44 专题逐一通关“阶段整合练”(六) 真题融合卷-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“解析几何”专题，覆盖直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确离心率计算、轨迹方程、直线与曲线位置关系等高频考点权重，归纳12类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题融合+多解法突破+素养提升”，如2020全国Ⅲ卷第1题通过点到直线距离公式与几何法（定点距离）双重求解，培养数学思维与运算能力。特设“易错陷阱警示”和“解题模板”，助力学生掌握离心率、焦点弦等题型技巧，教师可依托真题数据精准定位复习重点，提升冲刺效率。

44　专题逐一通关“阶段整合练”(六)　 真题融合卷 解析几何 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为 (　　) A．1　 B．　 C．　 D．2 √ 2 B　[法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k>0且k＋最小，所以当k＝1时，dmax＝，故选B． 法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．(2025·全国一卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为(　　) A．　 B．2　 C．　 D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 4 D　[法一：根据题意可得2b＝×2a，所以＝， 所以双曲线C的离心率为＝＝＝2． 法二：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，A(a，0)，B(0，b)，依题可得2b＝×2a⇒b＝a． 在△ABO中，AB＝＝＝＝2a＝c． 所以双曲线C的离心率为e＝＝＝2．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋　 B．4　 C．1＋3　 D．72 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 6 C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1　 B．2　 C．4　 D．5 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 8 B　[法一：因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则＝|PF1|·|PF2|＝b2tan，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B． 法二：因为·＝0，所以PF1⊥PF2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16． 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　) A．3　B．4　C．5　D．6 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ C　[根据直线y＝－2x＋2，得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，A(4，4)，所以|AF|＝|AB|＝5．] 10 6．(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A．(0，1)　 B．(1，3)　 C．(3，＋∞)　 D．(0，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 11 B　[由题意，得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2．当r＝d－1＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1<r<3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　) A．　 B．　 C．　 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 13 B　[法一：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中， cos∠F1PF2＝＝，① 由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6，② 由①②，解得mn＝． 设|OP|＝x．在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π， 由余弦定理得＝－，得x2＝＝＝，所以|OP|＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法二：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，∠F1PF2＝α，则cos∠F1PF2＝cos α＝， 故sin∠F1PF2＝sin α＝＝＝，则tan ＝或tan ＝2(舍去)． 故△F1PF2的面积＝b2tan ＝6×＝3． 又＝×2c|y0|＝|y0|，故＝3，又＋＝1， 所以＝，|OP|2＝＋＝，|OP|＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法三：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0)． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中， cos∠F1PF2＝＝，① 由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6，② 由①②，解得mn＝． 因为＝(＋)，所以||2＝(m2＋n2＋2mncos∠F1PF2) ＝＝，所以|PO|＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16　 B．14　 C．12　 D．10 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 17 A　[因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1，0)． 由题意，直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－， 故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1， 所以|AB|＝·|x1－x2| ＝· ＝·＝． 同理可得|DE|＝4(1＋k2)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2) ＝4 ＝8＋4≥8＋4×2＝16， 当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 21 ABD　[对于A，因为点A在圆C上，所以a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，A正确； 对于B，因为点A在圆C内，所以a2＋b2<r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝>r，所以直线l与圆C相离，B正确； 对于C，因为点A在圆C外，所以a2＋b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝<r，所以直线l与圆C相交，C错误； 对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，D正确． 故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　　) A．|AD|＝|AF|　 B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6　 D．|AE|·|BE|≥18 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 23 ACD　[法一：由题意可得F，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|，所以A正确； 由通径最短，可得|AB|≥2p＝6，所以C正确； 设AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 消去x可得y2－6my－9＝0，Δ>0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3， 所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝6m2＋6， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当m＝0时，E，|AB|＝2p＝6，|AE|＝＝3， 此时|AB|＝6，|AE|≠|AB|，所以B不正确；此时|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18，当m≠0时，EF：x＝－y＋，E，则|EF|＝，所以S△AEB＝|AE|·|BE|sin∠AEB＝|AB|·|EF|＝(6m2＋6)>9，|AE|·|BE|>>18， 综上，|AE|·|BE|≥18，所以D正确． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法二：过B作BG⊥l于G(图略)，易知△ADE≌△AFE，△BGE≌△BFE，所以∠AEF＝∠AED，∠BEF＝∠BEG，可得∠AEB＝90°，又因为EF⊥AB，所以∠AEF＝∠ABE，在△AEB中，∠AEB>∠ABE，所以AB>AE，可知B错误；由以上证明可知，E为DG中点，在Rt△AEB中，|AE|·|BE|＝|AB|·|EF|≥6×3＝18，所以D正确． 法三：由|AB|＝≥2p＝6，可知C正确，由法二可知∠AEB＝90°，可知|AE|·|BE|＝|AB|·|EF|，又因为|AB|≥6，|EF|≥p＝3，所以|AE|·|BE|＝|AB|·|EF|≥6×3＝18，所以D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．(2025·全国二卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与曲线C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则(　　) A．∠A1MA2＝ B．|MA1|＝2|MA2| C．C的离心率为 D．当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 27 ACD　[法一：如图，不妨设M在第一象限，渐近线为y＝x． 对于A，由对称性可知，四边形NA1MA2为平行四边形，所以∠A1MA2＝π－∠NA1M＝，故A正确； 对于B，由已知，OM＝ON＝c，可得MA2和NA1垂直于x轴，所以∠MA1A2＝－＝，由正弦定理得＝＝， 故B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C，由前述分析知＝tan＝⇒e＝＝＝＝，故C正确； 对于D，由前述分析，平行四边形MA1NA2的面积S＝2ab＝4a2＝8，故D正确． 法二：对于A，根据双曲线对称性知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠MA1N＝，所以∠A1MA2＝π－∠MA1N＝，A正确； 对于B，在△A1MO中，A1M2＝a2＋c2－2accos∠MOA1＝a2＋c2＋2ac×＝3a2＋c2， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 在△A2MO中，A2M2＝a2＋c2－2accos∠MOA2＝a2＋c2－2ac×＝c2－a2，在△A2MA1中，A2 ＝ M ＋ M－×Mcos， 即4a2＝2c2＋2a2－2×，则13a2＝c2， 所以A1M2＝16a2，A2M2＝12a2，所以|A1M|≠2|A2M|，所以B错误； 对于C，根据13a2＝c2，有e＝，所以C正确； 对于D，当a＝时，A1M＝，A2M＝，所以四边形A1MA2N的面积为A1M×A2Msin＝××＝8，所以D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为______________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (x－1)2＋(y＋1)2＝5　[因为点M在直线2x＋y－1＝0上， 所以设点M(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在☉M上， 所以点M到两点的距离相等且为半径R， (x－1)2＋(y＋1)2＝5　 31 所以＝＝R， a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1， 所以M(1，－1)，R＝， ☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x＝－　 33 x＝－　[法一：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－． 法二：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 　 35 　[法一：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－， 所以即所以A． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即c2－＝0，解得＝4c2． 因为点A在双曲线C上，所以－＝1，又＝4c2，所以－＝1，即－＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法二：由法一得A，＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝， |AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即－＝2a， 即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法三：由＝－，可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|．设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥，可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m．过F1作F1D⊥AB，垂足为D(图略)，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2022·天津卷)椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足＝． (1)求椭圆的离心率e； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N(N异于M)．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 40 [解]　(1)＝＝＝⇒4a2＝3(b2＋a2)⇒a2＝3b2， 离心率为e＝＝＝． (2)由(1)可知椭圆的方程为x2＋3y2＝a2， 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m， 联立 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 得(1＋3k2)x2＋6kmx＋(3m2－a2)＝0， 由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0⇒3m2＝a2(1＋3k2)，① xM＝－，yM＝kxM＋m＝， 由|OM|＝|ON|，可得m2＝，② 由S△OMN＝，可得|m|·＝，③ 联立①②③可得k2＝，m2＝4，a2＝6，故椭圆的标准方程为＋＝1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)(2025·全国二卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|． [解]　(1)由2a＝4，得a＝2． 由题意，得e＝＝，则c＝a＝，又b2＝a2－c2，所以b＝． 所以C的方程为＋＝1． (2)由题意得l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入＋＝1，消去y并化简得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0， 由Δ＝16(2k2－1)>0，得k2>， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 S△OAB＝×2×|x2－x1|＝＝＝，解得k2＝． 所以|AB|＝|x2－x1|＝×＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B． (1)证明：直线AB过定点； (2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)证明：设D，A(x1，y1)，则＝2y1． 由于y'＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1． 整理得2tx1－2y1＋1＝0． 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0． 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0． 所以直线AB过定点． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋． 由可得x2－2tx－1＝0． 于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1． 设M为线段AB的中点，则M． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行， 所以t＋(t2－2)t＝0．解得t＝0或t＝±1． 当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋＝4； 当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋＝2． 综上，所求圆的方程为x2＋＝4和x2＋＝2． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系Oxy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2， 所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16， 所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，由 得(16－)x2－2k1x－－16＝0． 设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 易知16－≠0， 则xAxB＝， xA＋xB＝， 所以|TA|＝|xA－|＝， |TB|＝|xB－|＝， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则|TA|·|TB|＝(1＋) ＝(1＋) ＝(1＋) ＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 同理得|TP|·|TQ|＝． 因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以－16＋－16＝－16＋－16， 即＝， 又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0． 故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距， 由题意可得解得 所以双曲线C的方程为－＝1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4， 则x1＝my1－4，x2＝my2－4． 联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0． 因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0． 由根与系数的关系得 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以y1＋y2＝y1y2． 因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点， 所以A1(－2，0)，A2(2，0)． 直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝， 所以＝， 得＝，＝＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为＝ ＝ ＝ ＝－3， 所以＝－3，解得x＝－1， 所以点P在定直线x＝－1上． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $