20 专题逐一通关“阶段整合练”(三) 基础过关卷-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习课件

20　专题逐一通关“阶段整合练”(三)　 基础过关卷数列 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝(　　) A．　B． C．　D．30 √ D　[因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝，所以＝5×(5＋1)＝30．故选D．] 2 2．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(　　) A．　 B． C．2　 D．－ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A　[因为a4＋a8＝2a6＝10，所以a6＝5，又a10＝6，所以公差d＝＝＝．故选A．] 3 3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝5，a7＝20，则S8＝(　　) A．90　 B．100 C．120　 D．200 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B　[] 4 4．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　) A．5　 B．±5 C．4　 D．±4 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C　[设等比数列{an}的公比为q．因为＝a3a7＝2×8＝16，所以a5＝±4．又a5＝a3q2>0，所以a5＝4．故选C．] 5 5．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝(　　) A．1　B． C．　D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B　[因为an＝＝，所以S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＝．故选B．] 6 6．已知各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝6，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则{an}的公差d的取值范围为(　　) A．　 B． C．　 D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 A　[由题知当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，又a1＝6>0，故只需满足a8>0，a9<0即可，即a1＋7d>0，a1＋8d<0，解得<d<－，则d的取值范围为．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．已知等比数列{an}的公比为q(q≠1)，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A．若0<q<1，则{an}为递减数列 B．若q>1，则{Sn}为递增数列 C．为等比数列 D．为等比数列 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 D　[当a1<0，且0<q<1时，{an}为递增数列，A错误；因为Sn＝(q≠1)，当a1<0，且q>1时，{Sn}为递减数列，B错误；因为an＝a1qn-1，所以＝＝不为定值，C错误；由等比数列定义得＝＝＝q2，故是等比数列，D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．设Tn为数列{an}的前n项积，且Tn≠0，a1＝，an＝(2n－1)·Tn，则an＝(　　) A．　 B． C．　 D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 B　[因为an＝(2n－1)Tn，所以当n≥2时，an－1＝(2n－3)·Tn－1，两式相除得＝＝an．因为Tn≠0，所以an＝(2n－1) Tn≠0，故当n≥2时，＝，即an－1＝，则an＝＝(n≥2)，a1＝＝满足该等式，故an＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列{an}的前4项为2，0，2，0，则数列{an}的通项公式可能是(　　) A．an＝(－1)n-1＋1　 B．an＝ C．an＝2sin 　 D．an＝cos [(n－1)π]＋1 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 13 ABD　[对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin 不符合题意，其他均符合．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．已知数列{an}满足：an+1＝若a4＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S4＝(　　) A．14　 B．15 C．17　 D．18 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 15 ABD　[由题意可知，当an为偶数时，an＋1＝；当an为奇数时，an＋1＝an－3， 因为a4＝1，所以a3＝2，则a2＝4或a2＝5， 若a2＝4，则a1＝8或a1＝7， 所以S4＝8＋4＋2＋1＝15或S4＝7＋4＋2＋1＝14； 当a2＝5时，则a1＝10，所以S4＝10＋5＋2＋1＝18； 综上所述，S4的所有可能取值为14，15，18．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第n层有an个球，则(　　) A．a5＝15 B．是等差数列 C．a2 025为偶数 D．1≤<2 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 17 ABD　[根据题意，当n≥2时，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a2－a1＝2， 累加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n＝＝， 所以an＝，易知a1＝1也满足，所以an＝， 所以a5＝＝15，故A正确； an＋1－an＝n＋1，故B正确； a2 025＝＝2 025×1 013为奇数，故C错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为an＝＝＝2， ＝2＝2－， 因为n∈N*，所以1≤2－<2， 即1≤<2，故D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4＝12，S8＝40，则S12＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 84　[因为数列{an}为等差数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等差数列， 可得2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，即2(40－12)＝12＋(S12－40)，解得S12＝84．] 84　 20 13．数列{an}满足an＋1＝，若1＋sin a1＝0，则sin (－a2 025)＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1　[因为1＋sin a1＝0，所以sin a1＝－1，则a1＝－＋2kπ，k∈Z，不妨取k＝0，a1＝－． 由an＋1＝，可得a2＝＝，a3＝＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝＝－＝－， 1　 21 可发现数列{an}是以4为周期的周期数列． 因为2 025÷4＝506……1，所以a2 025＝a1＝－， 则sin (－a2 025)＝sin ＝1．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝______________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (n＋1)·2n-2　[当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1，即Sn＝an＋1， Sn－1＝an，则Sn－Sn－1＝an＝an，即＝， 则有＝＝＝， 则an＝×a1＝(n＋1)·2n-2， 当n＝1时，a1＝1，符合上式，故an＝(n＋1)·2n-2．] (n＋1)·2n-2　 23 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＋an＝3×2n． (1)求证：{an－2n}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 [解]　(1)证明：因为an＋1＋an＝3·2n， 所以an＋1－2n+1＝－(an－2n)， 又a1＝1，所以a1－21＝－1， 所以数列{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列． (2)由(1)知an－2n＝(－1)(－1)n-1＝(－1)n， 所以an＝2n＋(－1)n． 当n为偶数时，Sn＝＋0＝2n+1－2； 当n为奇数时，Sn＝＋(－1)＝2n+1－3． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝． (1)求证：数列为等比数列； (2)若<100，求满足条件的最大整数n． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)证明：由已知得，＝， 所以－1＝．因为－1＝≠0， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． (2)由(1)可得－1＝，所以＝2×＋1． 所以＝n＋×2＝n＋1－<100， 所以nmax＝99． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)在平面直角坐标系中，已知直线l经过原点，μ＝(3，1)是l的方向向量．数列{an}满足：点(an＋1，an)均在l上，a3＝2a2＋6． (1)求{an}的通项公式； (2)已知{bn}是以4为首项，2为公差的等差数列，若{an}与{bn}的公共项为bm，m的值由小到大构成数列{cn}，求{cn}的前n项和Sn． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)由直线l过原点且方向向量为μ＝(3，1)可知，l的方程为y＝x，因此对任意正整数n，an＝an＋1，即an＋1＝3an． 因为a3＝2a2＋6，所以9a1＝6a1＋6，a1＝2≠0，所以＝3，所以是首项为2，公比为3的等比数列， 所以an＝2×3n-1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列，所以bn＝2n＋2， 因为an＝2×3n-1，所以2m＋2＝2×3k-1，即m＝＝3k-1－1， 由于m∈N*，所以3k-1－1≥1，即3k-1≥2，因为k∈N*，所以k≥2，因此k的取值从2开始． 将m的值从小到大排列，得到数列{cn}， 则cn＝3n－1，n∈N*，所以Sn＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)因为bn＝3n-1，所以cn＝(2n－1)·3n-1， 所以Tn＝1＋3×3＋5×32＋…＋(2n－1)·3n-1，① 3Tn＝1×3＋3×32＋…＋(2n－3)·3n-1＋(2n－1)·3n，② ①－②，得－2Tn＝1＋2(3＋32＋…＋3n-1)－(2n－1)·3n＝1＋2×－(2n－1)·3n＝(2－2n)·3n－2， 所以Tn＝(n－1)·3n＋1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)由an＋1＝2Sn＋2，得an＝2Sn－1＋2(n≥2)，两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)． 因为数列{an}是等比数列， 所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2＝3a1， 所以a1＝2，所以an＝2·3n-1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由题意得an＋1＝an＋(n＋2－1)dn， 即2·3n＝2·3n-1＋(n＋1)dn，故dn＝． 假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则(dk)2＝dmdp， 即＝， 所以＝．(*) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k， 则(*)式可化为k2＝mp，故k＝m＝p． 这与题设矛盾，所以在数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $