基本不等式 课件-2026届高三数学一轮复习

第4节　基本不等式 课前回顾 1.不等式的基本性质 2.一元二次不等式的解集 3.一元二次不等式恒成立问题 大于取两边，小于取中间 在R上恒成立 在给定区间上恒成立 在给定参数范围上恒成立 考情探究 命题规律与备考策略 本节内容在高考题中多作为载体考查其他知识，例如，用基本不等式解决最值问题或恒成立问题.考题以中档题为主，主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分.复习时需要结合函数的图象与性质综合掌握. 2.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 学习目标 (1)基本不等式成立的条件: . (2)等号成立的条件:当且仅当 . 2.算术平均数与几何平均数 a>0,b>0 a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 5.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca 3.基本不等式与最值 已知x,y都是正数. (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 (简记:积定和最小). A 2.已知x,y为正实数,且xy=4,则x+4y的最小值是(　 　) A.4 B.8 C.16 D.32 B C 4.函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是 　　　　.  利用基本不等式求最值 典例分析 直接法 “一正二定三相等” B C 配凑法 将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式 [变式训练] A B 常数代换法 [例3](2)已知正数a,b满足4a+b=ab,则a+b的最小值为(　　) A.3 B.9 C.16 D.25 B [典例迁移3] 条件变为正数a,b满足a+b=ab-1,求a+b的最小值. 常数代换法 [变式训练] 9 C 消元法 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值. 基本不等式的综合应用 B (2)已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y<m2-24m有解,则实数m的取值范围是　　 .  (-∞,-1)∪(25,+∞) [变式训练] A 基本不等式的实际应用 [例6] 如图,某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD,公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成,已知休闲区A1B1C1D1的面积为1 000 m2,人行道的宽分别为5 m和8 m,设休闲区的长为x m. (1)求矩形ABCD所占面积S(单位:m2)关于x的函数解析式; (2)要使公园所占面积最小,问:休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少? B [拓展演练] 1.(多选题)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 BC ACD ABD 课堂小结 1.基本不等式 2.利用基本不等式求最值问题 一正二定三相等 直接法 配凑法 常数代换法 消元法 1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0). 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为 ,几何平均数为 ,基本不等式可叙述为: . 1.基本不等式≤ 4.≥()2(a,b∈R). (2)a>0,b>0,c>0则≥. 6.≥≥≥(a>0,b>0). 1.a2+b2≥2ab（a,b∈R） 3.+≥2(a,b同号). 2.ab≤(a,b∈R). (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值 (简记:和定积最大). 2 1.当x<0时,函数y=x+(　 　) A.有最大值-4 B.有最小值-4 C.有最大值4 D.有最小值4 3.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(　 　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 [例1] (-6<a<3)的最大值为　　　　.  [变式训练] 1.已知a>0,b>0,则2++的最小值是(　　) A.2 B.4 C.4 D.6 [例2] 若x<,则f(x)=3x+1+有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 2.已知函数f(x)=-(x<-1),则(　　) A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值-4 C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值-4 [典例迁移2] 条件不变,求(1+)(1+)的最小值. [例3] (1)已知正实数a,b满足a+b=2,则+的最小值是(　　) A. B. C.5 D.9 [典例迁移1] 条件不变,求+的最小值. 4.已知正实数a,b满足ab-b+1=0,则+4b的最小值是　　　　.  3.已知a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为　　　　.  1+ [例4] 已知x+y=1,y>0,x≠0,则+的最小值是(　　) A. B. C. D. [例5] (1)对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为(　　) A. B.2 C.4 D. (-∞,]∪[2,+∞) 1.若关于x的不等式+≥4对任意x>2恒成立,则正实数a的最大值是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知函数f(x)=x2-(a+)x+1.若∀a∈[1,2],f(x)≥0恒成立,则实数x的取值范围是　　　　.  (2) S=(x+16)(+10)=10(x+)+1 160≥10×2+1 160=1 960, 当且仅当x=,即x=40时,取等号. 因此要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为40 m,25 m. S=(x+16)(+10)(x>0). [变式训练]单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=,其中d0为安全距离,v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为(　　) A.135 B.149 C.165 D.195 2.已知x>0,y>0,且x+2y=3,则下列说法正确的是(　　) A.+的最小值为3 B.+的最大值为6 C.xy的最大值为 D.2x+1+4y≥8 3.(多选题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ ≤(a>0,b>0) ≥≥≥(a>0,b>0). $