27.1圆的确定 教学设计2025-2026学年沪教版（上海）九年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦“圆的确定”核心知识，涵盖不在同一直线上的三个点确定一个圆、三角形外接圆与外心概念及反证法。通过“打碎圆形玻璃配玻璃”的生活实例导入，引导学生从单个点、两个点到三个点作圆的探究，搭建从具体到抽象的知识支架，梳理点与圆位置关系的脉络。 此资料亮点在于情境化与探究式结合，以生活问题激发兴趣，通过逐步作圆实验培养几何直观，用《王戎不摘李》动画具象化反证法思路，发展推理意识。实例丰富如三点作圆作图、外心位置观察等，助力学生形成数学眼光与思维，为教师提供清晰教学流程与实践案例，提升课堂效率与学生核心素养。

圆的确定 【教学目标】 1.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用. 2.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 3.了解反证法的证明思想. 【重点难点】 重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. 难点：讲授反证法的证明思路. ┃教学过程设计┃ 　　教学过程 设计意图 　　一、创设情境,导入新课 小明不慎把家中的一块圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃应该是哪一块？ 二、师生互动,探究新知 教师出示下列问题： 1.作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆？ 2.作圆,使它经过已知点A、B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ 答案：1.无数个 2.作出一个圆。圆心在AB两点的中间，圆心到线段AB两点的距离相同。 　　通过生动有趣的生活实例引入新课,培养学生的学习兴趣. 3. 作圆,使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上).你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ 答：作不出这样的圆；0个。 引导学生得出： 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 连接3中的三个点,可得一个三角形,它叫做圆的内接三角形,圆叫做三角形的外接圆.三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 学生作直角、锐角、钝角三角形的外接圆,分别观察外心的位置. 教师多媒体出示动画《王戎不摘李》片段. 教师引导学生假设李子不是苦的,即李子是甜的,那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么,树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？ 教师引导学生归纳反证法的定义,根据学生总结的情况补充完善. 思考： 经过同一直线上的三点能作出一个圆吗？教师出示问题,引导、点拨、分析. 答：不能 学生在教师的引导下,小组合作交流完成证明过程. 教师总结： 反证法的一般步骤先假设命题不成立——从假设出发——矛盾——得出假设命题不成立是错误的——即所求证的命题正确. 引导学生用反证法证明定理：两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等. 　 通过该问题引导学生学会探究、发现结论,亲自体验经历数学发生发展的过程. 教师通过引导学生自主、合作探究,培养学生分析问题、解决问题的意识和能力,养成良好的分析问题、解决问题的习惯. 加强教学反思,帮助学生养成系统整理知识的习惯.培养学生对反证法的应用能力. 　　三、合作探究 探究点一：确定圆的条件 已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C. 解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可． 解：(1)连接AB、BC； (2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O就是所求作的⊙O的圆心； (3)以点O为圆心，OC长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆． 方法总结：作经过三点的圆，即作这三点构成的三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的性质可知，其圆心为三边垂直平分线的交点，依据此作图即可求解． 探究点二：三角形的外接圆 【类型一】 与圆的内接三角形有关的坐标的计算 如图，△ABC的外接圆的圆心坐标是________． 解析：由图可知△ABC外接圆的圆心在BC的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y＝－1上，也在线段AB的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y＝x＋1上，则有解得则两线交点坐标为(－2，－1)，故填(－2，－1)． 方法总结：解题时可根据外接圆的圆心的性质：三角形外接圆圆心为三角形三边的垂直平分线的交点，列出相应的等式关系求解． 【类型二】 与圆的内接三角形有关线段的计算 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 解：连接OB，过点O作OD⊥BC，则OD＝5cm，BD＝BC＝12cm.在Rt△OBD中，OB＝＝＝13cm.即△ABC的外接圆的半径为13cm. 方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB，过点O作OD⊥BC，易得BD＝12cm.由此可求它的外接圆的半径． 探究点三：反证法 用反证法证明：一个圆只有一个圆心． 解析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此得出假设与已知定理矛盾，进而得出答案． 证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，连结OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，O′P都垂直于AB，与垂线的性质矛盾，故一个圆只有一个圆心． 方法总结：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立． 　　充分体现小组合作的优势. 　　四、课堂小结,提炼观点 教师引导学生归纳本节课的主要内容,根据学生的回答补充. 　　养成及时总结的习惯. 　　五、布置作业,巩固提升 　　加深认识,深化提高. 学科网（北京）股份有限公司 $