重点题型专题10 圆中常见的最值问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

重点题型专题0 类型1点圆最值 ·方法指导 如图，D是圆外一定点，E是⊙O上的动点，连结DE 当⊙O的圆心在线段DE上时，DE取得最大值；当 ⊙O的圆心在DE的延长线上时，DE取得最小值. E 1.已知点O,C,OC=5,点A,B分别是平面内的 动点，且OA=4,BC=3,在平面内画出点A,B 的运动轨迹如图所示，则AC长的最大值为 ,AC长的最小值为 ,AB长 的最大值为 ,AB长的最小值 为 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12, BC=10,D是边BC的中点，以点D为圆心、 BD的长为半径作⊙D,E是⊙D上一点，则线 段AE的最小值为 3.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，M是 边AD的中点，N是边AB上一动点，将 △AMN沿MN所在的直线翻折后得到 △AMN,连结A'C,则A'C长的最小值 是 B 第3题图 第4题图 4.如图，在等边三角形ABC和等边三角形ADE 中，N,M分别为BC,DE的中点，AB=6, AD=4,在△ADE绕点A旋转的过程中，MN 长的最大值为 74一本·初中数学九年级下册HDSD版 圆中常见的最值问题 5.阅读理解： (1)[学习心得] 在学习完“圆”这一章的内容后，乐乐发现一些 几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识可以 使问题变得非常容易.我们把这个过程称为“化 隐圆为显圆”这类题目主要是以下两种类型. ①“定点十定长”：如图1，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=44°，D是△ABC外一点，且 AD=AC,求∠BDC的度数. 解：若以点A(定点)为圆心、AB(定长)的长为 半径作辅助圆⊙A(请你在图1上画圆)，则点 C,D必在⊙A上，∠BAC是BC所对的圆心 角，而∠BDC是BC所对的圆周角，易得 ∠BDC ②“定角十定弦”：如图2，P为正方形ABCD 内一点，且∠BPC=90°.若AB=4,求AP长的 最小值， 解：.BC=AB=4(定弦)，∠BPC=90°（定角）， ∴.点P在以BC为直径的圆上，请完成后面的 过程 图2 (2)[问题解决] 如图3，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC= 4,P是边BC上一动点（点P不与点B,C重 合)，连结AP,作点B关于直线AP的对称点 M,则线段MC的最小值为 (3)[问题拓展] 如图4，在正方形ABCD中，AD=4,动点E,F 分别在边DC,CB上移动，且满足DE=CF.连 结AE,DF,交点为点P,连结CP ①请你写出AE与DF的数量关系和位置关 系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随 之运动，请求出点P运动路径的长度. 图3 图4 类型2线圆最值 ·方法指导 如图，已知⊙O和直线1，Q为⊙O上一动点，当直线 OQ与1垂直时，点Q到直线1的距离有最大值或最 小值. Q 6.如图，在△OAB中，OA=OB,∠AOB=120°， AB=24.若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点 M在AB上，连结PM,则线段PM的最小值 为 第6题图 第7题图 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8, 点F在边AC上，并且CF=2,E为边BC上的动 点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处， 则点P到边AB距离的最小值是 8.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，已知 D是⊙O上一动点，连结AD,CD.若圆的半径 为2，则以A,B,C,D为顶点的四边形面积的 最大值为 第8题图 第9题图 9.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB=4,E是边 AB的中点，P是矩形ABCD内一点，且EP= AE,连结CP,PD,则△PCD面积的最小值为 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8, BC=6,O是AB的三等分点，半圆O与AC 相切，M,N分别是BC与半圆弧上的动点，则 线段MN的最小值是 第27章圆75..EF=3 1 9√5 A0·FE= 4· 120π×32 ,S%形OAE三 360 =3π， 9√3 S阴影=S#彩OAE一S△0AE=3元- 4 13.解：（1)证明：如图，连 结OC. ,PC是⊙O的切线， ∴.∠PC0=90°， ∴.∠ACO+∠PCA=90°. ,AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，∴.∠CAO+∠B=90°. ,OC=OA,.∠ACO=∠CAO,.∠PCA=∠B. 第2课时圆锥的侧面展开图 1.A【变式】4√22.C3.B4.B【变式】160 5.90 6.需要50πm2的铁皮 7.(1)圆锥的侧面积为3πcm2 (2)扇形的半径为6cm 8.c9.B10.16x 9 11.解：(1)证明：，∠AOB=∠COD, 即∠DOE+∠DOB=∠DOE+ ∠COA,∴.∠DOB=∠COA. .OA=OB,OC=OD, ∴.△AOC≌△BOD(S.A.S.). (2)如图，以点O为圆心、OD的长为 半径作孤，交OB于点F. :△AOC2△BOD,∴.S阴影=S角彩OAB一SA形OEF =5aaw-54am=7×3xX5-号X1.8xX8 1 =7.5π-2.7π=4.8π(cm2). (3)V⑨7 2 cm 12.(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由略 、(2)沸纸围成的圆锥的体积为'25，cm 方法归纳专题8求圆中 阴影部分面积的四种方法 1.A2.6r3.A4-5.B6.+37.45 32 8.129号10.4-41n2g12 ,【变式】A 13.2π-414.6π-16 27.4正多边形和圆 1.D2.C3.C4.C5.c6.A7.18°8.10 9.a-/iR.-R.5-355R ·答 10.解：(1)(2)(3)(4)如图所示 (1) (2) (3) 11.B12.B13.√614.2 15.解：(1)W2:1 (2)是. 连接OA,OB,OE(图略). 在正方形ABCD中，∠AOB=90°， 在正六边形AEFCGH中，∠AOE=60°， .∠BOE=90°-60°=30°. 360° 30°=12， ∴n=12,即BE是⊙O的内接正十二边形的一边. 16.(1)∠MON=120°(2)90°72° (3)∠M0N=360 方法归纳专题9巧用隐圆解题 1.C2.4√2-43.B4.√2+1 5.解：(1)画草图如图所示. D (2)35 6.证明：，BD,CE分别是边AC与AB上的高， .∠BEC=∠BDC=90°， ∴B,C,D,E四，点共圆，∴∠BDE=∠BCE ∠A=60°，.∠ABD=∠ACE=30°， ∴.∠AED=30°+∠BDE,∠ACB=30°+∠BCE, .∠AED=∠ACB, :△AEDD△ACB,BC=AB .DE AD :BD⊥AC,∠ABD=30°， 1 AD-2AB,BC-2DE. 【跟踪训练】 1.B2.A3.10 重点题型专题10圆中常见的最值问题 1.911202.83.2√7-24.5√3 5.解：(1)①22°⊙A如图1所示. 9· 图1 图2 ②如图2，以BC为直径作⊙O,连结AO,与⊙O交于 点P :四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90,BC=AB=4,∴OB=2BC=2. 在Rt△ABO中，AO=√/AB2+OBz=2√5. 当O,P,A三点共线时，AP的长有最小值， ∴.AP长的最小值为2√5一2 (2)2 (3)①AE=DF,AEI DF. 理由：四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°. (AD=DC, 在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF, DE=CF, ∴.△ADE≌△DCF(S.A.S.), ∴AE=DF,∠DAE=∠CDF :∠ADE=90°，∴.∠ADP+∠FDC=90°， ∴.∠ADP十∠DAE=90°， ∠APD=90°，∴AE⊥DF. ②π 6.43-471.28.439.310.0 章末复习 1.B2.D3.C【变式】2√5cm或4√5cm 4.75cm5.C6.B7.B8.129.C10.(4,4) 11.D12.50°或130° 13.解：(1)证明：如图，连结OA,则OA=OC E ,BC是⊙O的直径，∴.∠BAC=90. ,∠ABE=∠CAE,∠OCA=∠OAC, ∴.∠OAE=∠CAE+∠OAC=∠ABE+∠OCA=90°. OA是⊙O的半径，且AE⊥OA, .AE是⊙O的切线. (2)12√2 14.C15.C16.C17.C18.c19.520.821.D 22.A 23.解：(1)证明：如图，连结OD D .∠C=90°，∴.BC⊥AC. ,BD是∠ABC的平分线，∠OBD=∠CBD. ·答 ,OB是⊙O的半径，⊙O恰好经过点D,交AB于 点E, ∴.OE=OD=OB,.∠ODB=∠OBD, ∴∠ODB=∠CBD,∴.OD∥BC,∴.OD⊥AC. 又OD是⊙O的半径， ,.直线AC是⊙O的切线 (2)33-x 2 8)msA=号 中考新趋势 1.432.40π 3.5-28 4.解：(1)③ (2),∠BAC=90°，AB=3,AC=4, ∴.BC=/AB2+AC2=5. .四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90°， A,B,C,D四点共圆，且BC为直径 如图，把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在 ⊙O上，连结BD,AO,相交于点H. :BC=5,.B0=0A= 5 设OH=x,AH=2 -x. .AB=AD,∴.AO⊥BD,BH=DH. ,在Rt△ABH中，BH=AB2-AH, 在Rt△BOH中，BH=BO2-OH, ..BO2-OH2=AB2-AH2, 即(》-=-(-)， 解得x=0.7,∴AH=2.5-0.7=1.8, ∴.BH=√/32-1.82=2.4， .BD=2.4×2=4.8. ,BC是直径，.∠BDC=90 BH=DH,BO=OC, .OH是△BDC的中位线，.DC=2HO=1.4, 5e-2BD·DC-2×4.8X1.4=3.36, S-7BD:AH-7X4.8X1.8=4.32, Sm边5ABcn=S△BDc十S△BDA=3,36+4.32=7.68. 第28章样本与总体 28.1 抽样调查的意义 1.A2.① 3.解：(1)适合用普查. (2)适合用抽样调查. (3)适合用普查. 4.C5.8500 6.解：(1)总体：这批车轮的直径；个体：每个车轮的直 径；样本：抽取的100个车轮的直径；样本容量：100， (2)总体：我校所有九年级学生完成课外作业的时 间；个体：每名九年级学生完成课外作业的时间；样 本：抽取的40名九年级学生完成课外作业的时间； 样本容量：40. 10·