28.2.2 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

初中同步训练 数学 九年级下册 (RJ版) 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形 学习目标 （1）知识与技能目标了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决与之有关的测量问题； （2）过程与方法目标通过借助辅助线解决实际问题的过程，让学生掌握数形结合、方程、转化等数学思想； （3）情感态度与价值观目标感知本节与实际生活的密切联系，认知知识用于实践的意义. 复习导入 直角三角形中诸元素之间的关系： （1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系： 思考：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体 运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球 表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？ （地球半径为6 400 km，π取3.142，结果取整数） 问题1：从组合体中最远处能直接看到的地球上的点在什么位置？ 视线与地球相切时的切点. 问题2：最远点与P点的距离是哪一段的长？ 点P与切点之间的弧长. 问题3：你能根据上述题目中的条件画出示意图吗? 　　 如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ是⊙ O 的切线，切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点，弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离. 设∠ POQ= α，在图中，FQ是⊙O 的切线， △FOQ是直角三角形. ∴α≈18.36°. ∴ 由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测 地球表面时的最远点距离P点约2 051 km. 探 究 新 知 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角. 1. 俯角、仰角问题 巧记“上仰下俯” 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点 处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45°，求飞机的高度. （结果取整数.参考数据：sin37°≈0.8cos37°≈0.6，tan 37°≈0.75） 45° 2. 两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 探 究 新 知 37° 400米 B A P 设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°， 在Rt△POA中，∠PAB=37°， OB=PO=x米. 解得x=1200. 解：作PO⊥AB交AB的延长线于O. 即 故飞机的高度为1200米. 45° 37° A B O 400米 P 知识归纳 解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法 根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解. 小例题 1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为——————m(结果用带根号的数的形式表示). 2. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择 一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m． (1)求点B到AD的距离； 答案：点B到AD的距离为20m. E (2) 求塔高CD（结果用根号表示）． 解：在Rt△ABE中， ∵∠A=30°，∴∠ABE=60°， ∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°， ∴DE=EB=20m， 则 (m)， 在Rt△ADC中，∠A=30°， 答：塔高CD为 m. ∴ (m). E 随堂练习 1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=________米. 2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米. 图① B C A 图② B C A D 30° 60° 100 3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处， 测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度CE是1.72米，则 树高为 (精确到0.1米）. A D B E C 20.9米 4. 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ B D C C′ 解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m. ∴D′B′=x·tan60° C′B′=x·tan30°， ∴x·tan60°-x·tan30°=50， ∵ ∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°， 设AB′=x m. ∴ ∴ 课堂小结 解决与俯角和仰角有关的实际问题，必须先根据视角(仰角、俯角)的意义画出水平线找准视角，建立数学模型，然后构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解决要求的问题． 俯角、仰角问题 $