第一单元 有余数的除法（易错笔记）易错知识梳理+七大易错考点讲练+优选真题拔尖练 共41题-2025-2026学年人教版数学二年级下册培优讲义（新教材）

第一单元 有余数的除法 【解析版】 同学你好，该份讲义用于人教版（新教材）二年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选15题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 易错点一 概念认知类 1. 余数含义误解学生常将余数错误理解为“剩余的任意数”，忽略余数的产生条件是“不够再分”。 2. 单位混淆余数的单位需与被除数一致，而商的单位由实际问题决定。 3. 算式读法错误易将“36÷7=5……1”误读为“36除以7等于5余1个”，正确读法不应添加余数的具体单位，需严格遵循“被除数除以除数等于商余余数”的结构。 易错点二 计算规则类 1. 余数与除数大小关系混淆余数必须小于除数是核心原则，若出现“18÷5=3……3”则正确，但“20÷6=3……2”才是正确，部分学生易写出“20÷6=2……8”这类余数大于除数的错误结果。最大余数应为除数减1，最小余数为1，如“23÷8=2……7”中余数7是最大可能值。 2. 公式运用错误逆运算时易混淆顺序，如求被除数时漏加余数，或求除数时误用“（被除数+余数）÷商”，正确公式应为“被除数=商×除数+余数”“（被除数-余数）÷商=除数”。 3. 笔算步骤遗漏列竖式时易忽略“减商乘除数的积”步骤，或未将余数写在横式末尾。 易错点三 实际应用类易错点 1. 进一法与去尾法误用 进一法场景混淆：租车、租船等需完全容纳的问题中，学生易忽略余数部分也需额外资源，如“26个同学租船，每条船坐8人”应计算26÷8=3（条）……2（人），需租4条船。 去尾法场景混淆：购物、剪裁材料等无需使用余数的问题中，易错误使用进一法，如“30元买单价7元的笔记本”，30÷7=4（本）……2（元），实际只能买4本。 2. 周期问题中的余数误用在找规律类题目中，常将商当作结果，如“第17个图形是什么”，正确应通过17÷周期数得到余数，对应规律中的位置，而非直接使用商。 高频考点一：竖式计算 【典例精讲】（24-25二年级下·湖北黄冈·期末）竖式计算。 39÷4＝         78÷8＝       51÷6＝ 【答案】9……3；9……6；8……3 【易错点拨】除法用竖式计算时，从最高位开始除起，若除不了，就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。若有余数，则余数一定比除数小。 【规范解答】39÷4＝9……3 78÷8＝9……6 51÷6＝8……3                             【变式训练1】（24-25二年级下·广东江门·期末）用竖式计算。 23÷5＝            54÷9＝             68÷8＝ 【答案】4……3；6；8……4 【易错点拨】除法的计算方法：一商，二乘，三减，四比。 （1）商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几，写在被除数的个位的上面； （2）乘：把除数和商相乘，将得数写在被除数下面； （3）减：用被除数减去商与除数的乘积，所得的差写在横线的下面； （4）比：将余数与除数比一比，余数必须比除数小。 【规范解答】23÷5＝4……3 54÷9＝6 68÷8＝8……4                            【变式训练2】（24-25二年级下·黑龙江佳木斯·期末）竖式计算。 47÷9＝              59÷7＝               35÷8＝ 【答案】5……2；8……3；4……3 【易错点拨】有余数的除法的计算方法：一商，二乘，三减，四比。 （1）商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几，写在被除数的个位的上面； （2）乘：把除数和商相乘，将得数写在被除数下面； （3）减：用被除数减去商与除数的乘积，所得的差写在横线的下面； （4）比：将余数与除数比一比，余数必须比除数小。 【规范解答】47÷9＝5……2 59÷7＝8……3 35÷8＝4……3                  高频考点二：租船问题（解决问题） 【典例精讲】（25-26二年级下·全国·课后作业）60名同学坐观光车参观植物园。 (1)若所有同学都坐大车，至少需要多少辆大车？ (2)若所有同学都坐小车，至少需要多少辆小车？ (3)若大车和小车搭配乘坐，怎样能正好坐下60名同学呢？ 【答案】(1)7辆 (2)9辆 (3)6辆小车和2辆大车 【易错点拨】（1）参观植物园的总人数除以每辆大车可以乘坐的人数，算出商和余数，再将商加1即可。 （2）参观植物园的总人数除以每辆小车可以乘坐的人数，算出商和余数，再将商加1即可。 （3）每辆大车乘坐人数乘大车辆数，可以算出大车乘坐多少人。每辆小车乘坐人数乘小车辆数，可以算出小车乘坐多少人。大车乘坐人数加上小车乘坐人数等于60人即可。 【规范解答】（1）60÷9＝6（辆）……6（人） 6＋1＝7（辆） 答：至少需要7辆大车。 （2）60÷7＝8（辆）……4（人） 8＋1＝9（辆） 答：至少需要9辆小车。 （3） 大车/辆 小车/辆 人数/人 1 8 9＋7×8 ＝9＋56 ＝65 2 6 9×2＋7×6 ＝18＋42 ＝60 3 5 9×3＋7×5 ＝27＋35 ＝62 4 4 9×4＋7×4 ＝36＋28 ＝64 5 3 9×5＋7×3 ＝45＋21 ＝66 6 1 9×6＋7 ＝54＋7 ＝61 答：6辆小车和2辆大车能正好坐下60名同学。 【变式训练1】（25-26二年级下·全国·周测）二（1）班有42人去划船，每条船最多坐5人，至少要租几条船？如果每条船租金9元，租这些船一共要花多少钱？ 【答案】9条；81元 【易错点拨】已知二（1）班有42人去划船，每条船最多坐5人，用总人数除以每条船最多坐的人数，得到船的数量和余下的人数，从而确定至少要租几条船；每条船租金9元，用至少需要租的船数×9，即可算出租这些船一共要花多少钱。 【规范解答】根据分析可知： 42÷5＝8（条）……2（人），余下的2人也需要租一条船，8＋1＝9（条），至少需租9条船。 9×9＝81（元），租这些船一共要81元。 答：至少要租9条船，如果每条船租金9元，租这些船一共要花81元。 【变式训练2】（25-26二年级下·全国·课前预习）一只小船最多坐6人，有33个同学去划船，至少要租多少只小船，同学们才能一起去划船？ 【答案】6只 【易错点拨】总人数÷每条船上的人数＝坐满人的小船的数量……不满一船的人数 不满一船的人数也要再多租一条船，据此得出要租的船的数量。 【规范解答】33÷6＝5（只）……3（人） 5＋1＝6（只） 答：至少要租6只小船。 高频考点三：常规问题（解决问题） 【典例精讲】（25-26二年级下·全国·课后作业）2024年10月1日是中华人民共和国成立75周年国庆日，这一天是星期二，你知道这一年的10月31日是星期几吗？ 【答案】 星期四 【易错点拨】一个星期有7天，先用减法求出从10月1日到10月31日需要经过的天数，然后用这个数除以7，看余数是几，就要从星期二往后数几天，据此解答。 【规范解答】31－1＝30（天） 30÷7＝4（个）……2（天） 余数是2，就是从星期二往后数2天，是星期四。 答：这一年的10月31日是星期四。 【变式训练1】（25-26二年级下·全国·单元测试）有45本笔记本，平均分给几个小朋友后，正好还剩下3本。小朋友的人数有可能是（    ）人。 A．6 B．8 C．9 【答案】A 【易错点拨】45本笔记本平均分给几个小朋友，分完后剩下3本，也就是平均分完（本）笔记本，想一想乘积是42的算式有哪些，即可找出小朋友的人数，据此解答。 【规范解答】（本） （本） （本） （本） （本） 根据题意不可能分给1个小朋友，把45本笔记本平均分给几个小朋友，正好还剩下3本，小朋友人数可能有2人，3人，6人，7人，14人，21人，42人。 故答案为：A 【变式训练2】（25-26二年级下·全国·周测）消防队收拾整理了一些消防器材，按下面的规律摆放。 (1)第15个器材是（    ）。 （组）……（个） (2)第30个器材是（    ）。 （组）……（个） 【答案】(1)消防栓；15÷4＝3（组）……3（个） (2)灭火器；30÷4＝7（组）……2（个） 【易错点拨】（1）图中的消防器材按照两个灭火器一个消防栓一个警铃为一组重复摆放，求第15个器材是什么器材，用15除以每组的数量，若能除尽，就是这组的最后一个器材；若不能除尽，则余数是几，就是这组中第几个器材；   （2）图中的消防器材按照两个灭火器一个消防栓一个警铃为一组重复摆放，求第30个器材是什么器材，用30除以每组的数量，若能除尽，就是这组的最后一个器材；若不能除尽，则余数是几，就是这组中第几个器材。 【规范解答】（1）（组）（个） 所以第15个器材是消防栓。 （2）（组）（个） 所以第30个器材是灭火器。 高频考点四：周期问题（解决问题） 【典例精讲】（25-26二年级上·江苏·周测）△●●●★△●●●★△●●●★……按这样的规律一直排下去，第42个图形是( )，这42个图形中，△有( )个，●有( )个，★有( )个。 【答案】 ● 9 25 8 【易错点拨】先找到这一行图形排列的规律，“△●●●★”依次重复出现，再想42里面有几个5还多几。42÷5＝8（组）……2（个），第42个图形是●，△每组有一个，还多一个，是8＋1＝9（个），●每组有3个，还多1个，是8×3＋1＝25（个），★每组有一个，是8个。 【规范解答】据分析可知： 42÷5＝8（组）……2（个），所以第42个图形是第9组第2个是●。 △每组有一个，还多一个， 8＋1＝9（个），所以△有9个。 ●每组有3个，还多1个， 8×3＋1 ＝24＋1 ＝25（个） 所以●有25个。 ★每组有一个，是8个。 【变式训练1】（24-25二年级下·山东菏泽·期末）○○□□□○○□□□○○□□□……照样子摆下去，第24个图形是( )，第31个图形是( )。 【答案】 □ ○ 【易错点拨】由题可知，这组图形按照○○□□□为一组重复排列，每组有5个图形，则分别用24和31除以每组图形的数量，若能除尽，则是这组的最后一个图形；若除不尽，则余数是几就是下一组的第几个图形。 【规范解答】24÷5＝4（组）……4（个） 第24个图形是第5组的第4个； 31÷5＝6（组）……1（个） 第31个图形是第7组的第1个。 ○○□□□○○□□□○○□□□……照样子摆下去，第24个图形是□，第31个图形是○。 【变式训练2】（24-25二年级下·广东汕头·期末）小云按下图的规律穿珠子，第30个珠子是（    ）。 A． B． C．☆ 【答案】C 【易错点拨】 观察题干可知：这串珠子是按照4个为一组的顺序排列，据此用30÷4得出第30个珠子是第几组第几个，即可得出答案。 【规范解答】30÷4＝7（组）……2（个） 所以第30个珠子是第8组第2个，所以第30个珠子是☆。 故答案为：C 高频考点五：填写合适的数字 【典例精讲】（24-25二年级下·江西九江·期中）（    ）里最大能填几？ 6×( )＜37    30＞( )×5    6×( )＜24 ( )×4＜33    57＞( )×7    7×( )＜43 【答案】 6 5 3 8 8 6 【易错点拨】用比较的数除以已知的乘数，如果有余数，所得的商就是要填的最大的数，如果没有余数，那么用所得的商减1，所得的差就是要填的最大的数。 【规范解答】37÷6＝6……1，有余数，最大填6，故6×6＜37； 30÷5＝6，没有余数，6－1＝5，最大填5，故30＞5×5； 24÷6＝4，没有余数，4－1＝3，最大填3，故6×3＜24； 33÷4＝8……1，有余数，最大填8，故8×4＜33； 57÷7＝8……1，有余数，最大填8，故57＞8×7； 43÷7＝6……1，有余数，最大填6，故7×6＜43。 【变式训练1】（24-25二年级下·广东茂名·期中）（    ）最大能填几？ ( )×4＜26        7×( )＜45 ( )×6＜31        9×( )＜75 【答案】 6 6 5 8 【易错点拨】根据题意，（ ）最大能填几，把小于号看做等于号，根据乘除法的关系，积÷乘数＝乘数，如果没有余数，用商－1就是需要填的数，如果有余数，商就是需要填的数，据此解答。 【规范解答】根据分析： 26÷4＝6……2，（6）×4＜26 45÷7＝6……3，7×（6）＜45 31÷6＝5……1，（5）×6＜31 75÷9＝8……3，9×（8）＜75 【变式训练2】（24-25二年级下·湖北武汉·期末）括号里最大能填几？ 7×( )＜42    ( )×4＜37   52＞9×( ) 【答案】 5 9 5 【易错点拨】先利用除法算出两边能相等时括号中可以填写的数，再根据不等号的实际情况进行填数即可解答。 【规范解答】42÷7＝6，7×6＝42，所以括号内的数需要比6更小，最大为5； 37÷4＝9……1，9×4＝36，所以括号内的数需要小于或等于9，最大为9； 52÷9＝5……7，45＝9×5，所以括号内的数需要小于或等于5，最大为5。 高频考点六：根据结果推算几何图形代表的数字 【典例精讲】25-26二年级下·全国·课后作业）在算式÷6＝……中，最大是( )。 【答案】5 【易错点拨】在有余数的除法中，余数要比除数小；根据题意，算式÷6＝……中，6是除数，是余数，因此要小于6，据此解答。 【规范解答】 因此，在算式÷6＝……中，最大是5。 【变式训练1】（25-26二年级上·江苏·周测）填一填。 ☆÷○＝6……4，☆最小是( )。 □÷6＝7……△，□最大是( )。 【答案】 34 47 【易错点拨】在有余数的除法中，余数要比除数小。 要使☆最小，○就要最小，比4大的数中最小的是5，○是5，☆最小是5×6＋4＝30＋4＝34； 要使□最大，△就要最大，比6小的数中最大的是5，△是5，□最大是6×7＋5＝42＋5＝47。 【规范解答】由分析可知： 要使☆最小，○就要最小，○最小是5，因此☆最小是： 5×6＋4 ＝30＋4 ＝34 要使□最大，△就要最大，△最大是5，因此□最大是： 6×7＋5 ＝42＋5 ＝47 ☆÷○＝6……4，☆最小是（34）。 □÷6＝7……△，□最大是（47）。 【变式训练2】（24-25二年级下·浙江台州·期末）□÷△＝8……8，△最小是( )，此时被除数是( )。 【答案】 9 80 【易错点拨】在有余数的除法中，余数比除数小，除数最小＝余数＋1；此时，被除数＝商×除数＋余数。 【规范解答】8＋1＝9 8×9＋8 ＝72＋8 ＝80 □÷△＝8……8，△最小是（9），此时被除数是（80）。 高频考点七：最多至少问题（解决问题） 【典例精讲】（25-26二年级下·全国·课后作业）二年级开展了“小小演说家”活动，并为表现优秀的同学准备了奖品。如果每份奖品包括2支笔、3本练习本和4本绘本，下面这些学习用品最多可以组成多少份奖品？ 笔 练习本 绘本 12支 23本 21本 【答案】5份 【易错点拨】笔的总支数除以每份奖品中笔的支数，算出这些笔可以组成多少份奖品。练习本的总本数除以每份奖品中练习本的本数，算出这些练习本可以组成多少份奖品。绘本的总本数除以每份奖品中绘本的本数，算出这些绘本可以组成多少份奖品。比较笔、练习本、绘本可以组成的奖品份数，因为要组成完整的奖品，所以需要以组成的奖品份数最少的那种学习用品为准。 【规范解答】12÷2＝6（份） 23÷3＝7（份）……2（本） 21÷4＝5（份）……1（本） 5＜6＜7 答：这些学习用品最多可以组成5份奖品。 【变式训练】（24-25二年级下·福建福州·期末）快板是一种传统说唱艺术，一副快板由七块竹板制作而成，其中包括两块大板和五块小板，大小竹板合称为“七块板”。李师傅一共准备了55块竹板，能制作几副快板？ 【答案】7幅 【易错点拨】根据100内有余数的除法的意义，用一共准备的竹板的块数除以一副快板需要的竹板数量，商即是能制作快板的副数。 【规范解答】55÷7＝7（副）……6（块） 答：能制作7副快板。 1．（25-26四年级上·内蒙古呼和浩特·期末）△÷□＝5……4，当□最小时，△＝（    ）。 A．9 B．29 C．19 【答案】B 【易错点拨】根据余数与除数的关系，余数必须比除数小，余数是4，除数最小为4＋1，根据被除数＝除数×商＋余数，代入数计算出当除数最小时，被除数是多少。 【规范解答】□：4＋1＝5 △：5×5＋4＝25＋4＝29 △＝29。 故答案为：B 2．（25-26二年级下·全国·课后作业）王老师给表现优秀的同学奖励同样多的笔记本，发完后还剩下3本。表现优秀的同学至少有（    ）人。 A．2 B．4 C．5 【答案】B 【易错点拨】在有余数的除法里，余数必须小于除数，已知发完笔记本后还剩下3本，这3本就是除法算式中的余数，据此解答。 【规范解答】已知发完笔记本后还剩下3本，这3本就是除法算式中的余数。这里的除数就是“表现优秀的同学人数”。 所以，表现优秀的同学人数必须大于3，那么最少就是4人。 故答案为：B 3．（25-26二年级下·全国·单元测试）下面问题中，不能用算式10÷4＝2……2来解决的是（    ）。 A．有10个苹果，每个篮子里放4个，求需要几个篮子，还剩下几个苹果 B．老师准备了10个本子，平均分给4位同学，求每位同学可以分到几个本子，还剩下几个本子 C．蛋糕店一共做了10个蛋糕，卖出了4个蛋糕，求还剩下多少个蛋糕 【答案】C 【易错点拨】逐项分析，进行选择即可。 【规范解答】A.10个苹果，每个篮子放4个，求需要几个篮子和剩下的数量，这是平均分的有余数除法，列式为 ，可以用这个算式解决。 B.10个本子平均分给4位同学，求每人分到的数量和剩下的数量，也是有余数除法，列式为，可以用这个算式解决。 C.10个蛋糕卖出4个，求剩下的数量，这是减法问题，列式为，不能用解决。 故答案为：C 4．（2024三年级·全国·竞赛）某个闰年的元旦是星期日，那么这一年的2月有5个（    ）。 A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 E．星期五 F．星期六 G．星期日 【答案】C 【易错点拨】先确定1月和2月的天数，计算2月1日是星期几，再根据2月天数确定2月29日是星期几，从而得出2月有5个星期几即可。 【规范解答】1月是大月，有31天，所以从1月1日到2月1日经过了31天。 31÷7＝4（周）……3（天） 因为1月1日是星期日，往后数3天，星期日＋1天是星期一，星期一＋1天是星期二，星期二＋1天是星期三，所以2月1日是星期三。 闰年的2月有29天，2月1日是星期三。 29÷7＝4（周）……1（天） 闰年2月有29天，从2月1日星期三开始，2月的星期三依次为： 2月1日、8日、15日、22日、29日，共5个星期三。 某个闰年的元旦是星期日，那么这一年的2月有5个星期三。 【考点剖析】本题的难点在于 时间周期与天数的结合计算，需要将1月和2月的天数进行综合计算，涉及到跨月问题，容易在天数计算上出现错误。 5．学校买来一些羽毛球，羽毛球的个数在25～35之间。平均分给4个班，还剩2个；平均分给6个班，也还剩2个。学校买来（    ）个羽毛球。 A．34 B．32 C．26 【答案】C 6．（25-26二年级下·全国·课后作业）有52个腰鼓，至少拿走( )个，正好能平均装到7个箱子里；至少拿来( )个，正好能平均装到8个箱子里。 【答案】 3 4 【易错点拨】求至少拿走几个，正好能平均装到7个箱子里，就要先求把52平均分成7份，每份是多少个，还剩多少个，用除法计算，的余数即为要拿走的个数；每个箱子装7个腰鼓，所以至少要拿来的个数为7减余数。据此解答。 【规范解答】（个）3（个） （个） 有52个腰鼓，至少拿走3个，正好能平均装到7个箱子里；至少拿来4个，正好能平均装到8个箱子里。 7．（25-26二年级下·全国·课后作业）30名同学去游乐场玩。 价目表 摩天轮 8元/次 小飞船 6元/次 小火车 9元/次 (1)他们全部排队坐小火车，每节车厢坐4人，至少要坐( )节；轩轩坐在第7节车厢，他可能排在第( )位。 (2)明明带20元钱去坐摩天轮，最多可以坐( )次。 【答案】(1) 8 25（或26、27、28） (2)2 【易错点拨】（1）游玩总人数除以小火车每节车厢乘坐人数，算出商和余数，由于剩下的人也要坐小火车，所以再将商加1即可。轩轩坐在第7节车厢，在他的前面有6节车厢。小火车每节车厢乘坐人数乘6，可以算出轩轩前面有（6×4＝24）人，那么轩轩可能排在（24＋1）位，也可能排在（24＋2）位，也可能排在（24＋3）位，还有可能排在（24＋4）位。 （2）明明带的钱数除以摩天轮每次的价钱，商是几，就最多能坐几次。剩下的钱不够坐一次的，就舍去即可。 【规范解答】（1）30÷4＝7（节）……2（人） 7＋1＝8（节） 4×6＝24（位） 24＋1＝25（位） 24＋2＝26（位） 24＋3＝27（位） 24＋4＝28（位） 他们全部排队坐小火车，每节车厢坐4人，至少要坐8节；轩轩坐在第7节车厢，他可能排在第25位（或26位、或27位、或28位）。 （2）20÷8＝2（次）……4（元） 明明带20元钱去坐摩天轮，最多可以坐2次。 8．（25-26二年级下·全国·单元测试）盒子里珠子的数量在40～50个之间，把这些珠子平均分成6堆，还剩1个；平均分成7堆，也还剩1个。盒子里有( )个珠子。 【答案】43 【易错点拨】平均分成6堆，还剩1个，平均分成7堆，也还剩1个，找出在40~50块之间6和7的共同的倍数，即用6×7，再加上还剩下的1个，即可得解。 【规范解答】6×7＋1 ＝42＋1 ＝43（个） 所以盒子里有43个珠子。 9．（25-26二年级下·全国·课后作业）按下面的规律，第26个图形是什么？ ■■▲▲■■▲▲■■▲▲…… 这些图形是按每( )个为一组的规律排列的。 列式：26÷( )＝( )（组）……( )（个） 余数是( )，说明第26个图形应是( )。 【答案】 4 4 6 2 2 ■ 【易错点拨】通过观察这组图形，可以发现是以“■■▲▲”这4个图形为一组的规律重复出现，用图形的位置数除以4，看余数是几，就是一组中的第几个图形，没有余数就是一组中的最后一个。据此即可解答。 【规范解答】26÷4＝6（组）……2（个） 说明第26个图形应该是第7组中的第2个，即是■。 因此这些图形是按每4个为一组的规律排列的。 列式：26÷4＝6（组）……2（个） 余数是2，说明第26个图形应是■。 10．（25-26二年级下·全国·课后作业）÷4＝5……，余数可能是( )，被除数最大是( )。 【答案】 3，2，1 23 【易错点拨】在有余数的除法中，余数必须小于除数，本题中除数是4，所以余数可能是1，2，3； 当余数最大时，被除数最大，因为余数最大为3，根据“被除数＝商×除数＋余数”，商是5，除数是4，余数是3，则被除数最大为23。 【规范解答】 所以余数可能是1、2、3，被除数最大是23。 11．（24-25六年级下·内蒙古通辽·期中）将11个苹果分给5名学生，每名学生至少分得3个。( ) 【答案】× 【易错点拨】根据题意，将11个苹果分给5名学生，每名学生至少分得3个。按照最低分配标准来计算所需苹果总数，再与实际有的苹果数对比，若每名学生至少分3个苹果，共需个苹果，但题目中只有11个苹果，11＜15，因此无法满足条件。 【规范解答】首先计算所需最少苹果数：因为每名学生至少分3个苹果，所以5名学生需要的最少苹果数为个，但题目中苹果总数为11个，11＜15，所以无法满足每名学生至少分3个。 故答案为× 12．（24-25二年级下·山东德州·期中）△÷4＝5……□中，△有3种可能。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错点拨】在有余数的除法中，余数必须小于除数且不能为0。题目中除数是4，余数□可以是1、2、3，共3种可能，对应的被除数△也有3种可能。因此原题“△有3种可能”正确。 【规范解答】由分析可知： △÷4＝5……□中，余数□可能是1、2、3，共3种可能。因为“被除数＝商×除数＋余数”，所以被除数△也有3种可能。原题说法正确。 故答案为：√ 13．（24-25二年级下·山东青岛·期中）计算有余数的除法时，除数一定要比余数小。( )（判断对错） 【答案】 × 【易错点拨】在有余数的除法中，余数必须比除数小，即除数一定大于余数。题目中的说法“除数一定要比余数小”与正确结论相反，因此错误。 【规范解答】根据有余数除法的定义，余数必须满足“余数＜除数”。例如：10÷3＝3……1，余数1小于除数3。题目中“除数一定要比余数小”的说法不符合这一规则；故原题说法错误。 故答案为：× 14．（24-25二年级下·湖南·期末）用竖式计算。 72÷8＝               32÷6＝              70÷9＝ 【答案】9；5……2；7……7 【易错点拨】除法用竖式计算时，从最高位开始除起，若除不了，就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。若有余数，则余数一定比除数小。 【规范解答】72÷8＝9 32÷6＝5……2 70÷9＝7……7                                 15．（2026二年级下·全国·专题练习）学校美术室需要购买29升涂料。 (1)如果都买大桶涂料，至少需要几大桶？ (2)如果都买小桶涂料，至少需要几小桶？ (3)几大桶涂料和几小桶涂料搭配，正好是29升？ 【答案】(1) 6大桶 (2) 10小桶 (3)1大桶涂料和8小桶涂料搭配或4大桶涂料和3小桶涂料搭配 【易错点拨】（1）用总共需要购买的涂料29升除以每大桶涂料的5升，不管余数是几，需要大桶涂料的桶数为商与1的和； （2）用总共需要购买的涂料29升除以每小桶涂料的3升，不管余数是几，需要小桶涂料的桶数为商与1的和； （3）1大桶涂料和8小桶涂料搭配或4大桶涂料和3小桶涂料搭配，正好是29升；解答时，可以结合乘法口诀及整数加减法的计算法则来解决。 【规范解答】（1）（桶）（升） 5＋1＝6（桶）    答：至少需要6大桶。 （2）（桶）（升） （桶）    答：至少需要10小桶。 （3）方案一：（升）    （升） 方案二：（升）    （升） （升） 答： 因此1大桶涂料和8小桶涂料搭配或4大桶涂料和3小桶涂料搭配，都正好是29升。 16．（25-26二年级下·全国·单元测试）课后研学社团最新开设了编程班，共有38人报名参加。活动室里有8人座的大桌子，也有6人座的小桌子。 (1)如果都坐小桌子，能坐满多少张小桌子？ (2)如果都坐大桌子，至少需要多少张大桌子？ (3)如果两种桌子搭配着坐，怎样坐能使这些人正好都坐下？ 【答案】(1)6张 (2)5张 (3) 坐1张大桌子和5张小桌子，能使这些人正好都坐下。（答案不唯一） 【易错点拨】根据题意可知：如果都坐小桌子，用总人数÷每张小桌子坐的人数，即可求出坐满小桌子的张数；如果都坐大桌子，用总人数÷每张大桌子坐的人数，如果没有余数，结果即为需要的大桌子的张数，如果有余数，则算出的商加1即为需要的大桌子的张数；如果两种桌子搭配着坐，只需要保证总人数刚好是38人正好都坐下；据此解答。 【规范解答】（1） 答：如果都坐小桌子，能坐满6张小桌子。 （2） （张） 答：如果都坐大桌子，至少需要5张大桌子。 （3）（人） （人） 答：坐1张大桌子和5张小桌子，能使这些人正好都坐下。（答案不唯一） 17．（25-26二年级下·全国·单元测试）丽丽用48个正方体积木摆图形。 图形1：    图形2： (1)丽丽摆哪种图形能刚好把积木用完，可以摆几个？ (2)如果丽丽全摆另一种图形，最多能摆几个这样的图形？ 【答案】(1)摆第2种；8个。 (2)最多能摆9个这样的图形1。 【易错点拨】（1）用48个小正方体积木分别除以摆这两种图形所用的积木个数，据此判断摆哪种图形正好把积木用完。 （2）由（1）的结果可得，用48个小正方体积木除以摆另一种图形所用的积木个数，即可得到最多能摆几个这样的图形。 【规范解答】（1）（个）（个） （个） 答：丽丽摆第2种图形能刚好把积木用完，可以摆8个。 （2）由（1）可知，丽丽先摆了第2种图形，因此 （个）（个） 答：最多能摆9个这样的图形1。 18．（25-26二年级下·全国·周测）分发物品。小苹果组给同学们准备了17根荧光棒，每小组分4根，最多可以分给几个小组？ (1)海海的算法错在( )。（填序号） ①余数比除数大    ②余数比商大 (2)正确解答：÷＝（组）……（根） 【答案】(1)① (2)17；4；4；1 【易错点拨】（1）在有余数的除法中，余数要比除数小，所以海海的算法错在余数比除数大； （2）根据有余数的整数除法计算法则计算出结果即可，据此解答。 【规范解答】（1）海海的算法错在（①） （2）正确解答：（组）（根） 19．（25-26二年级下·全国·课后作业）一串文字按“数学真有趣数学真有趣……”依次重复排列。 (1)第49个字是什么？ (2)乐乐用一张纸条盖住了36个字，她至少盖住了几个“数”字？至多盖住了几个“数”字？ 【答案】(1)49÷5＝9（组）……4（个） 第49个字是“有”。 (2)36÷5＝7（组）……1（个） 至少：从“学”或“真”或“有”或“趣”开始盖，她盖住了7个“数”字。至多：从“数”开始盖，她盖住了7＋1＝8（个）“数”字。 【易错点拨】（1）“数学真有趣”共5个字，即周期为5，用49除以5，得到9组余4个，这表示49个字包含9个完整周期，还余4个字，每个周期的第4个字是“有”，所以第49个字是“有”； （2）用36除以5得到7组余1个，即36个字包含7个完整周期，还余1个字，当余数对应的字不是“数”时，盖住的“数”字最少，每个周期有1个“数”，7个周期有7个，所以至少盖住7个； 当余数对应的字是“数”时，盖住的“数”字最多。7个周期有7个“数”，再加上余下的1个“数”，共8个，所以至多盖住8个。 【规范解答】（1）49÷5＝9（组）4（个） 答：第49个字是“有”。 （2）36÷5＝7（组）1（个） 答：至少盖住7个，至多盖住8个。 20．49名同学春游途中准备乘坐观光车看风景，大车限乘8人，小车限乘6人。 (1)全班同学都坐大车需要租几辆观光车？ (2)全班同学都坐小车能坐满几辆观光车？ 【答案】(1)7辆 (2)8辆 【易错点拨】（1）用总的学生数量除以每辆大车的限乘人数，据此即可得出答案。 （2）用总的学生数量除以每辆小车的限乘人数，得出的商是坐满车辆的数量，余数是剩余的学生数，据此解答即可。 【规范解答】（1）49÷8＝6（辆）……1（人） 6＋1＝7（辆） 答：全班同学都坐大车需要租7辆观光车。 （2）49÷6＝8（辆）……1（人） 答：全班同学都坐小车能坐满8辆观光车。 【考点剖析】本题考查学生对有余数除法的掌握和运用，注意根据实际情况进行取值。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 有余数的除法 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于人教版（新教材）二年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选15题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 易错点一 概念认知类 1. 余数含义误解学生常将余数错误理解为“剩余的任意数”，忽略余数的产生条件是“不够再分”。 2. 单位混淆余数的单位需与被除数一致，而商的单位由实际问题决定。 3. 算式读法错误易将“36÷7=5……1”误读为“36除以7等于5余1个”，正确读法不应添加余数的具体单位，需严格遵循“被除数除以除数等于商余余数”的结构。 易错点二 计算规则类 1. 余数与除数大小关系混淆余数必须小于除数是核心原则，若出现“18÷5=3……3”则正确，但“20÷6=3……2”才是正确，部分学生易写出“20÷6=2……8”这类余数大于除数的错误结果。最大余数应为除数减1，最小余数为1，如“23÷8=2……7”中余数7是最大可能值。 2. 公式运用错误逆运算时易混淆顺序，如求被除数时漏加余数，或求除数时误用“（被除数+余数）÷商”，正确公式应为“被除数=商×除数+余数”“（被除数-余数）÷商=除数”。 3. 笔算步骤遗漏列竖式时易忽略“减商乘除数的积”步骤，或未将余数写在横式末尾。 易错点三 实际应用类易错点 1. 进一法与去尾法误用 进一法场景混淆：租车、租船等需完全容纳的问题中，学生易忽略余数部分也需额外资源，如“26个同学租船，每条船坐8人”应计算26÷8=3（条）……2（人），需租4条船。 去尾法场景混淆：购物、剪裁材料等无需使用余数的问题中，易错误使用进一法，如“30元买单价7元的笔记本”，30÷7=4（本）……2（元），实际只能买4本。 2. 周期问题中的余数误用在找规律类题目中，常将商当作结果，如“第17个图形是什么”，正确应通过17÷周期数得到余数，对应规律中的位置，而非直接使用商。 高频考点一：竖式计算 【典例精讲】（24-25二年级下·湖北黄冈·期末）竖式计算。 39÷4＝         78÷8＝       51÷6＝ 【变式训练1】（24-25二年级下·广东江门·期末）用竖式计算。 23÷5＝            54÷9＝             68÷8＝ 【变式训练2】（24-25二年级下·黑龙江佳木斯·期末）竖式计算。 47÷9＝              59÷7＝               35÷8＝ 高频考点二：租船问题（解决问题） 【典例精讲】（25-26二年级下·全国·课后作业）60名同学坐观光车参观植物园。 (1)若所有同学都坐大车，至少需要多少辆大车？ (2)若所有同学都坐小车，至少需要多少辆小车？ (3)若大车和小车搭配乘坐，怎样能正好坐下60名同学呢？ 【变式训练1】（25-26二年级下·全国·周测）二（1）班有42人去划船，每条船最多坐5人，至少要租几条船？如果每条船租金9元，租这些船一共要花多少钱？ 【变式训练2】（25-26二年级下·全国·课前预习）一只小船最多坐6人，有33个同学去划船，至少要租多少只小船，同学们才能一起去划船？ 高频考点三：常规问题（解决问题） 【典例精讲】（25-26二年级下·全国·课后作业）2024年10月1日是中华人民共和国成立75周年国庆日，这一天是星期二，你知道这一年的10月31日是星期几吗？ 【变式训练1】（25-26二年级下·全国·单元测试）有45本笔记本，平均分给几个小朋友后，正好还剩下3本。小朋友的人数有可能是（    ）人。 A．6 B．8 C．9 【变式训练2】（25-26二年级下·全国·周测）消防队收拾整理了一些消防器材，按下面的规律摆放。 (1)第15个器材是（    ）。 （组）……（个） (2)第30个器材是（    ）。 （组）……（个） 高频考点四：周期问题（解决问题） 【典例精讲】（25-26二年级上·江苏·周测）△●●●★△●●●★△●●●★……按这样的规律一直排下去，第42个图形是( )，这42个图形中，△有( )个，●有( )个，★有( )个。 【变式训练1】（24-25二年级下·山东菏泽·期末）○○□□□○○□□□○○□□□……照样子摆下去，第24个图形是( )，第31个图形是( )。 【变式训练2】（24-25二年级下·广东汕头·期末）小云按下图的规律穿珠子，第30个珠子是（    ）。 A． B． C．☆ 高频考点五：填写合适的数字 【典例精讲】（24-25二年级下·江西九江·期中）（    ）里最大能填几？ 6×( )＜37    30＞( )×5    6×( )＜24 ( )×4＜33    57＞( )×7    7×( )＜43 【变式训练1】（24-25二年级下·广东茂名·期中）（    ）最大能填几？ ( )×4＜26        7×( )＜45 ( )×6＜31        9×( )＜75 【变式训练2】（24-25二年级下·湖北武汉·期末）括号里最大能填几？ 7×( )＜42    ( )×4＜37   52＞9×( ) 高频考点六：根据结果推算几何图形代表的数字 【典例精讲】25-26二年级下·全国·课后作业）在算式÷6＝……中，最大是( )。 【变式训练1】（25-26二年级上·江苏·周测）填一填。 ☆÷○＝6……4，☆最小是( )。 □÷6＝7……△，□最大是( )。 【变式训练2】（24-25二年级下·浙江台州·期末）□÷△＝8……8，△最小是( )，此时被除数是( )。 高频考点七：最多至少问题（解决问题） 【典例精讲】（25-26二年级下·全国·课后作业）二年级开展了“小小演说家”活动，并为表现优秀的同学准备了奖品。如果每份奖品包括2支笔、3本练习本和4本绘本，下面这些学习用品最多可以组成多少份奖品？ 笔 练习本 绘本 12支 23本 21本 【变式训练】（24-25二年级下·福建福州·期末）快板是一种传统说唱艺术，一副快板由七块竹板制作而成，其中包括两块大板和五块小板，大小竹板合称为“七块板”。李师傅一共准备了55块竹板，能制作几副快板？ 1．（25-26四年级上·内蒙古呼和浩特·期末）△÷□＝5……4，当□最小时，△＝（    ）。 A．9 B．29 C．19 2．（25-26二年级下·全国·课后作业）王老师给表现优秀的同学奖励同样多的笔记本，发完后还剩下3本。表现优秀的同学至少有（    ）人。 A．2 B．4 C．5 3．（25-26二年级下·全国·单元测试）下面问题中，不能用算式10÷4＝2……2来解决的是（    ）。 A．有10个苹果，每个篮子里放4个，求需要几个篮子，还剩下几个苹果 B．老师准备了10个本子，平均分给4位同学，求每位同学可以分到几个本子，还剩下几个本子 C．蛋糕店一共做了10个蛋糕，卖出了4个蛋糕，求还剩下多少个蛋糕 4．（2024三年级·全国·竞赛）某个闰年的元旦是星期日，那么这一年的2月有5个（    ）。 A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 E．星期五 F．星期六 G．星期日 5．学校买来一些羽毛球，羽毛球的个数在25～35之间。平均分给4个班，还剩2个；平均分给6个班，也还剩2个。学校买来（    ）个羽毛球。 A．34 B．32 C．26 6．（25-26二年级下·全国·课后作业）有52个腰鼓，至少拿走( )个，正好能平均装到7个箱子里；至少拿来( )个，正好能平均装到8个箱子里。 7．（25-26二年级下·全国·课后作业）30名同学去游乐场玩。 价目表 摩天轮 8元/次 小飞船 6元/次 小火车 9元/次 (1)他们全部排队坐小火车，每节车厢坐4人，至少要坐( )节；轩轩坐在第7节车厢，他可能排在第( )位。 (2)明明带20元钱去坐摩天轮，最多可以坐( )次。 8．（25-26二年级下·全国·单元测试）盒子里珠子的数量在40～50个之间，把这些珠子平均分成6堆，还剩1个；平均分成7堆，也还剩1个。盒子里有( )个珠子。 9．（25-26二年级下·全国·课后作业）按下面的规律，第26个图形是什么？ ■■▲▲■■▲▲■■▲▲…… 这些图形是按每( )个为一组的规律排列的。 列式：26÷( )＝( )（组）……( )（个） 余数是( )，说明第26个图形应是( )。 10．（25-26二年级下·全国·课后作业）÷4＝5……，余数可能是( )，被除数最大是( )。 11．（24-25六年级下·内蒙古通辽·期中）将11个苹果分给5名学生，每名学生至少分得3个。( ) 12．（24-25二年级下·山东德州·期中）△÷4＝5……□中，△有3种可能。( )（判断对错） 13．（24-25二年级下·山东青岛·期中）计算有余数的除法时，除数一定要比余数小。( )（判断对错） 14．（24-25二年级下·湖南·期末）用竖式计算。 72÷8＝               32÷6＝              70÷9＝ 15．（2026二年级下·全国·专题练习）学校美术室需要购买29升涂料。 (1)如果都买大桶涂料，至少需要几大桶？ (2)如果都买小桶涂料，至少需要几小桶？ (3)几大桶涂料和几小桶涂料搭配，正好是29升？ 16．（25-26二年级下·全国·单元测试）课后研学社团最新开设了编程班，共有38人报名参加。活动室里有8人座的大桌子，也有6人座的小桌子。 (1)如果都坐小桌子，能坐满多少张小桌子？ (2)如果都坐大桌子，至少需要多少张大桌子？ (3)如果两种桌子搭配着坐，怎样坐能使这些人正好都坐下？ 17．（25-26二年级下·全国·单元测试）丽丽用48个正方体积木摆图形。 图形1：    图形2： (1)丽丽摆哪种图形能刚好把积木用完，可以摆几个？ (2)如果丽丽全摆另一种图形，最多能摆几个这样的图形？ 18．（25-26二年级下·全国·周测）分发物品。小苹果组给同学们准备了17根荧光棒，每小组分4根，最多可以分给几个小组？ (1)海海的算法错在( )。（填序号） ①余数比除数大    ②余数比商大 (2)正确解答：÷＝（组）……（根） 19．（25-26二年级下·全国·课后作业）一串文字按“数学真有趣数学真有趣……”依次重复排列。 (1)第49个字是什么？ (2)乐乐用一张纸条盖住了36个字，她至少盖住了几个“数”字？至多盖住了几个“数”字？ 20．49名同学春游途中准备乘坐观光车看风景，大车限乘8人，小车限乘6人。 (1)全班同学都坐大车需要租几辆观光车？ (2)全班同学都坐小车能坐满几辆观光车？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $