14 专题逐一通关“阶段整合练”(二) 基础过关卷-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习教师用书

14　专题逐一通关“阶段整合练”(二)　 基础过关卷 　三角函数与解三角形、平面向量 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知α是第一象限角，那么是(　　) A．第一象限角　 B．第二象限角 C．第一或第二象限角　 D．第一或第三象限角 D　[因为α是第一象限角，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，所以kπ<<kπ＋，k∈Z，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．故选D．] 2．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则(　　) A．|2a|>|2a＋b|　 B．|2a|<|2a＋b| C．|2b|>|a＋2b|　 D．|2b|<|a＋2b| C　[|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|．由于a，b是非零不共线向量，故a＋b与b不共线，故等号不成立．] 3．已知sin＝，那么cos α＝(　　) A．－　 B．－　 C．　 D． B　[因为sin＝sin＝sin＝－sin＝－cos α＝， 所以cos α＝－．] 4．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　) A．30°　 B．60°　 C．120°　 D．150° C　[不妨设e1＝(1，0)，e2＝，则 a＝2e1＋e2＝，b＝－3e1＋2e2＝(－2，)， 所以a·b＝·(－2，)＝－， |a|＝＝， |b|＝＝， 设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝－， 又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°．] 5．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，其中A>0，ω>0，|φ|<，则该函数解析式为(　　) A．y＝sin　 B．y＝sin C．y＝sin　 D．y＝sin C　[由题图知A＝，＝＋＝， 所以T＝π， 所以ω＝2． 所以y＝sin(2x＋φ)， 代入点可得，2×＋φ＝2kπ，k∈Z， 所以φ＝2kπ＋，k∈Z． 又因为|φ|<， 所以φ＝， 所以y＝sin．] 6．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　) A．　 B．　 C．－　 D．－ C　[设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，又因为B＝，所以BD＝AD，DC＝2AD，所以AC＝＝AD，AB＝AD，由余弦定理的推论知cos∠BAC＝＝＝－．] 7．已知△ABC中，a＝bcos C＋csin B，b＝2，则△ABC面积的最大值为(　　) A．＋1　 B．2＋1　 C．＋1　 D．2＋1 C　[由已知及正弦定理得，sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B①，在△ABC中，A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C②，由①②得sin Bsin C＝cos Bsin C．因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B＝．S△ABC＝acsin B＝ac，由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos≥2ac－2ac×，整理得ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为××＝××(2＋)＝＋1．] 8．已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心，外心，垂心　 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心　 D．外心，重心，内心 C　[因为||＝||＝||， 所以点O到△ABC三个顶点的距离相等， 所以点O是△ABC的外心； 由＋＋＝0，得＋＝－， 由向量加法的平行四边形法则可得点N在BC边的中线上， 同理可得点N也在AB，AC边的中线上，所以N为三条中线的交点，故点N为△ABC的重心； 因为·＝·， 所以·(－)＝0， 即·＝0， 所以PB⊥AC， 同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为三条高线的交点， 故点P为△ABC的垂心． 故选C．] 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．长江某地南北两岸平行．如图所示，江面宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流的速度v2的大小为4 km/h．设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A'在A的正北方，则下列说法正确的是(　　) A．当θ＝120°时，游船航行到达北岸的位置在A'的左侧 B．当θ＝120°时，游船航行到达北岸的位置在A'的右侧 C．若游船能到达A'处，则cos θ＝－ D．游船到达A'处需要航行的时间为 h ACD　[|v1＋v2|2＝＋＋2v1·v2＝102＋42＋2×10×4cos 120°＝76，所以|v1＋v2|＝2． 因为v1·(v1＋v2)＝|v1||v1＋v2|cos<v1，v1＋v2>， 所以cos<v1，v1＋v2>＝＝ ＝＝>＝cos 30°， 又0°≤<v1，v1＋v2>≤180°， 所以<v1，v1＋v2><30°． 所以游船航行到达北岸的位置在点A'的左侧． 设速度v1的方向与竖直方向的夹角为θ0，要使游船航行到达北岸的A'处，必须使θ＝90°＋θ0． 因为sin θ0＝＝，cos θ0＝， 所以cos θ＝cos(90°＋θ0)＝－sin θ0＝－， 此时需要航行的时间t＝＝＝(h)．] 10．在△ABC中，下列命题正确的是(　　) A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC是等腰三角形 B．若sin A＝cos B，则△ABC是直角三角形 C．若cos Acos Bcos C<0，则△ABC是钝角三角形 D．若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC是等边三角形 CD　[对于A，若sin 2A＝sin 2B，因为A，B∈(0，π)， 所以2A＝2B或2A＋2B＝π， 所以A＝B或A＋B＝， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A为假命题； 对于B，若sin A＝cos B＝sin， 因为A，B∈(0，π)， 所以A＝－B或A＋－B＝π， 所以A＋B＝或A－B＝， 所以△ABC为直角三角形或钝角三角形，故B为假命题； 对于C，若cos Acos Bcos C<0，因为A，B，C∈(0，π)， 所以A，B，C中有一个为钝角，其余两个为锐角， 所以△ABC为钝角三角形，故C正确； 对于D，若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1， 因为cos(A－B)∈(－1，1]，cos(B－C)∈(－1，1]，cos(C－A)∈(－1，1]， 所以cos(A－B)＝cos(B－C)＝cos(C－A)＝1， 又A，B，C∈(0，π)， 所以A－B＝B－C＝C－A＝0， 所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形，故D正确．] 11．已知函数f (x)＝sin x＋sin 2x，则(　　) A．f (x)为周期函数 B．存在t∈R，使得y＝f (x)的图象关于直线x＝t对称 C．f (x)在区间上单调递减 D．f (x)的最大值为2 AC　[由于f (x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin(2x＋4π)＝sin x＋sin 2x＝f (x)，故f (x＋2π)＝f (x)，所以T＝2π为f (x)的周期，A正确； 函数f (x)＝sin x＋sin 2x的定义域为R，定义域关于原点对称，f (－x)＝sin(－x)＋sin(－2x)＝－sin x－sin 2x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数， 假设y＝f (x)图象关于x＝t对称，则函数f (x＋t)为偶函数， 所以f (t－x)＝f (t＋x)，故f (2t＋x)＝f (t＋t＋x)＝f (－x)＝－f (x)， 所以f (4t＋x)＝－f (2t＋x)＝f (x)，又f (2π＋x)＝f (x)，所以x＝为函数f (x)图象的对称轴， 所以f (π＋x)＝f (－x)＝－f (x)， 但f ＝＋1，f ＝－sin＋sin＝1－， 所以－f (x)≠f (π＋x)，矛盾，所以y＝f (x)图象不关于x＝t对称，B错误； 因为f '(x)＝cos x＋2cos 2x，化简整理得f '(x)＝4cos2x＋cos x－2， 当x∈时，cos x∈． 令cos x＝t，得到y＝4t2＋t－2，函数y＝4t2＋t－2的图象为开口向上，对称轴为t＝－的抛物线， 若－<t<，则y<4×＋－2＝－<0， 所以当x∈时，f '(x)<0， 故f (x)在区间上单调递减，C正确； 因为f (x)≤2，当且仅当时取等号， 但当sin x＝1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，sin 2x＝0≠1，所以f (x)<2，D错误．] 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．已知＝－，则cos α＋sin α＝________． 　[因为＝－， 所以＝－， 即cos α＋sin α＝．] 13．已知△ABC是锐角三角形，且a＝2bsin A，a＝3，c＝5，则b＝________． 　[因为a＝2bsin A， 所以由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A． 又sin A≠0，所以sin B＝． 又△ABC为锐角三角形，所以B＝． 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 所以b2＝(3)2＋52－2×3×5×cos＝27＋25－45＝7． 所以b＝(负值舍去)．] 14．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，<a－c，b－c>＝60°，则|c|的最大值为________． 2　[设＝a，＝b，＝c， 则a－c＝，b－c＝， ∠ACB＝<a－c，b－c>＝60°， 又cos∠AOB＝＝－，所以∠AOB＝120°， 当点C，O在线段AB的同侧时，∠AOB＝2∠ACB，则点C为在以O为圆心，1为半径的圆弧上，此时|c|＝1； 当点C，O在线段AB的异侧时，∠AOB＋∠ACB＝180°， 所以O，A，B，C四点共圆． 由||＝＝，可得2r＝＝2(r为△AOB的外接圆半径)， 所以|c|＝||的最大值等于圆的直径2．] 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C． (1)求AB的长； (2)若△ABC的面积为sin C，求C． [解]　(1)依题意sin A＋sin B＝sin C，由正弦定理整理得a＋b＝c，△ABC的周长为＋1，则a＋b＋c＝c＋c＝＋1，解得c＝1，即AB＝1． (2)由于△ABC的面积为sin C，所以absin C＝sin C，解得ab＝，利用余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C，1＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，2ab＋2abcos C＝1，解得cos C＝，由于0<C<π，则C＝． 16．(15分)如图所示，△ABC中，＝a，＝b，D为AB中点，E为CD上一点，且DC＝3EC，AE的延长线与BC的交点为F． (1)用向量a与b表示； (2)用向量a与b表示，并求出AE∶EF和BF∶FC的值． [解]　(1)因为DC＝3EC，所以E是线段CD的一个三等分点(靠近C点)， 因为D为AB中点， 所以＝＋＝－＝a－b， 所以＝＝－＝b－a， 故＝＋＝a＋＝a＋b． (2)设＝xa＋yb，因为A，E，F三点共线，所以存在λ，使＝λ(λ≠0)． 由(1)知＝a＋b，所以＝a＋b，所以x＝，y＝， 因为C，F，B三点共线，所以x＋y＝1， 即＋＝1，解得λ＝． 所以x＝，y＝，所以＝a＋b． 所以＝，即＋＝，所以＝5，所以AE∶EF＝5∶1． ＝－＝a＋b－a＝－a＋b， ＝－＝b－＝－a＋b， 所以＝4，所以BF∶FC＝4∶1． 综上，＝a＋b，AE∶EF＝5∶1，BF∶FC＝4∶1． 17．(15分)已知函数f (x)＝sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1． (1)求常数a的值； (2)求函数f (x)的单调递减区间； (3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合． [解]　(1)由题意，函数f (x)＝sin＋sin＋cos x＋a， 化简得，f (x)＝sin xcos＋cos xsin＋sin xcos－cos xsin＋cos x＋a ＝sin x＋cos x＋a ＝2sin＋a． 因为x∈R，所以x＋∈R，所以sin的最大值为1， 所以f (x)max＝2×1＋a＝1，解得a＝－1． (2)因为由(1)可知f (x)＝2sin－1． 根据三角函数的性质可得， 令x＋∈(k∈Z)， 即2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以f (x)的单调递减区间为 (k∈Z)． (3)由题意，f (x)≥0，即2sin－1≥0， 可得sin≥， 所以2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)． 所以使f (x)≥0成立的x的取值集合是 ． 18．(17分)如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α，当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积． [解]　在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α． 在Rt△OAD中，＝tan＝． 所以OA＝DA＝BC＝sin α， AB＝OB－OA＝cos α－sin α． 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AB·BC＝sin α ＝sin αcos α－sin2α ＝sin 2α－(1－cos 2α) ＝sin 2α＋cos 2α－ ＝－ ＝sin－． 由0<α<，得<2α＋<，所以当2α＋＝，即α＝时，Smax＝－＝． 因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为． 19．(17分)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°． (1)若PB＝，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA． [解]　(1)在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，所以∠ACB＝60°．在Rt△BPC中，sin∠BCP＝＝，所以∠BCP＝30°，则∠CBP＝60°，所以∠PBA＝∠ABC－∠CBP＝30°． 在△PBA中，由余弦定理得 PA2＝AB2＋PB2－2AB×PB×cos ∠PBA＝3＋－2××cos 30°＝，所以PA＝． (2)法一：设∠PBA＝θ，则在△PCB中，PB＝BCsin θ＝sin θ．在△ABP中， 由正弦定理知＝， 即＝， 整理计算得tan θ＝，即tan∠PBA＝． 法二：设∠PBA＝θ，则在△PAB中，由正弦定理知＝＝2，① 在Rt△ABC中，AC＝＝2．又∠CAB＝∠PAB＋∠PAC＝30°，设∠PAC＝θ，所以∠PCA＝60°－θ． 在△PAC中，由正弦定理知＝＝．② 由①②得＝， 整理计算得tan θ＝，即tan∠PBA＝． 11/11 学科网（北京）股份有限公司 $