7.1 条件概率与全概率公式（五大题型）专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1 条件概率与全概率公式 题型一 计算条件概率 1．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．已知随机事件，满足，，，则（   ） A．与相互独立 B． C． D． 3．一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为 ． 4．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 题型二 条件概率性质的应用 5．下列说法正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 6．（多选）下列说法不正确的是（   ） A． B．是可能的 C． D． 7．已知两个随机事件，，若，，，则 ． 8．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 题型三 利用全概率公式求概率 9．某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 10．在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 11．某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为 ． 12．某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家制造厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求该次品是由丙制造厂提供的概率. 题型四 利用贝叶斯公式求概率 13．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 14．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． 15．有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是 ． 16．有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 题型五 计算古典概型问题的概率 17．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 18．华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．事件A与事件B不独立 19．赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是 ． 20．高二（1）班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． (1)从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ (2)已知抽出的是女同学的条件下，该同学是共青团员的概率又是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 条件概率与全概率公式 题型一 计算条件概率 1．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求解即可. 【详解】因为. 故选：A． 2．已知随机事件，满足，，，则（   ） A．与相互独立 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对立事件计算可得，结合等式可得出，可判断A正确，再由对立事件计算可得B错误，利用条件概率公式以及积事件定义计算可得C正确，D错误. 【详解】由题意知，又， 可得， 即，解得， 满足，所以与相互独立，A正确. 易知,B错误. 又因为,C正确. 根据可得 所以，D错误， 故选：AC. 3．一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用缩小样本空间的方法，结合古典概率求出条件概率. 【详解】第一次取出1个白球后，袋子里还有2个白球和2个红球， 所以第二次取出红球的概率为. 故答案为： 4．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据事件同时发生的概率公式及古典概型求解； （3）由条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则. （2）由题意知，同时发生的概率. （3）设事件表示“第次取球时，取到白球”， 则，, 所以. 题型二 条件概率性质的应用 5．下列说法正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误可得答案. 【详解】对于A，由，当，则，故A错误； 对于B，当事件A包含事件时，， 则此时，故B正确； 对于C，，如：当A或B为不可能事件时，，故C错误； 对于D，由，故D错误. 故选：B. 6．（多选）下列说法不正确的是（   ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式与概率性质，逐项判断. 【详解】对于A：由条件概率公式及知，故A错误； 对于B：当事件包含事件时，有，此时，故正确； 对于C：由条件概率性质，故C错误； 对于D：由条件概率公式可知，故D错误； 故选：ACD. 7．已知两个随机事件，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 8．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据概率公式和条件概率公式进行求解即可. （2）先根据条件概率公式求出，进而可求出. （3）根据条件概率公式进行化简即可. 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 题型三 利用全概率公式求概率 9．某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 【答案】B 【分析】先求出三种模式的时间占比，再求出每种模式误报警的概率，再由全概率公式即可求解. 【详解】因为工作日、周末、法定节假日三种模式的时间占比分别为， 又由题知，工作日使用摄像头、红外传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以工作日误报警的概率为， 周末使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以周末误报警的概率为， 法定节假日使用摄像头、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以法定节假日误报警的概率为， 由全概率公式可知，系统发生误报警的概率为， 故选：B. 10．在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【分析】由已知结合条件概率公式及全概率公式检验各选项即可判断. 【详解】用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 则，，， 抽到男生且喜欢体育锻炼的概率为：，故A正确； 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为：，故B正确； 抽到的学生不喜欢体育锻炼的概率为： ， ； 抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为： ，故C错误； 抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为， ， 所以，故D正确； 故选：ABD. 11．某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为 ． 【答案】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交， 则第一天坐公交和骑车的概率均为， 在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为， 在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为， 所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为： ． 故答案为：. 12．某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家制造厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求该次品是由丙制造厂提供的概率. 【答案】(1)0.014 (2) 【分析】（1）根据已知条件和全概率公式可求得结果. （2）根据条件概率公式即可求出答案. 【详解】（1）A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”， 表示“取到的元件是由乙制造厂提供的”，表示“取到的元件是由丙制造厂提供的”， 则，，， ，，， 由全概率公式得： ． （2）该元件出自丙工厂的概率为. 题型四 利用贝叶斯公式求概率 13．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 14．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由3台车床加工零件数的比可得判断A；全概率公式求判断B；即为第2台车床加工的次品率判断C；利用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】因为第1，2，3台车床加工的零件数的比为，所以，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD 15．有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案. 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 16．有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得， 所以取到红球的概率为. （2）由条件概率知：， ， ， 因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 题型五 计算古典概型问题的概率 17．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出和，再利用条件概率的计算公式计算即可. 【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种. 事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种, 因此. 事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种； 乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件， 因此. 所以. 故选：C. 18．华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．事件A与事件B不独立 【答案】BCD 【分析】根据古典概型即可判断AC；根据条件概率公式即可判断B；根据互相独立事件的概率公式即可判断D． 【详解】由题可知，总基本事件数为，事件为“甲同学前往华山”，此时其余3名同学的分配需保证少华山和渭华起义纪念馆都有人前往，一类是从其余3人中任选1人与A同往华山，其余2人在少华山和渭华起义纪念馆一人一处排列，第二类是其余3人，选出2人合成一组，与其与1人在少华山和渭华起义纪念馆排列，共有种， 所以，同理可得，故A错误； 事件：当甲同学前往华山研学，乙同学前往少华山研学时，有两种情况， ①渭华起义纪念馆有两位同学研学，即丙丁，只有1种情况； ②华山或少华山有两位同学研学， 在丙丁2人中先选1人去渭华起义纪念馆，另1人去华山或少华山，共有种情况； 所以事件共有种情况， 所以，故C正确； 因为，，，， 所以，故B正确； 因为， 所以事件A与事件B不独立，故D正确； 故选：BCD． 19．赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，运用全概率公式计算即可. 【详解】设事件：抽到的是特级脐橙，事件：掷骰子点数小于等于4（从甲筐中抽）；事件：掷骰子点数大于等于5（从乙筐中抽）， 则，甲筐中特级脐橙的概率为，乙筐中特级脐橙的概率为. 所以，. 故答案为：. 20．高二（1）班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． (1)从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ (2)已知抽出的是女同学的条件下，该同学是共青团员的概率又是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）古典概型即可求解. （2）条件概率公式即可求解. 【详解】（1）设“从该班学生中任意抽取1人，其是女生”为事件，则 （2）“该同学是共青团员”为事件，则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $