21 专题逐一通关“阶段整合练”(三) 能力拔高卷-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习课件

21　专题逐一通关“阶段整合练”(三)　 能力拔高卷 数列 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－n，则a5＝ (　　) A．153　 B．161 C．163　 D．238 √ B　[因为Sn＝3n－n，则a5＝S5－S4＝35－5－34＋4＝161．] 2 2．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝4，S5＝3a4＋6，则a8＝(　　) A．2　 B．8 C．16　 D．32 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C　[设等差数列{an}的公差为d， 由题意得 解得 所以a8＝a1＋7d＝16．] 3 3．定义数列{an}的“匀称值”为Gn＝，若{an}的“匀称值” Gn＝n，则a8＝(　　) A．　 B． C．　 D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 D　[＝8⇒a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝64， G7＝＝7⇒a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＝49， 两式相减得8a8＝64－49＝15，所以a8＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A．　 B． C．　 D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 D　[因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，所以＝， 因为＝，所以可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)，则S5－S4＝9k，T4－T3＝15k，所以＝＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　) A．81　 B．71 C．61　 D．51 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 C　[由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列， 所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(－3)2＝S3×9，得S3＝1， 则此等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×(－3)＝－27， S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×(－3)＝81， 所以S15＝1＋(－3)＋9＋(－27)＋81＝61．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干？”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮？”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为(　　) A．146　 B． C．　 D．91 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 C　[依题意，正一品、从一品、正二品、从二品、正三品官员分得的俸粮数分别为n，n－13，n－26，n－39，n－52， 则n＋n－13＋n－26＋n－39＋n－52＝305，解得n＝87，m＝n－39＝48， 又m，3a，n组成新的等差数列，得6a＝n＋m，解得a＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则a3＋S4＝(　　) A．33　 B．46 C．49　 D．42 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 A　[数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2Sn，当n＝1时，a2＝2S1＝2a1＝2， 当n≥2时，an＝2Sn－1，则an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，an＋1＝3an， 因此当n≥2时，数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，an＝2·3n-2， 数列{an}的通项公式为an＝a3＝6，S4＝a5＝27， 所以a3＋S4＝33．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．对于数列{xn}，若存在实数M >0，使得对一切正整数n，恒有|xn|≤M成立，则称数列{xn}为有界数列．设数列{an}的前n项和为Sn，则下列选项中，满足数列{Sn}为有界数列的是(　　) A．an＝2n＋1　 B．an＝(－2)n C．an＝　 D．an＝(－1)nn2 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 C　[对于A，an＝2n＋1，此时{an}为等差数列，则Sn＝＝n2＋2n，无界，故A不符合题意； 对于B，an＝(－2)n，此时{an}为等比数列，则Sn＝＝－(－2)n，无界，故B不符合题意； 对于C，an＝＝，则Sn＝1－＝1－<1， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即Sn有界，故C符合题意； 对于D，an＝(－1)nn2，则a2m－1＋a2m＝－(2m－1)2＋(2m)2＝4m－1， 则S2m＝3＋7＋…＋4m－1＝＝2m2＋m， 故当n＝2m时，Sn明显无界，故D不符合题意．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列{an}满足an＋1＝且a1＝2，则下列说法正确的是(　　) A．a3＝－ B．数列{an}是周期数列 C．是等差数列 D．数列{an}的通项公式为an＝ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 17 ACD　[对于A，由a1＝2，得a2＝＝，a3＝＝，A正确； 对于B和C，由an＋1＋1＝，得＝＝＝，则＝，数列是首项为，公差为的等差数列，B错误，C正确； 对于D，＝(n－1)＝，则an＋1＝，解得an＝，D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　) A．S2＝2　 B．数列{Sn＋n}为等比数列 C．数列{an＋1}为等比数列　 D．数列{Sn＋1－Sn＋1}为等比数列 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 19 ABD　[选项A，S2＝2S1＋1－1＝2a1＝2，A正确； 选项C，因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，则当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n－2， 两式作差得，an＋1＝2an＋1，n≥2，变形为an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，n≥2， 又a2＝S2－a1＝1，则a2＋1＝2，a1＋1＝2，故a2＋1≠2(a1＋1)， 故当n≥2时，{an＋1}为等比数列，公比为2，首项为a2＋1＝2， 故an＋1＝2×2n-2＝2n-1，即an＝2n-1－1，n≥2，显然a1＝1不满足an＝2n-1－1，故{an}的通项公式为an＝C错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B选项，n≥2时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋21－1＋22－1＋…＋2n-1－1＝1＋21＋22＋…＋2n-1－(n－1)＝－n＋1＝2n－n， 又S1＝1符合上式，故Sn＝2n－n, 由于n≥2时，＝＝2，故{Sn＋n}为等比数列，B正确； D选项，由C选项可知，an＋1＝2n－1，则Sn＋1－Sn＋1＝an＋1＋1＝2n， 故n≥2时，＝＝2， 所以{Sn＋1－Sn＋1}为等比数列，D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．已知定义在R上的可导函数f (x)满足：f ′(x) >2，若递增数列{an}满足：则(　　) A．{an}的通项公式是an＝n B．函数y＝f (x)－2x是增函数 C．{an}可能是等比数列 D．若a2＝2，则a100>109 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 22 BCD　[对于A选项，若an＝n，则f (an)＝an＋1＝n＋1，即f (x)＝x＋1． 但f ′(x)＝1<2，与题设条件矛盾，故A错误； 求导y′＝f ′(x)－2>0，单调递增，B正确； 当f (x)＝4x，an＝4n-1时，满足所有条件，故C正确； 由B可知y＝f (x)－2x为增函数，且{an}为递增数列， 故f (an＋1)－2an＋1>f (an)－2an，即an＋2－2an＋1>an＋1－2an， 得an＋2－an＋1>2(an＋1－an)，因此an－an－1>2n-2(a2－a1)＝2n-2， 得a100>a1＋1＋2＋22＋…＋298＝299＝(211)9>109，D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．设{an}是等比数列，a1＝1，a2·a4＝16，则a5＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16　[因为{an}是等比数列，所以a2·a4＝a1·a5＝16，又a1＝1，所以a5＝16．] 16　 24 13．已知数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn且a2n＝2an－2，若Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立，则公 差d的取值范围为___________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 　[数列{an}是公差为d的等差数列，设an＝dn＋f ， 由a2n＝2an－2，得2dn＋f ＝2(dn＋f )－2，解得f ＝2，则an＝dn＋2， 　 25 由Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立，得 ⇒ ⇒ －． 所以公差d的取值范围为．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第i行第j列的数为a(i，j)，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列．则a(2，3)＝________；若a(i，j)＝1 000，则(i，j)＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1     …   6         20   …       10　　 (4，63) 27 10　(4，63)　[设数表第一行构成等差数列的公差为d，各列构成等比数列的公比均为q． 因为数表中各项均为正数，因此d>0，q>0． 由表中已知数据可得 解得q＝d＝2． 所以a(i，j)＝2i-1×a(1，j)＝2i-1[1＋2(j－1)]＝2i-1(2j－1)，a(2，3)＝10． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若a(i，j)＝1 000，则2j－1＝，即为奇数． 因为1 000＝23×125，所以i＝4，j＝63． 实数对(i，j)＝(4，63)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 在数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－2． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝an－2n，求数列{bn}的前n项和Sn的最大值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 [解]　(1)依题意，当n≥2时，an－an－1＝2n-1－2， 则an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝20＋(21－2)＋(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n-1－2) ＝(2＋22＋23＋…＋2n-1)－2(n－1)＋20 ＝－2n＋22＝2n－2n＋20，a1＝20满足上式， 所以{an}的通项公式为an＝2n－2n＋20． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由(1)得bn＝an－2n＝－2n＋20，数列{bn}是递减数列， 由bn≥0，得n≤10，则数列{bn}的前10项均为非负数，从第11项起为负数， 而b10＝0，因此数列{bn}的前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列{bn}的前n项和Sn的最大值为S10＝S9＝×10＝90． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a3＝8，2Sn＝n(an＋1－1)． (1)证明：是常数列； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)证明：已知数列{an}的前n项和为Sn，a3＝8，2Sn＝n(an＋1－1)． 当n＝2时，2(a1＋a2)＝2×(8－1)，a1＋a2＝7． 当n＝1时，2a1＝a2－1，所以a1＝2，a2＝5． 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)(an－1)， 所以2an＝2Sn－2Sn－1＝n(an＋1－1)－(n－1)(an－1)， 即(n＋1)an＝nan＋1－1， ＝， 所以＝， 当n＝1时也符合上式，所以数列是常数列． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由(1)知＝3，所以an＝3n－1，所以Sn＝， bn＝＝＝， 所以b1＋b2＋…＋bn＝＝＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝1，b1＝2，a3－b2＝1，5＋a2＝b3． (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝求数列{cn}的前2n项和S2n． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1){an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为q(q>0)， 由a1＝1，b1＝2，a3－b2＝1，5＋a2＝b3， 可得解得d＝q＝2(负值舍去)， 则an＝2n－1，bn＝2n． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)cn＝ 所以S2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝(1＋5＋…＋4n－3)＋(22＋24＋…＋22n) ＝ ＝2n2－n＋(4n－1)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)记数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋Sn＝2n＋． (1)求证：数列{an－2}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求数列{nan}的前n项和Tn． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)证明：因为an＋Sn＝2n＋， 所以当n＝1时，a1＝； 当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋， 所以an－an－1＋an＝2，即an＝1＋an－1， 又a1－2＝≠0，所以＝＝， 所以数列{an－2}是首项为，公比为的等比数列． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由(1)得an－2＝＝，所以an＝＋2． (3)由(2)得nan＝n×＋2n， 记Hn＝1×＋…＋(n－1)×，① 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则Hn＝1×＋…＋(n－1)×，② 由①－②得Hn＝ ＝＝， 所以Hn＝1－， 所以Tn＝1－＝n2＋n＋1－． 19．(17分)已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：ln an≤an－1； (3)若数列{bn}满足bn＝，证明： <e2(e为自然对数的底)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列，则＝a2·a8， 所以(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，解得d＝1或d＝0(舍去)，所以an＝n(n∈N*)． (2)证明：设f (x)＝ln x－x＋1，f ′(x)＝－1＝，当x≥1时， f ′(x)≤0，f (x)单调递减， f (x)max＝f (1)＝0，所以ln x－x＋1≤0，由(1)可知an≥1， 则有ln an－an＋1≤0，所以ln an≤an－1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)证明：易知>0， 所以要证<e2， 只需证ln <2， 根据(2)可知ln an≤an－1，那么ln (1＋an)≤an， ln ＝ln ＋ln ＋…＋ ln 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝ ＝2 ＝2 ＝2<2， 所以<e2． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $