（    ） A．8 B． C． D．9 【答案】A 解：∵， ∴，且即， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值是， 故选：A． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 6、（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：设木长尺，绳长尺， 根据题意，得， 故选：D． 7．（2025•连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　） A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1 解：根据题意得：xx＝1． 故选：A． 8．若方程组的解中x与y互为相反数，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵方程组的解中x与y互为相反数， ∴． 解这个方程组，得． 把代入方程m﹣x+（m+1）y＝4， 得m+1+（m+1）×1＝4． 解这个方程，得m＝1． 故选：A． 9、解方程或方程组 （1）（2025•淄博）解方程组：． 解：， 由①得：x＝2③， 把③代入②得：4+y+3y＝12， ∴y＝2， 把y＝2代入③得：x＝2+1＝3， ∴原方程组的解为． （2）（2024秋•汉台区期末）解方程：． 解：， 8x﹣（x﹣1）＝8﹣2（3﹣x）， 8x﹣x+1＝8﹣6+2x， 8x﹣x﹣2x＝8﹣6﹣1， 5x＝1， x＝0.2． （3） 解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）． 解：x（x-1）=2（x-1）， 移项，得x（x-1）-2（x-1）=0， ∴（x-1）（x-2）=0， ∴x-1=0或x-2=0， 解得：=1，=2． （4） ； （4）解：∵方程， ， ∴原方程的解为：； 10．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求实数的值； （3）求使的值为整数的实数的整数值． 解：（1）关于的一元二次方程的两个实数根， ，且，解得：； （2），是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 即，解得：，符合题意； （3），， ， 或，或2，或，或4，或，解得：或，1，，3，， ， ，，． 11、某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由所给函数图象可知：， 解得， 故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120； （2）∵y＝﹣2x+120， ∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400， 即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400； （3）根据题意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400， ∴x1＝30，x2＝50（舍）， ∵20≤x≤38， ∴x＝30． 答：每件商品的售价应定为30元． 12．春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染， 根据题意得：， 即， 解得：， (不符合题意，舍去)． 答：每轮每人传染的人数为7人． 五、评估卷 1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 解：A．方程xy＝5，未知数的项的次数是2次，故方程组不属于二元一次方程组，故本选项不合题意； B．该方程组属于二元一次方程组，故本选项符合题意； C．5x不是整式方程，故方程组不属于二元一次方程组，故本选项不合题意； D．方程组含有三个未知数，故方程组不属于二元一次方程组，故本选项不合题意． 故选：B． 2、（2025•贵州）已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解， 则2+m＝7， 解得：m＝5， 故选：C． 3．（2025年河南中考）一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A．－2 B．2 C．－4 D．4 【答案】A 解 ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴， 故选：A. 5．（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 解：由题意可得， 8000（1+x）2＝12000， 故选：B． 6、解方程 （1）：． 解：（1）， 5（3x﹣1）﹣2（4x+2）＝20， 15x﹣5﹣8x﹣4＝20， 15x﹣8x＝20+5+4， 7x＝29， x． (2) （配方法）． （2）解：移项得： 系数化1得： 两边加上一次项系数一半的平方得： 配方得： 开方得： 解得：x1=，x2=3． (3) ． （3）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得． 7、已知实数x满足，则代数式的值为_______． 【答案】2023 解：设， 由原方程，得， 整理，得， 所以或． 当时，，则； 当时，即时，，方程无解，此种情形不存在． 故答案是：2023． 8、根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题． 应用：代数式有 　 　值(填“最大”或“最小”)这个值是 　 　． 探究：求代数式的最小值，小明是这样做的： ∴当时，代数式有最小值，最小值为1 请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值， 拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值 【答案】应用：最小，；探究：，此时；拓展：，此时，． 解：应用： ∵，， ∴代数式有最小值，这个值是，此时； 故答案为：最小，； 探究： ， 当，即时，代数式的最小值为； 拓展： ， 当，时，即，，多项式的最小值是． 9、 关于x，y的方程组与的解相同，求（a﹣b）2022的值． 解：把x+2y＝﹣4和x﹣2y＝12组成方程组， 得， 解得， 把代入ax+by＝4， 得4a﹣4b＝4， 即a﹣b＝1， 所以（a﹣b）2022＝12022＝1． 10．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③ ③×17得：17x+17y＝17．④ ①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1． 所以这个方程组的解是． （1）请你运用小明的方法解方程组． （2）猜想关于x、y的方程组（a≠b）的解是 　． 解：（1）， ②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③， ③×1997得：1997x+1997y＝1997， 得，y＝2， 把y＝2代入③得x＝﹣1， 所以这个方程组的解是； （2）这个方程组的解是． 故答案为：． 11．现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完） 【答案】的长是 解：设的长为，则的长为，依题意，得： ， 整理，得：， 解得： ， 答：的长是 12．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 解：（1），，或， 所以，， 则方程是“倍根方程”； （2），或， 解得：，， 是“倍根方程”， 或， ①当时，； ②当时，； 综上，代数式的值为26或5； （3）设方程的根的两根分别为、， 根据根与系数的关系得：，， 解得：，或，， 的值为13或． 六、提升卷 1、若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2．若关于x，y的方程组的解满足x+y=2022，则k等于（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 解：， ①+②，得5x+5y＝5k﹣5， ∴x+y＝k﹣1， ∵x+y＝2022， ∴k﹣1＝2022， ∴k＝2023， 故选：D． 3．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为　　 A．0 B． C． D． 解：为方程的根， ， ， ， 方程的两根分别是和， ， ． 故本题选：． 4、（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 解：依题意，得：240x＝150（x+12）． 故选：A． 5．（2025甘肃中考）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 解：∵一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3m≥0， ∴m≤3． 故选：B． 6、如图，矩形中，，将矩形沿对角线翻折，点B的对应点为点，交于点E，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 解：设， 在矩形中，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵矩形沿对角线翻折，点B的对应点为点，交于点E， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴． 故选：D 7．下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 解： ①+③得：4a＝﹣4， 解得：a＝﹣1， ②+③得：5a﹣2b＝﹣9④， 把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9， 解得：b＝2， 把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0， 解得：c＝﹣1， 故原方程组的解为， 故选：B． 8、（2025·甘肃定西）若m是方程的根，则式子的值为 【答案】2029 解：∵m是方程的根， 把代入，得， 则． 所以． 故答案为：2029． 9、（2025·四川绵阳·二模）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为 ． 【答案】1 解：， 得：， 解得， 将代入，得， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴k的值为1． 故答案为：1． 10、我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明： 例：解方程：． 解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设， 则原方程可化为，∴，∴，∴， ∴或， ∴方程的解为，． 任务： (1)上述小论文的解析过程中，解方程的过程主要用了______． A．直接开平方法　　　B．配方法　　C．因式分解法　　　D．公式法 (2)解方程：． 解：（1）解：由解题过程可知，上述小论文的解析过程中，解方程的过程主要用了配方法， 故答案为：B； （2）解：设，则原方程可化为， 即， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 经检验是原方程的解， 所以原方程的解是． 11．已知：关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根为，求的值，并求另一根； （3）若方程两根为，，且满足，求的值． 解：（1）证明：△ ， 方程总有两个实数根； （2）解：方程有一根为， ， ， ，解得：，， 综上，的值为，另一根为1； （3）解：，是一元二次方程的两根， ，， ， ， ， ． 12、先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴多项式的最小值是4 (1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______； (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)完全平方公式 (2)30 解 ：（1）解：公式为：，即：完全平方公式， 故答案为：完全平方公式； （2） ； ∵， ∴， ∴的最大值是． 13、（2025•烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】（1）甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元； （2）当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少． 解：（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元； （2）设购买m盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元，则购买（40﹣m）盏乙种路灯， 根据题意得：w＝60m+80（40﹣m）＝﹣20m+3200， ∵﹣20＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m（40﹣m）， ∴m≤10， ∴当m＝10时，w取得最小值，此时40﹣m＝40﹣10＝30（盏）． 答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少． 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版）05方程 (诊讲评提闭环专训) 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01通过方程基本概念识别对应方程（一元一次、一元二次、二元一次方 程)并结合相关概念求参数的值 题型02利用方程与的解关系求代数式的值及系数问题 题型O3选用合适的方法解对应方程，核心素养渗透：通过解方程逐步渗透消 元降次思想。 题型04错看或错解方程问题 题型05能够利用配方思想解决相关问题 题型06判断不含字母的一元二次方程根的情况 题型07由方程根的情况确定字母的值或取值范围 题型O8应用根的判别式证明方程根的情况 题型09由根与系数的关系解决相关求代数式的值问题 题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用 题型11方程的基本应用（增长率问题、利润问题、面积问题、循环问题、数 字问题、传播问题等)，核心素养渗透：利用方程思想解决相关面积问题 二、依标扣本（课标相关要求) 1、理解一元二次方程的相关概念。 2、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程： 3、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等： 4、掌握基本的一元二次方程的根与系数的关系. 5、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. .∴.tn=2025,mn=1, .(t1)(t1)=m+t叶1=1+2025+1=2027， 故答案为：2027. 三、诊断卷 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x2=5x-1 B.x+=2 C.(x-3)(x+1)=x2-5 D.3x-y=5 2.一元二次方程2x2+1=3x的二次项系数是2，则一次项系数是( A.3 B.-3 C.1 D.-1 3、用配方法解一元二次方程-2x-2023=0,将它转化为(+a)2=b的形式， 则a的值为() A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 4.（2025江苏中考)关于一元二次方程x-3+1=0的根的情况，下列结论正确 的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 5.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-ax+a=1的一个根为0.则a= 6、(2025·辽宁铁岭·一模)我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题， 其原文如下：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？其 大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行， 问人数和车数各是多少.设人数为x人，车数为y辆，可列方程为( 3(y+2)=x 3(y-2)=x 3(x-2)=y A. 30y-2)=xB c. D. 2y-9=x 2y-9=x 2y+9=x 2y+9=x 7.(2025广东中考)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现 快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月 产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出 的方程为() A.2500（1+x)2=9100 B.2500（1-x)2=9100 C.2500（1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100 8、（2025·江苏南京·模拟预测)若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n, 则m2+n2的值为 9、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将△ABC折叠，使点B恰好落 在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB的长为() B B---- A.3 B.2.5 C.1.5 D.1 10、解方程或方程组 (1)(2025·西安校级四模)解方程：2-2= 3 (2)、 2x+3y=12 3x+4y=171 (3)4(x-1)2=9: (4)用配方法解方程：X-10x+9=0.(5)解方程：x(x-2)=7. 11、已知关于x的方程x2-2mx+m2-9=0. (1)求证：此方程有两个不相等的实数根： (2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x1+x2=6,求m的值. 12,样方程十二1时，小片由于看铝了系家a结果得到的解为妮-； 小龙出于看结了系数么结果得到的解为二；求a+b的值 四、典型试题 1、(2025·兰州)若关于x的一元二次方程+2x+a=0有两个不相等的实数根， 则a的值可以是（) A.3 B.2 C.1 D.0 2、(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度， 该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均 增长率为( ) A.10% B.20% C.22% D.44% 3.已知a是方程2x2-3x-5=0的一个解，则-4a2+6a的值为( A.10 B.-10 C.2 D.-40 4、已知y2-2x+4=0,则x2+y2+2x的最小值是( A.8 B.-8 C.-9 D.9 5.已知关于x的一元二次方程kx2-(2k-1)x+k-2=0有两个不相等的实数 根，则实数k的取值范围是() A.k>- B.k< C.k>-祖k≠0 D.k<且k≠0 6、(2025·湖北荆州·模拟预测)《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木， 不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思 是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木 还剩余1尺.问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是 ) y-x=4.5 x-y=4.5 x-y=4.5 2y-x=1 31 B. 5-x=1 c. 1 x2y=1 y-x=4.5 21 7.(2025连云港)《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海： 雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭.所提问题 即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经 过x天能够相遇，根据题意，得() A.3x+5x=1B.x-x=1C.7x+9x=1 D.9x-7x=1 8若方程组+十m十y4的解中x与互为相反数，则a的佰为) A.1 B.2 C.3 D.4 9、解方程或方程组 (1)(2025·淄博)解方程组： x-8=2 2x+3y=12 (2)(2024秋~汉台区期末)解方程：2x-号=2-2 (3)解方程：x(x1)=2(x1)(因式分解法). (4)2x2-5V2x+1=0: 10.已知x’x,是关于x的一元二次方程42-4+k+1=0的两个实数根 (1)求实数k的取值范围； (2)若x2+x=4,求实数k的值： (3)求使立+立-2的值为整数的实数k的整数值. XX 11、某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的 销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.设 该商场销售这种商品每天获利w(元) (1)求y与x之间的函数关系式： (2)求m与x之间的函数关系式： (3)该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获 得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ +y(件) 70------ 50------- 0 25 35x(元) 12.春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非 常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感.若每轮 传染的速度相同，求每轮每人传染的人数， 解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有 x(4+4x人被感染， 根据题意得：4+4x+x(4+4x)=256, 即4(x+1)2=256, 解得：1=7,2=-9（不符合题意，舍去）. 答：每轮每人传染的人数为7人， 五、评估卷 1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是() g B. 3x+2y=8 2x=y (x+5y=10 2+7y=12x 5x月 D. l2x+6z=0 2、(2025·贵州)已知x=2是关于x的方程+m=7的解，则m的值为（) A.3 B.4 C.5 D.6 3.（2025年河南中考)一元二次方程x2-2x=0的根的情况是（) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2-2(1+ 2c)=( A.-2 B.2 C.-4 D.4 5.（2025·黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经 逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的 8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长 率为x,则可列方程为() A.8000（1+2x)=1200 B.8000（1+x)2=12000 C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2=12000 D.8000×2(1+x)=12000 6、解方程 (1):31-+2=2. (2)2x2-7x+3=0(配方法) 5 (3)(2x-1)2-x(2x-1)=0. 7、已知实数x满足(x2-x)2-2(x2-x)-3=0,则代数式x2-x+2020的值 为 8、根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任 何数a,a2≥0都成立，据此请回答下列问题. 应用：代数式m2-1有值（填“最大”或“最小”）这个值是 探究：求代数式n2+4+5的最小值，小明是这样做的： m2+4n+5=n2+4n+4+1=(n+2)2+1.当n=-2时，代数式有最小值，最小值为1 请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x-1的最小值，并求此时x的值， 拓展：求多项式x2-4xy+5y2-12y+15的最小值及此时x,y的值 9、关于xy的方程组x+2y4,与x-2y二12，的解相同，求(ab) ax+by =4 bx-ay =20 202的值.