第01讲 椭圆的定义和性质讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆位置关系等核心考点，按知识要点、解题策略、题型归纳系统架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破离心率计算、焦点三角形等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 讲义以思维导图构建知识网络培养数学眼光，通用解题模板训练数学思维，典型例题变式训练提升数学语言表达。如离心率计算统一a,c变量，焦点三角形用定义+余弦定理，分层练习确保效果，助力教师把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第01讲 椭圆的定义和几何性质 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 12 题型归纳 13 题型01：椭圆的定义及应用 13 题型02：求椭圆的标准方程 23 题型03：根据椭圆标准方程求参数 34 题型04：椭圆的简单几何性质 38 题型05：椭圆的焦点三角形问题 42 题型06：点与椭圆的位置关系 54 题型07：与椭圆有关的轨迹问题 55 题型08：椭圆上两点距离的最值问题 61 题型09：椭圆中的距离和差最值 64 题型10：求椭圆的离心率 71 题型11：求椭圆离心率的取值范围 85 题型12：由椭圆离心率求参数 100 题型13: 椭圆的实际应用问题 101 巩固提升 114 一、考什么（核心考点） 1. 椭圆的定义与标准方程 ①第一定义：到两定点距离之和为常数（>焦距） ②标准方程、焦点位置判断、a、b、c 关系 2. 几何性质 ①长轴、短轴、焦距、离心率 ②范围、对称性、顶点、焦点 3. 直线与椭圆的位置关系 ①联立方程、判别式 ②弦长、中点弦、斜率、面积、定点定值问题 二、怎么考（题型与分值） 1.选择/填空：1～2题，求方程、离心率、焦点、弦长中点 2. 解答题：必考1道（圆锥曲线大题），第1问求方程，第2问综合：定点、定值、范围、最值 三、高频考法 1. 利用定义快速求周长、距离和 2. 离心率 e 的计算（最常考） 3. 点差法解决中点弦、斜率问题 4. 直线与椭圆联立：韦达定理 + 弦长 / 面积 / 向量条件 四、备考策略 1.牢记： 2.会快速写标准方程，判断焦点在x轴/y轴 3.掌握联立+韦达定理通用步骤 4.中点弦优先用点差法 一、知识目标 1. 理解椭圆的定义，掌握定义中常数与焦距的大小关系，会用定义判断动点轨迹是否为椭圆。 2. 掌握椭圆标准方程的两种形式，能根据条件正确选择方程、求出 a,b,c。 3. 熟记椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、长轴、短轴、焦距、离心率。 4. 掌握 a,b,c 之间的关系与离心率公式 二、能力目标 1. 能根据定义、几何条件求椭圆方程。 2. 会利用椭圆性质求离心率、焦距、顶点坐标、焦点坐标。 3. 掌握直线与椭圆位置关系的基本方法：联立方程、判别式、韦达定理。 4. 会解决中点弦、弦长、面积、定点定值等典型大题。 三、思想方法目标 1. 体会数形结合思想，用代数方法研究几何图形。 2. 掌握分类讨论（焦点在 x 轴 / y 轴）。 3. 学会转化与化归：把几何条件转化为方程、不等式。 四、应试目标 1. 选择、填空题：快速求方程、离心率、性质，不丢基础分。 2. 解答题：第1问稳拿分，第2问能写出联立、韦达定理、弦长公式等关键步骤，拿到步骤分。 知识点一：椭圆的定义及简单几何性质 （一）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c． 设M为椭圆上任意一点，则有 ①，表示椭圆； ②，表示线段； ③，无图形. （二）椭圆的方程 1. 椭圆的标准方程为： （）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。 注：①以上方程中的大小，其中； ②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。 2.椭圆的参数方程 （1）中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆： 　（为参数）　　（或　） （2）中心在点（,）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 （三）椭圆的性质 1.范 围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里； 2.对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； 3.顶 点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 ，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即； 5.离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。 ∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 知识点二：椭圆的其它定义 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 1.第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集 ，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么： ① 将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得： ② 对②式继续平方，再整理可得： ③ 由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④. 这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④. 2.第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 继续定位到②式，⑥. ⑥式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率. 3.椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 由④式，⑦，⑦式表明椭圆上的点到左右两顶点的斜率之积为一个定值. 实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点（不与重合）到点的斜率之积为一个定值. 证明：设的坐标分别为，，则由于三点均在椭圆上，故满足：，即. 知识点三：平面中轨迹方程的求法 方法一：曲线方程 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 方法二：直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 方法三：定义法 1、椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 2、双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 3、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 方法四：相关点法 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 方法五：交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程. 方法六：参数法 如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法常选变角、变斜率等为参数. 注意：①参数的取值范围影响着方程中和的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性. 方法七：点差法 点差法并不是一种求轨迹的通用方法，而是专门用于解决中点弦、弦中点轨迹等问题的一种技巧.它的核心思想是：当一条直线与曲线相交于两点，并且题目条件与这两个点的中点有关时，我们通过将两个交点坐标代入曲线方程再相减，利用平方差公式和中点公式来化简问题. 对求动点轨迹方程步骤的几点说明： （1）在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单. （2）第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中（或）的取值予以剔除. （3）求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形（曲线的形状），而轨迹方程则是一个方程. 知识点四：椭圆方程的几种求法 一、定义法 　 例：已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1， 　　∴，圆Ｍ外切于圆C2　，　∴， 　　∴， Ｏ Ｍ C2 　　∴　动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆， 　　且， 　　， 　　故所求轨迹方程为：． 　　评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键． 2、 待定系数法 根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0). 　　例：已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程． 分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： ＝１（，进行求解，避免讨论。 解：设所求的椭圆方程为＝１（． ∵椭圆经过两点， ∴　解得　，故所求的椭圆标准方程为． 　 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程． 三、直接法 例：设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段 AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程． 分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解． 解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，）　， 由题意：＝＝，＋＝０ ∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号， ∴=（－）（－）＝ 　　∵ 　 ，即为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换． 四、相关点法 例４　的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程． 分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求． 解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 　　设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点， 　　长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为． 　　　（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是 　　　　∵　Ｇ为的重心　　　∴代入得： 　　　其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点． 　　评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同． 知识点五：平面上任意点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 知识点六：椭圆的焦点三角形 椭圆焦点三角形的一些结论：已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，把△PF1F2称为焦点三角形，则 （1） ； （2）； （3）; （4)若直线PF1交椭圆与另一个点Q，则三角形PQF2的周长 （5）若∠F1PF2＝，则①； ② （6） 性质1：P是椭圆上一点，为椭圆左右焦点， 则， 性质2：是上一点，为双曲线左右焦点，则， 性质3：； 性质4：； 性质5：，当P在短轴顶点时取等 性质6：P是椭圆或双曲线上一点，若该椭圆焦点三角形左右旁心A或双曲线焦点三角形内心A的横坐标为 性质7：焦点三角形的轨迹为，且该椭圆长轴与原椭圆长轴比为原椭圆离心率e. 性质8：P是上除去左右顶点外一点， 的内心轨迹为，且该双曲线实轴与原双曲线实轴比为原双曲线离心率e. 性质9：P是或上一点，若该椭圆的内切圆或双曲线的旁切圆半径为r, 性质10：P是或上一点，若该椭圆的内心A或双曲线旁心A的纵坐标为m, 一：求椭圆方程的固定步骤 1. 定型：看焦点在 x 轴还是 y 轴 2. 列式： ① 已知顶点/焦点 ⇒ 直接写 a,b,c ②已知两点 ⇒ 代入方程解方程组 ③ 已知离心率 + 一个条件 ⇒ 用 与 联立 3. 求解：先求,，再写方程 二：几何性质题通用思路 1. 看到离心率 e ①一律化成：=/=-/ ②再结合题目条件，把 a,b,c 统一成一个变量 2. 看到焦点/顶点 ①直接标出坐标： ②焦点 F( c,0) 或F (0,c) ③长轴顶点 A(a,0)，短轴顶点B (b,0) 3. 看到三角形（焦点三角形） ① 周长：2a+2c ②面积：常用 S=tanθ（θ 为顶角） ③ 必用：定义+ 余弦定理 三:大题通用解题模板（直接套） 1. 设方程：先写椭圆标准式 2. 用定义： 3. 用几何关系：与 4. 联立/列式：把题目条件翻译成等式 5. 化简求解：先求,，再写方程 四:选择题秒杀技巧 1.求方程：先看分母大小，分母大的是 ，定焦点轴 2.求离心率：把条件全部往 a,c 靠拢，消去 b 3.焦点三角形：优先用 定义 + 余弦定理 题型01：椭圆的定义及应用 【典型例题1】已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【答案】A 【解析】根据题目可以得到， 此时就可以根据椭圆的第一定义得到动点P的轨迹是椭圆．故选：A． 【典型例题2】已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（ ） A．6 B．9 C．10 D．18 【答案】A 【解析】由题意可知椭圆：中的长半轴长，设其两焦点分别为， 又因为点是椭圆：上的一点， 所以点到两焦点的距离之和是.故选：A. 【典型例题3】（多选）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 【答案】BCD 【解析】根据题意，得， ①当时，满足椭圆的定义，可得点M的轨迹为以为焦点的椭圆； ②当时，，点M在线段上，点M的轨迹为线段； ③当时，，不存在满足条件的点M． 综上所述，点M的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选：BCD. 【典型例题4】黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法中正确的个数为（ ） ①椭圆是“黄金椭圆； ②若椭圆，的右焦点且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”； ③设椭圆，的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”； ④设椭圆，，的左右顶点分别A，B，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆”； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①，，故是“黄金椭圆”； ②即故，则或（舍），是“黄金椭圆”； ③由可知，化简可知，则或（舍），是“黄金椭圆”； ④若，，成等比数列，则，则，不是“黄金椭圆. 故选：C 【典型例题5】已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 【典型例题6】椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有 个． 【答案】 【分析】先求出椭圆的长轴长，再利用椭圆定义直接分析作答. 【详解】由题意可得，根据椭圆定义，若点到椭圆的一个焦点的距离为6， 则它到椭圆的另一个焦点的距离为， 因为，所以椭圆上点到椭圆的一个焦点的距离为6等价于椭圆上点到椭圆的两个焦点的距离分别为和6， 根据椭圆的对称性，所以这样的点共有4个. 故答案为：. 【变式训练1-1】椭圆上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（ ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】B 【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，椭圆长轴长， 不妨令，由，得.故选：B 【变式训练1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆定义得，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为点P是椭圆上的动点，，，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故选：A. 【变式训练1-3】已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，根据题意分析可知点在以为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解. 【详解】设， 则，可得， 即点在以为焦点的椭圆上，且， 所以点的轨迹为，整理得， 由题意可知：， 所以. 故选：A. 【变式训练1-4】已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】先证明四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义求出即得解. 【详解】因为, 所以四边形是平行四边形. 所以. 由椭圆的定义得. 所以. 故选：C    【变式训练1-5】设、，条件甲：，条件乙：，则条件甲是条件乙的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 充分性：由于，可得，得，同理可得， 所以，条件甲是条件乙的充分条件； 必要性：当，，取，，则， 所以，条件甲不是条件乙的必要条件. 综上所述，条件甲是条件乙的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练1-6】在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是 （ ） 【答案】B 【解析】选A.以线段的中点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 不妨设，则． 由题意（为定值），整理得． 当时，方程化为，即，即． 当时，方程化为，即，即． 当时，方程化为，即．所以A图象符合题意． 【变式训练1-7】过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　) A．2 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【解析】因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4. 【变式训练1-8】已知点，,是直线上任意一点，以为焦点的椭圆过点，记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是 A．与一一对应 B．函数是增函数 C．函数无最小值，有最大值 D．函数有最小值，无最大值 【答案】C 【解析】由题意可得c=2，椭圆离心率． 故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大． 由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a， 由于|PA|+|PB|有最小值而没有最大值， 即a有最小值而没有最大值，故椭圆离心率e有最大值而没有最小值，故C正确，且D不正确．当直线y=x+4和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于2a， 故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确． 由于当x0的取值趋于负无穷大时，|PA|+|PB|=2a趋于正无穷大； 而当x0的取值趋于正无穷大时，|PA|+|PB|=2a也趋于正无穷大， 故函数e（x0）不是增函数，故B不正确． 故选C． 【变式训练1-9】已知动圆M过定点A(－3,0)并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 【答案】A 【解析】因为点A在圆B内，所以过点A的圆与圆B只能内切，因为B(3,0)，所以|AB|＝6.所以|BM|＝8－|MA|，即|MB|＋|MA|＝8>|AB|，所以动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1，又a＝4，c＝3，b2＝7，所以方程为＋＝1.故选A. 【变式训练1-10】能够把椭圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的中心为原点，选项B中函数是奇函数且图像关于原点对称，过原点，故是亲和函数。 【变式训练1-11】如图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　) A．35 B．30 C．25 D．20 【答案】A　 【解析】[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.] 【变式训练1-12】(多选题)下列说法中错误的是(　　) A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】ABD 【解析】A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4＞|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选ABD 【变式训练1-13】已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】借助椭圆定义计算即可得结论. 【详解】由是的中点，则， 由椭圆定义可得， 则. 故答案为：. 【变式训练1-14】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案. 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故，    故，当且仅当共线时取等号， 所以 ， 当且仅当共线时取等号， 而, 故的最小值为， 故答案为： 【变式训练1-15】椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / / 【解析】根据椭圆的定义进行转化，结合图象求得的取值范围，进而确定正确答案. 【详解】椭圆，∴，∴. 如图所示，点在椭圆内部， ∵点为椭圆上的点，则，∴， ∵， 又，∴， 即. 故答案为：；    【变式训练1-16】已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________． 【答案】[1,2]　 【解析】因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.] 【变式训练1-17】已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________． 【答案】 【解析】由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知＝3.所以b2＝3，即b＝. 【变式训练1-18】一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．对于下列命题： ①椭圆是黄金椭圆； ②若椭圆是黄金椭圆，则； ③在中，，且点在以为焦点的黄金椭圆上，则的周长为； ④过黄金椭圆的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于两点，则 ； ⑤设是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不存在． 其中所有正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上） 【答案】③④⑤ 【解析】对①，，①不正确；对②，若焦点在轴上，则，解得，若焦点在轴上，则，解得，②不正确；对③，，，，③正确；对④，，④正确；对⑤，设，则，而，所以 ，与联立无实数解．因此椭圆上满足的点不存在，⑤正确，故答案为③④⑤. 题型02：求椭圆的标准方程 【典型例题1】已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为线段的中点，且，所以， 又椭圆的离心率， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为.故选：B. 【典型例题2】与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为， 设所求椭圆的长半轴长为，则， 故所求椭圆的标准方程为.故选：B. 【典型例题3】若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为动点满足关系式， 所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12， 而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，即，又，， 所以动点M的轨迹方程为.故选：C. 【典型例题4】已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义及题目条件求出a、b、c即可得解． 【详解】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a， 已知该和为，故，得， 椭圆焦距为2c，已知焦距为，故，得， 由椭圆中，可得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：C． 【典型例题5】已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上．若的面积最大为12，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可知当在轴上时的面积最大，从而可求出，再结合可求出，从而可求出椭圆的标准方程. 【详解】如图，当在轴上时的面积最大，所以，所以． 又，所以， 所以椭圆的标准方程为． 故答案为：    【典型例题6】焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆：离心率相同，且，在第一象限内公共点的横坐标为1，则的方程 【答案】 【解析】椭圆中，，故椭圆的离心率为， 中，令得， 故，在第一象限内公共点的坐标为， 设，将代入可得， 又，解得，， 故答案为：. 【典型例题7】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； (2)经过点，离心率为，焦点在x轴上； (3)经过两点，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可； (2)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可； (3)若椭圆过两点坐标，可把标准方程设为的形式，再把两点坐标代入求解即可. 【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为：， 所以由题设有：，解得， 故椭圆的标准方程为：. （2）根据题意可设椭圆的标准方程为：， 所以由题设有：，解得， 故椭圆的标准方程为：. （3）根据题意可设椭圆的标准方程为：， 所以由题设有：，解得， 故椭圆的标准方程为：. 【变式训练2-1】中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长短轴的比值可得，再由以及，可求得椭圆方程. 【详解】由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B 【变式训练2-2】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得解. 【详解】由题设， 可得，又为上顶点，则， 故， 所以，则，故标准方程为. 故选：A. 【变式训练2-3】若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 【变式训练2-4】已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率公式以及椭圆经过的点，结合椭圆中的关系即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故椭圆方程为， 故选：A 【变式训练2-5】在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】由题可得AB//FO且AB=OF，根据 A，B关于y轴对称，以及直线AF的方程，可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆的方程，及c=2，可得a，b的值，进而求出椭圆方程． 【解析】 由题可知：A，B关于y轴对称，，点横坐标为 如图 由直线AF的方程，所以纵坐标为 又点在椭圆上，所以① 由，则② 把②代入①，解得 故椭圆方程为： 故选：D 【变式训练2-6】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 【答案】C 【解析】选C.由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝b2.以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2，由题意可知b＝＝，所以a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1，故选C. 【变式训练2-7】已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 【答案】B　 【解析】∵2c＝|F1F2|＝2，∴c＝. ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴a＝2. ∴b2＝a2－c2＝9. 故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.] 【变式训练2-8】已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若且线段的长为，则该椭圆方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】推导出、是等腰直角三角形，可得出以及，可求出、的值，进而可求得的值，由此可得出该椭圆的方程. 【解析】 设椭圆的半焦距为，因为点在以线段为直径的圆上，所以. 又因为，所以. 又因为，所以是等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形， ，，， 得，解得，，得， 所以椭圆方程为. 故选：D. 【变式训练2-9】设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为(　　) A．9，12　　　　　　　　 B.8，11 C．8，12 D．10，12 【答案】C 【解析】选C.如图， 由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12. 【变式训练2-10】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 【答案】A 【解析】选A.由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝， 又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以C的方程为＋＝1，选A. 【变式训练2-11】已知、为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为16，椭圆离心率，则椭圆的方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据椭圆的几何性质有．因为的周长为16，所以．而，所以，解得．因为椭圆的离心率，所以，从而，所以椭圆方程为，故选D 【变式训练2-12】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4； (2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再由焦点位置得出椭圆方程； （2）由题意求出，根据焦点在x轴写出方程. 【详解】（1）由题意得：，， 故， 因为焦点在轴上，故椭圆方程为. （2）如图，    由题意得：，， 所以，， 结合焦点在轴上，故椭圆方程为：. 【变式训练2-13】已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程． 【答案】． 【解析】解法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上， 设方程为， 由，得，所以，① 又在椭圆上，则，② 由①②解得：， 即所求的方程是． 解法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是：， 则，整理得：，解得， 因为，所以， 故所求的椭圆的标准方程是． 【变式训练2-14】求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； （2）经过两点，． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由已知：椭圆焦点在y轴上且，则，且 设椭圆方程为，又在椭圆上， 所以， 故椭圆方程为. （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程为. 题型03：根据椭圆标准方程求参数 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【典型例题1】若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程表示椭圆， 则，解得.故选：B 【典型例题2】已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】将曲线C的方程化为， 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，即， 而“”不能推出“”；“”可以推出“”， 故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：A. 【典型例题3】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义建立关于的不等式，求解即得. 【详解】依题意,可得时，解得. 故选：A. 【变式训练3-1】方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 【变式训练3-2】若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：B. 【变式训练3-3】已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式训练3-4】“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 【变式训练3-5】（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可. 【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或． 又，，得，所以或． 故选:BC． 【变式训练3-6】（多选）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A．若曲线为双曲线，则或 B．若曲线为椭圆，则 C．曲线可能是圆 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】ACD 【解析】对于A，方程表示双曲线，则，解得或，故A正确； 对于B，方程表示椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，当时，方程表示圆，故C正确； 对于D，方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：ACD 3、（2023秋·江苏常州·高二阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆， 则满足，解得， 即实数的取值范围为. 【变式训练3-7】已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义可得，，，再分和两种情况讨论，结合椭圆的焦距即可得解. 【详解】由题意得，，，所以， ①若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； ②若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； 综上，n的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练3-8】已知椭圆，其中． （1）求满足条件的椭圆的个数； （2）如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数． 【答案】（1）20个；（2）10个 【解析】（1）由椭圆的标准方程知，要确定一个椭圆， 只要把m，n一一确定下来这个椭圆就确定了． 故要确定一个椭圆共分两步，第一步确定m，有5种方法， 第二步确定n，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆． （2）要使焦点在x轴上，必须，故可以分类：时，n的取值列表为： m 2 3 4 5 n 1 1，2 1，2，3 1，2，3，4 故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆． 题型04：椭圆的简单几何性质 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 【典型例题1】已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（   ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆的一个焦点为，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义与性质计算即可. 【详解】由题意可知，又，所以. 故选：A 【典型例题3】已知椭圆，则该椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程确定焦点坐标即可. 【详解】由椭圆方程知，，且焦点在轴上，则，故焦点坐标为. 故选：C 【变式训练4-1】椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，进而写出其坐标. 【详解】由题设，故椭圆的焦点在轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选：B 【变式训练4-2】已知椭圆，分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中错误的是（ ） A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为 C．点到原点的距离的最大值为 D．椭圆的离心率为 【答案】B 【解析】由椭圆方程得：，，； 对于A，点到右焦点距离的最大值为，A正确； 对于B，焦距为，B错误； 对于C，点到的距离的最大值为，C正确； 对于D，椭圆的离心率，D正确.故选：B. 【变式训练4-3】曲线与曲线的（ ）. A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【解析】曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率. 曲线， 由得，且， 故曲线也是焦点在轴上的椭圆， ， 长轴长、离心率、短轴长均与有关，不一定与曲线的相同； 而其焦距为，与曲线的焦距相同.故选：B. 【变式训练4-4】曲线与曲线的（    ）. A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【分析】通过方程分别研究两曲线的相关性质，比较即可. 【详解】曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率. 曲线， 由得，且， 故曲线也是焦点在轴上的椭圆， ， 长轴长、离心率、短轴长均与有关，不一定与曲线的相同； 而其焦距为，与曲线的焦距相同. 故选：B. 【变式训练4-5】若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆，该卫星近地点离地面的距离为 km，远地点离地面的距离为km，地球的半径为km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，从而得，，再根据求解即可. 【详解】解：由题意得，， 可得，， 则=. 故选：A. 【变式训练4-6】（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【解析】将椭圆方程化为标准方程为 所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确； 因为所以长轴长是，故B错误， 因为，所以，离心率，故A正确.故选：ACD 【变式训练4-7】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若为等腰三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据方程求，由题意分析可得，列方程求解即可. 【详解】由题意可知：， 设， 因为为上一点且在第二象限，则，， 又因为为等腰三角形，且，则， 即，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：, 【变式训练4-8】已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程． 【答案】． 【分析】解法一：由题意设方程为，然后根据题意可得和，求出，从而可求得椭圆方程，解法二：由题意设，然后将代入椭圆方程求出，从而可求出椭圆方程. 【详解】解法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为， 由，得，所以，① 又在椭圆上，则，② 由①②解得：， 即所求的方程是． 解法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是：， 则， 整理得：，解得， 因为，所以， 故所求的椭圆的标准方程是．    题型05椭圆的焦点三角形问题 P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c) 【典型例题1】已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ） A．20 B．16 C．18 D．14 【答案】C 【解析】根据椭圆方程可知， 根据椭圆的定义可知，的周长为，故选：C 【典型例题2】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，可得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 【典型例题3】已知椭圆 的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，当的 面积最大时，内切圆半径为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆 ，得，，，则，， 当的面积最大时，为椭圆的短轴的一个顶点，不妨设为上顶点， 点为坐标原点，内切圆半径为， 则 ，，， 则， 即，解得 .故选：D. 【典型例题4】已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（    ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D. 【详解】由题意知，，，， 由椭圆的定义知，，， ∴的周长为，即A正确； 将代入椭圆方程得，解得， ∴的面积为，即B正确； 设的内切圆的半径为r，则， 即，∴，即C正确； 不妨取，则，， ∴的面积为， 即，∴， 由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误， 故选:D.    【典型例题5】已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A.    【典型例题6】（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】如下图所示，设切点为，，， 对于A，由椭圆的方程知：， 由椭圆的定义可得：， 易知，所以， 所以，故A正确； 对于BCD，， 又因为，解得：， 又因为为上一点且在第一象限， 所以，解得：，故B正确； 从而，所以， 所以，而，所以，故C错误； 从而，故D正确.故选:ABD． 【变式训练5-1】已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的方程，求得的值，结合椭圆的定义和几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆,可得，，所以， 如图所示，则的周长为. 故选:A.    【变式训练5-2】已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 【变式训练5-3】若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】先根据椭圆的方程得出的值，再根据椭圆的定义结合已知条件求出的周长． 【详解】   椭圆方程为， ， 为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点， ， 又，，三点共线， 的周长为：， 故选：D． 【变式训练5-4】已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆定义以及离心率和焦点坐标计算可得，可求出结果. 【详解】易知的周长为. 因为所以， 故的周长为. 故选：A 【变式训练5-5】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为， 因为， 所以，得． 故选：C. 【变式训练5-6】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解. 【详解】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以， 所以点的纵坐标为，所以. 故选：C. 【变式训练5-7】设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和焦点三角形的余弦定理建立方程组，然后再根据，两边平方即可求解. 【详解】因为①， ， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即. 故选：B 【变式训练5-8】已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由椭圆定义可得，，由焦距为，得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，根据，解得，从而得，在中，由余弦定理求得，即可得答案. 【详解】由椭圆定义得， 又， 则，， 又因为焦距为， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 同理在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 又， 则， 即 解得， 又因为， 即， 所以， 在中，由余弦定理得， 解得， 所以． 【变式训练5-9】（多选），为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据选项，设椭圆的方程为，设椭圆的上顶点为， 椭圆上存在点，使得，则需， 所以，即， 因为，，则， 检验可得选项A，D满足.故选：AD. 【变式训练5-10】（多选）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据椭圆的几何性质可判断为椭圆的短轴端点时，此时最大，即可列不等式求解. 【详解】由椭圆的性质可得当点为椭圆的短轴端点时，此时最大， 若不可能为钝角，当点为椭圆的短轴断点时，则， 则，即， 又焦点在轴上，解得， 所以实数的值可以是4，5， 故选：CD    【变式训练5-11】已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由向量的夹角公式可得，利用余弦定理、椭圆定义可得，再由三角形面积公式可得答案. 【详解】因为，，所以， 若，因为， 则可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 则. 故答案为：.    【变式训练5-12】已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理进行求解即可； （2）根据（1）中三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 【变式训练5-13】已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求： （1）椭圆的标准方程 （2）的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设椭圆的标准方程为， 由已知得解得，，， 故椭圆的标准方程为． （2）如图，由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得， 整理得， 又，所以， 故． 题型06：点与椭圆的位置关系 【典型例题】点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【答案】D 【解析】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程 左边为＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1， 因此点P在椭圆外．故选:D. 【变式训练6-1】若点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解析】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上， 根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C 【变式训练6-2】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在椭圆的外部， 所以,解得,故选：B. 【变式训练6-3】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意可得，椭圆的焦点分别为 ，， 因为 ，所以点M在以 为直径的圆上， 则短半轴长为 ，所以点M在椭圆内，故A正确； 由 得，则该椭圆的长半轴长为， 所以点M在椭圆外，故D正确.故选：AD 题型07：与椭圆有关的轨迹问题 【典型例题1】古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【解析】由题意得，整理得：， 所以点的轨迹为椭圆．故选：B． 【典型例题2】已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆内切半径关系可得： ，根据椭圆的定义可得点的轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故长半轴，半焦距 ,则短半轴   点轨迹方程为. 故选：C. 【典型例题3】已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得，设，结合，，得到，代入得到点的轨迹方程． 【详解】设，由已知得，，则，即， 所以， 设，因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以，因此，即， 所以点的轨迹方程为． 故选：A. 【典型例题4】已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，结合已知有，再由及向量共线的坐标表示有，联立即可得轨迹. 【详解】设，，由，可得①． 设，由于点在线段上，且，即， 所以，可得，即， 代入①式，可得，整理得. 故选：A 【变式训练7-1】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 【变式训练7-2】已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出，再利用两点间距离公式得到，结合中点坐标公式得到，进而得到，整理得到，最后求解轨迹方程即可. 【详解】设，因为，所以， 整理得，因为点是的中点，所以， 则，又，得到， 整理得，则点的轨迹方程为，故C正确. 故选：C. 【变式训练7-3】长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点求出的坐标，利用相关点法即可求解. 【详解】设依题意有，即， 所以，即，所以， 故选：D. 【变式训练7-4】已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 【变式训练7-5】设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简. 【详解】设，则由已知得， 化简得. 故选：C． 【变式训练7-6】若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且，则动点M的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设， 则， 如图，因为，，可得， 则，解得， 又因为，整理得， 则所求动点M的轨迹方程为 故答案为：. 【变式训练7-7】已知圆，圆．若动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆的圆心C的轨迹方程． 【答案】 【解析】因为圆，圆． 所以为，的半径，，的半径， 设动圆的半径为， 则，， 可得为定值， 所以圆心在以、为焦点的椭圆上运动， 由，得，， 所以椭圆方程为， 即动圆圆心的轨迹方程为. 【变式训练7-8】在中，，边上的两条中线之和为39，求的重心的轨迹方程. 【答案】. 【解析】以线段的中点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，，如图， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为26的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. 【变式训练7-9】椭圆上有动点P，点，分别是椭圆的左、右焦点，求的重心M的轨迹方程. 【答案】. 【解析】设点P，M的坐标分别为，， ∵在已知椭圆的方程中，，， ∴， 则已知椭圆的两焦点为，. ∵存在，∴. 由三角形重心坐标公式有即 ∵，∴. ∵点P在椭圆上，∴， ∴， 故的重心M的轨迹方程为. 题型08： 椭圆上两点距离的最值问题 【典型例题1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 【典型例题2】已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．长轴长为2 C．离心率 D．最大值为 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程及其性质判断各项的正误. 【详解】由椭圆标准方程为，则， 所以焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，且最大值为. 故选：D 【典型例题3】已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由得，，问题转化为求，结合图象可知当点为椭圆的右顶点时，有最小值，计算，得到. 【详解】椭圆中，.    如图，由得， ∴， ∴当取最小值时，最小. 由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，， ∴. 故选：C. 【变式训练8-1】椭圆上的动点到其左焦点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知该椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为， 设， 则，时取得等号. 故选：B. 【变式训练8-2】已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的对称性以及定义可得，即可得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中， 故， 又因为，设点，则， 所以， 当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以， 故当时，取得最小值，最小值为51， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 故选：C.    【变式训练8-3】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【变式训练8-4】已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为， 设，则，可得， 又由点， 可得， 因为，所以，所以. 故选：A. 题型09：椭圆中的距离和差最值 【典型例题1】已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 【典型例题3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】    如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 【典型例题4】设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A 【变式训练9-1】已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解． 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，，    将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 【变式训练9-2】已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解. 【详解】因为曲线：可化为，为椭圆， 则，故椭圆左焦点，右焦点， 又圆：的圆心恰好是，则，    又在椭圆中，有，， 所以， 当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立. 故选：D. 【变式训练9-3】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】椭圆的，点在椭圆内部， 如图， 设椭圆的右焦点为 ，则 ； ； 由图形知，当在直线 上时， ， 当不在直线 上时， 根据三角形的两边之差小于第三边有， ， 当在射线 的延长线上时， 取得最小值 的最小值为．故选：B 【变式训练9-4】（多选）已知点，P为椭圆上的动点，则的（ ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】BD 【解析】注意到Q为椭圆的右焦点， 设其椭圆的左焦点为， 则， 而的取值范围是，即， 因此所求最大值为，最小值为．故选：BD. 【变式训练9-5】已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】圆M：的圆心为， 设椭圆的左焦点为，如右图， 由椭圆的定义知，，所以， 所以， 当且仅当三点在一条直线上时取等， ，，，.故选：D． 【变式训练9-6】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意知为椭圆上任意一点， 为圆：上任意一点， 故， 故， 当且仅当共线时取等号， 所以 ， 当且仅当共线时取等号， 而, 故的最小值为. 【变式训练9-7】已知F是椭圆C：的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆E：上任意一点，则的最小值 . 【答案】-2 【解析】椭圆方程为： ， ，，， 又圆方程可化为：， 圆心坐标为，半径， 设椭圆的右焦点为，则， 当且仅当，，，共线时，取得等号， 的最小值为， 故答案为：. 题型10：求椭圆的离心率 【典型例题1】已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆经过点为，则，解得， 故椭圆的标准方程为， 所以，，，则， 因此，椭圆的离心率为.故选：A. 【典型例题2】已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： 设，因为，所以. 又因为，所以，即. 因为，所以. 因为，所以. 在中，，解得， 即，所以，即. 所以，.故选：B 【典型例题3】，是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 . 【答案】 【解析】因为， 所以，则是的角平分线，所以， 又因为，所以，设， 由椭圆定义得，即，解得， 则，则， 所以，则. 【典型例题4】设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】如图，设，则，. 又由椭圆定义可得. 则在中，由余弦定理可得: . 则， 则在由余弦定理可得： . 又. 【典型例题5】已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点坐标求得点坐标，然后代入椭圆的方程，化简求得椭圆的离心率. 【详解】由令，得， 由于与轴平行，且在第一象限，所以. 由于， 所以， 即，将点坐标代入椭圆的方程得， ， ， 所以离心率. 故选：B    【典型例题6】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可. 【详解】设，易知， 则，， 又， 所以. 故选：C 【变式训练10-1】已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形表示出，借助于三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】 由可得，由图知，， 则的面积为， 解得，则椭圆的离心率为. 故选：C. 【变式训练10-2】已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 【变式训练10-3】已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 【变式训练10-4】已知，是椭圆：的左右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴，分别求得和的方程，联立方程组求得，得到，结合，求得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆，可得， 过点作轴，垂足为， 因为点在过且斜率为的直线上，可得直线的方程为， 又因为，可得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为, 联立方程组，解得，所以， 因为，所以， 又因为为等腰三角形，且，所以， 即，可得，所以椭圆的离心率为. 故选：D. 【变式训练10-5】已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得． 【详解】因为为的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 【变式训练10-6】如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆：，由双曲线方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率． 【详解】设椭圆：， 双曲线：，可得，所以， 解得，所以， ，， ，， 因为四边形为矩形，所以在中，， ，即， ，，即的离心率是. 故选：C. 【变式训练10-7】已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 【变式训练10-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，则，则，在中，是直角，可得，再根据离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，设，则，由椭圆的定义，得， 因为是直角，所以在中，由勾股定理，得， 即，所以椭圆的离心率. 故选：B 【变式训练10-9】已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合等腰三角形的性质、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】因为点在椭圆上， 所以，又因为， 所以， 在等腰三角形中，，底边， 过作，垂足为， 由已知可知点到直线的距离为．所以有， 由勾股定理可知：， 而，化简得： （舍去），或， 即， 故选：A 【变式训练10-10】设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，设点，结合椭圆对称性求出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，设， 由，得，于是，， 而，则，由三点共线，得， 于是，解得，此时或符合题意， 所以椭圆的离心率为. 故选：B    【变式训练10-11】已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率. 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 【变式训练10-12】已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切的位置关系可构造的齐次方程，结合椭圆关系可求得离心率. 【详解】由题意知：，则直线，即， 与圆相切，，即， ，，椭圆的离心率. 故选：A. 【变式训练10-13】已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定，进而可得，即可求椭圆的离心率. 【详解】 如图，不妨设， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以， 又因为为等腰直角三角形，所以, 即，即，所以， 解得或（舍）， 故选:B. 【变式训练10-14】已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】作出图形，分析可知为等腰直角三角形，设，则，利用椭圆的定义可得出，，在中，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】因为点为线段的中点，，则， 所以，为等腰直角三角形，    设，则， 由椭圆的定义可得， 所以，， 所以，， 由勾股定理可得，即， 整理可得，因此，该椭圆的离心率为. 故答案为：. 【变式训练10-15】已知椭圆的左､右焦点为，点在椭圆上，分别延长，交椭圆于点，且，则线段的长为 ，椭圆的离心率为 . 【答案】 / 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理、勾股定理、离心率等知识求得正确答案. 【详解】根据，以及椭圆定义，得， 设，则， 根据，由勾股定理，得； 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以，所以， 在中，由勾股定理，得. ，在中，由余弦定理， 得，所以，离心率. 故答案为：；    题型11：求椭圆离心率的取值范围 【典型例题1】已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以，即，，， 所以，即， 又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．故选：A． 【典型例题2】已知点P是椭圆C： 上动点，点A是椭圆C的上顶点．当P为下顶点时，取到最大值，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意， ，设 ，因为 ， ， 所以 ， ，因为当 时， 取得最大值，所以 ， 可得 ，即 . 【典型例题3】设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，设， 因为，所以， 又，， 所以， 因为，则， 当时，取得最小值，即， 即，所以， 即椭圆的离心率为.故选：D. 【典型例题4】设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即FA⊥FB， 所以四边形为矩形，所以， 设，， 在中，，，，可得， 所以，令，得． 又，得，所以，所以， 结合，所以，所以，所以， 即椭圆C的离心率的取值范围为，故选：B． 【典型例题5】已知圆与椭圆 ，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，且，根据题意问题化为保证时，进而得到关于椭圆参数的不等式，结合椭圆离心率范围及求法确定离心率的取值范围. 【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，    若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大， 所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近； 在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为， 所以，保证时，即， 由题意及图知：，故，而， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 【变式训练11-1】已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，设，，则，如图：    根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 【变式训练11-2】已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可设，直线的参数方程为得到，再根据，可得即可得到离心率范围. 【详解】设，直线的参数方程为（为参数）， 代入圆， 化简得， ， ，， 存在点，使得， ，即，则，即， 故选：B. 【变式训练11-3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查椭圆和双曲线的性质，根据题意，将应用到的性质转化成数学符号，进行运算. 【详解】设双曲线的焦距为． 则依题意得，，，，． 由得于是，． 又，则． 设，由，． 由在区间上为减函数，得的值域为． 所以的取值范围为， 故选B． 【变式训练11-4】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得. 故选：B． 【变式训练11-5】已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用点坐标表示的中点的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解. 【详解】设， 的中点为，由， 得， 而， 故， 即， 整理得， 因为的任意性，此不等式恒成立， 故，即， 解得. 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 【变式训练11-6】椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线斜率小于，可得，再结合椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线的渐近线斜率小于， 所以，即， 设椭圆的焦距为，离心率为， 则， 可得. 故选：B. 【变式训练11-7】椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围； 解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围. 【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等， 而，于是，即， 结合得又，故． 解法二：设点，则有，即，解得， 又因为，所以有，两边同时除以，可以解得． 故选：D. 【变式训练11-8】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 【变式训练11-9】已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑只需点位于长轴端点时，，可得，然后可解. 【详解】由对称性可知，， 因为，， 所以当点位于长轴端点时最小， 由题可知，在椭圆上存在一点，使得， 只需当点位于长轴端点时，，即，故， 又，所以椭圆离心率的取值范围为. 故选：B    【变式训练11-10】已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点P满足，求出点P的轨迹方程，再与椭圆方程联立解方程组，结合有3个点列出不等式求出离心率范围. 【详解】设，由，得，化简得， 即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点， 由消去得，即， 显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解， 则，解得，所以椭圆C的离心率. 故选：C 【点睛】关键点点睛：求出点的轨迹轨迹方程并解方程组是求出范围是关键. 【变式训练11-11】设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆定义，结合图形可得当四点共线时，据此可得离心率范围. 【详解】由题可得圆半径为，因恒成立， 则.由椭圆定义，可得， 如图，当三点共线时，最大，为，又对于圆外一点P， 当三点共线时最大，又，则， 即，取最值时，四点共线. 则，即，所以，即. 故选：C    【变式训练11-12】已知椭圆上存在两点，到点的距离相等，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设AB中点为，则，，得到AB中垂线方程：，得出，进而可得结果. 【详解】设AB中点为且，则，， 由题意，点在线段AB中垂线上， 坐标代入椭圆方程得，所以， 所以AB中垂线方程：， 令，则，显然，故， 所以，， 故选: 【变式训练11-13】椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据焦点三角形的顶角范围，求出椭圆特征三角形顶角的范围，继而求出离心率的范围. 【详解】设椭圆的上顶点为,则令, 则,    且， , , 故选：B. 【变式训练11-14】若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 . 【答案】 【分析】方法一：设点M的坐标是，则，由题意，即，结合点M在椭圆上，可得，即可求出椭圆的离心率的取值范围； 方法二：设点M的坐标是，由已知可得出关于、的方程组，求出，可得出关于、、的不等式组，由此可解得椭圆的离心率的取值范围； 方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，由题意，则，进而可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】方法一：设点M的坐标是，则. ∵，，∴，. ∵，∴，即. 又点M在椭圆上，即， ∴，即， ∴，即， 又，∴， 故椭圆的离心率e的取值范围是. 方法二：设点M的坐标是， 由方法一可得消去，得， ∵，∴， 由②得，此式恒成立. 由①得，即，∴，则. 又，∴. 综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是. 方法三：设椭圆的一个短轴端点为P， ∵椭圆上存在一点M，使， ∴，则，（最大时，M为短轴端点） ∴，即， 又，∴， 故椭圆的离心率e的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练11-15】已知椭圆的左、右焦点分别为、，半焦距为，是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，若存在以为半径的圆内切于（的面积满足），则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因在以为半径的内切圆，由三角形面积公式可得的关系，进而可得椭圆离心率的范围. 【详解】   如图，， 因为的内切圆半径为， 所以， 因为， 所以，得， 所以，得， 因，得，得， 因，故， 故答案为： 【变式训练11-16】已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是 ． 【答案】 【分析】不妨设，设，表示出，，依题意可得有解，根据数量积的坐标表示得到方程在上有解，由二次方程根的分布知识得到关于的不等式，解得即可． 【详解】依题意不妨设为椭圆的左焦点，则， 设，则，，，则， 若存在点使得，则存在点使得， 即在上有解， 即在上有解， 令，显然，， 所以，即且， 由，即，解得或， 由，即，解得或， 又，所以，即． 故答案为：．    【变式训练11-17】已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，代入椭圆的方程中，整理可得，求出的范围则可求得离心率的取值范围. 【详解】过点且与直线垂直的直线为， 两直线的交点，从而点. 点在椭圆上， 则，即 则. 由于，则，， 故答案为： 题型12：由椭圆离心率求参数 【典型例题】已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先判断焦点在轴上，根据离心率求出，即可得解. 【详解】依题意，，即，则的焦点在轴上， 因此，所以，故的短轴长为. 故选：B． 【变式训练12-1】已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（   ） A． B． C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】根据题意，求出椭圆离心率，分焦点在轴或轴上讨论列出方程，即可求解. 【详解】易知椭圆的离心率为， 对于椭圆， 当焦点在轴上时离心率为，解得； 当焦点在轴上时离心率为，解得， 所以或. 故选：D． 【变式训练12-2】已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 【变式训练12-3】已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论和，结合离心率，即可求解. 【详解】①当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； ②当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； 综上，的值为或12. 故选：C 题型13:椭圆的实际应用问题 【典型例题1】2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 【典型例题2】某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 【典型例题3】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【典型例题4】如图，在边长为10的正方形内有一个椭圆，某同学用随机模拟的方法求椭圆的面积．若在正方形内随机产生2000个点，并记录落在椭圆区域内的点的个数有680个，则椭圆区域的面积约为（ ） A．34 B．66 C．68 D．132 【答案】A 【解析】设椭圆区域的面积为． 由题知，正方形的面积， 若在正方形内随机产生2000个点，并已录落在椭圆区域内的点的个数有680个，则满足， 解得． 故选：A. 【典型例题5】如图，正方形ABCD内接于椭圆，正方形EFGH和正方形UHK中的顶点E、H、I在椭圆上，顶点K、H、G在边AB上，顶点J在边HE上，已知正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为4：1求正方形UHK与正方形EFGH的面积比（精确到0.001). 【答案】0.144:1 【解析】设椭圆的方程为正方形ABCD的边长为2m.则 于是， -消去得. -消去得. 于是，椭圆的方程可以写为 设正方形UHK的边长为t.则. 将点的坐标代入式得， 即解得（负值舍去）. 于是，正方形UHK的面积为 故正方形IJHK与正方形EFGH的面积比为0.144:1. 【变式训练13-1】如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 【变式训练13-2】我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】先求将水滴轴截面看成圆的一部分时的水滴角的正切值，再求将水滴轴截面看成椭圆的一部分时的水滴角的正切值，最后比较和的大小得到结果； 【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线， 为弦的中点，连接，， 则水滴角，所以，由题知，， 所以，解得，所以． 将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则切点为， 易知椭圆在点处的切线方程为， 则此直线的斜率即水滴角的正切值，即． 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，因为， 所以. 故选：A． 【变式训练13-3】2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（） A．0.32 B．0.48 C．0.68 D．0.82 【答案】C 【分析】 由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率 【详解】 解：由题意得，解得，所以离心率， 故选：C 【变式训练13-4】某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（　　） A．r+RB．r+RC．r+R D．r+R 【答案】A 【分析】 画出题意画出图形，结合题设条件和椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而求得卫星远地点离地面的距离. 【详解】 由题意，椭圆的离心率，（c为半焦距；a为长半轴） 地球半径为R，卫星近地点离地面的距离为r，可得 联立方程组，，如图所示，设卫星近地点的距离为，远地点的距离为， 所以远地点离地面的距离为r+ 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了椭圆的定义及几何性质的应用，其中解答中结合椭圆的几何性质求得椭圆的长半轴和半焦距是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 【变式训练13-5】椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】 先根据椭圆的标准方程求出,,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果. 【详解】 解: 由题意可得,, ,所以,. ①若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,则所经过的路程为, ②若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,则所经过的路程为. ③若光线从椭圆一个焦点沿非轴方向出发,则所经过的路程为 故选:B 【点睛】 本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题. 【变式训练13-6】天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，，其中为中心天体质量，为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米，取，则冥王星的公转周期约为（） A．157年 B．220年 C．248年 D．256年 【答案】C 【分析】 利用列方程组，化简后求得冥王星的公转周期. 【详解】 设地球椭圆轨道的半长轴为，公转周期.设冥王星椭圆轨道的半长轴为，公转周期. 则，两式相除并化简得，所以年.故选：C 【点睛】 本小题主要考查椭圆的基本概念，属于基础题. 【变式训练13-7】已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是，得到一个直角三角形，可得要求的结果． 【详解】 解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径， 由图 ，由是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴， 过球心向地面做垂线，垂足是， 在构成的直角三角形中，，， 故选：B． 【点睛】 本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量． 【变式训练13-8】（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a、2c，下列结论正确的是（） A．卫星向径的取值范围是[a-c，a+c] B．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】AD 【分析】 根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案. 【详解】 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确； 当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，不正确； ，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确. 故选：. 【变式训练13-9】（多选）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 先由题意，不妨令椭圆的焦点在轴上，分三种情况讨论：（1）球从沿轴向左直线运动；（2）球从沿轴向右直线运动；（3）球从不沿轴，斜向上（或向下）运动；根据椭圆的性质，以及椭圆的定义，即可分别得出结果. 【详解】 由题意，不妨令椭圆的焦点在轴上，以下分为三种情况： （1）球从沿轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是； （2）球从沿轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是； （3）球从不沿轴，斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点，反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点，经反弹后经过点．此时小球经过的路程是． 综上所述，从点沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点时，小球经过的路程是或或．故选：ACD. 【点睛】 关键点点睛： 求解本题的关键在于对椭圆定义和性质的理解，根据椭圆的光学性质，当光线不沿焦点所在直线出发时，从一个焦点出发，经过反射后必过另一焦点；由此即可求解. 【变式训练13-10】（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 A选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD选项根据B选项的结论进行变形来判断. 【详解】 由题图可得，故A不正确； ，故B正确； 由得，即， 即，故C正确，D不正确． 故选：BC 【点睛】 本小题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题. 【变式训练13-11】如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】 取焦点在轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有为椭圆通径，得，结合及解出代入离心率公式计算即可. 【详解】 解：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径， 所以，又，解得 所以截口所在椭圆的离心率为故答案为： 【点睛】 求椭圆的离心率或其范围的方法： （1）求的值，由直接求； （2）列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解． 【变式训练13-12】某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是__________ 米． 【答案】32 【解析】 设椭圆方程为，当点在椭圆上时，，解得车辆高度不超过米，，即拱宽至少，故答案为. 【变式训练13-13】某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是　　. 【答案】 【分析】 先根据题意分别表示出和,只要令小于或等于椭圆的长轴即可. 【详解】 依题意，.故答案为 . 本题主要考查了椭圆的应用.考查了学生运用基础知识解决实际问题的能力 一、单项选择题： 1.已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆的一个焦点为，，，，椭圆方程为． 故选:C 2.已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若曲线 表示椭圆，则 ， 故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件． 故选:C 3.椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 因为的周长为，所以，所以， 所以椭圆的离心率为， 故选:B 4.已知椭圆的左､右焦点分别为､，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线方程为， 联立方程组得， 则. 因为为钝角，所以. 因为 ，所以. 因为当时，三点共线，不符合题意，所以. 故选:D 5.设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（　　） A．14 B．13 C．12 D．10 【答案】A 【解析】由椭圆的定义，知，， 所以的周长为， 所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，所以的最大值为. 故选:A 6.设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于两点， 可得，即， 因为为钝角三角形，则，可得，即，即， 又因为，可得，即， 即，且，解得， 即椭圆的离心率的取值范围为. 故选：A. 7.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意设，代入椭圆方程可得； 两式相减可得，整理可得； 又因为的中点坐标为，可得； 因此过两点的直线斜率为， 又和的中点在直线上，所以， 即，可得； 又易知，且，计算可得； 所以椭圆的方程为，代入的中点坐标为，得，则其在椭圆内部，则此时直线与椭圆相交两点. 故选：A 8.已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当椭圆的切线斜率存在时，设，且过与椭圆相切的直线方程为：， 联立直线与椭圆方程， 消去可得， 所以， 即， 设为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以， 所以，即，所以， 当椭圆的切线斜率不存在时，此时，，也满足上式， 所以，其轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又因为A为椭圆上顶点，所以， 当点位于圆的上顶点时，， 当点位于圆的下顶点时，， 所以， 故选:D 二、多项选择题： 9.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，两点都在上，且，关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ） A．的最大值为 B．为定值 C．的焦距是短轴长的2倍 D．存在点，使得 【答案】C 【解析】由题意，，，，所以，，， 而，，所以A正确，C错误； 由椭圆的对称性知，，所以B正确； 当在轴上时，，则为锐角， 所以存在点，使得，所以D正确.    故选：C 10.在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有（ ） A．恒过点 B．若恒过的焦点，则 C．对任意实数，与总有两个互异公共点，则 D．若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点 【答案】ACD 【解析】方程可化为， 所以直线恒过点，A正确； 设椭圆的半焦距为，则点的坐标可能为或， 若直线恒过点，则，故，矛盾， 直线恒过点，则，故，所以，B错误； 联立，消可得， ， 由对任意实数，与总有两个互异公共点， 可得方程有个不相等的实数解， 所以， 所以， 所以，C正确； 因为， 所以时，则，即时， 可得，此时方程组有且只有一组解， 故与有且只有一个公共点，D正确. 故选：ACD. 11.伟大的古希腊哲学家､百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程可以为 B. 若，则 C. 存在点，使得 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】对于A：由，解得，则椭圆的标准方程为，故A正确； 对于B：由定义可知，由余弦定理可得 ，解得， 则，故B错误； 对于C：当点为短轴的一个端点时，最大， 此时，为锐角， 则不存在点，使得，故C错误； 对于D： ，当且仅当， 即时，等号成立，故D正确； 故选：AD 12.椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为 C. 过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】对于选项，由椭圆的方程知， 所以离心率，故选项不正确； 对于选项B， 由椭圆的定义可得， 所以， 即当且仅当时，的最大值为，故选项B正确； 对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为，满足条件，故选项C错误； 对于选项D， 圆：， 所以， 故选项D正确； 故选：BD. 三、填空题： 13.已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为______． 【答案】 【解析】由椭圆知，，所以， 所以右焦点坐标为，则直线的方程为， 设， 联立，消y得，， 则， 所以. 即弦AB长为. 故答案为： 14.设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率是______． 【答案】 【解析】不妨设椭圆方程为， 则，， 由于,所以由余弦定理可得， 化简得， 由于，所以，故 故答案为： 15.已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为_________________. 【答案】或 【解析】设，，因为， 又A，F，B三点共线，所以， 所以，所以，. 又，在椭圆上， 所以，所以， 即， 所以，所以， 所以，又，所以，所以， 由，解得， 当时，直线l的斜率； 当时，直线l的斜率，所以直线l的斜率为或. 故答案为：或 16.已知椭圆，，，斜率为的直线与C交于P，Q两点，若直线与的斜率之积为，且为钝角，则k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，，， 联立方程组，消去y得， 由，即， 所以，，，， 所以，解得（舍去）或． 由为钝角，得，即， 所以，解得， 因为，所以． 故答案为：． 四、解答题 17．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求证：． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率；（2）见解析 【解析】（1）由题可知：，又 所以 故椭圆的方程为，离心率 （2）设点 由点是线段的中点，所以 由①，② 则②-①： 由三点共线，所以 则 即 所以 18．已知中心在原点，左焦点为的椭圆的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆：，椭圆：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆．已知是椭圆的3倍相似椭圆，若直线与两椭圆、交于四点（依次为、、、），且，试研究动点的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设椭圆方程为：直线方程为到直线距离，又，椭圆的方程为；（2）椭圆的倍相似椭圆的方程为，设、、、坐标，将代入椭圆方程，（*）和，，同理可得，，，可得线段、中点相同 满足（*）式动点的轨迹方程为． 试题解析：（1）设椭圆方程为：， 所以直线方程为． ∴到直线距离，整理得， 又，解得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的倍相似椭圆的方程为， 设、、、各点坐标依次为、、、， 将代入椭圆方程，得， ∴，（*） 此时，，， ∴， 将代入椭圆方程，得， ∴，， ∴， ∴，可得线段、中点相同，所以， 由，可得，所以，可得， ∴，即满足（*）式， 故动点的轨迹方程为． 19．已知椭圆：，若椭圆：，则称椭圆与椭圆 “相似”. （1）求经过点，且与椭圆： “相似”的椭圆的方程； （2）若，椭圆的离心率为，在椭圆上，过的直线交椭圆于，两点，且. ①若的坐标为，且，求直线的方程； ②若直线，的斜率之积为，求实数的值. 【答案】（1）；（2）①，②. 【解析】⑴设椭圆的方程为，结合椭圆过点可得椭圆的方程为. ⑵由题意设椭圆，椭圆，设， ①方法一：联立直线方程与椭圆方程可得，则，，代入椭圆可得，解得，直线的方程为. 方法二：由题意得，则椭圆，， 设，则，联立椭圆方程可得， 则直线的方程为. ②方法一： 由题意得，结合，则，可得：， 整理计算得到关于的方程：，. 方法二：不妨设点在第一象限，直线，与椭圆方程联立可得，则，直线的斜率之积为，计算可得，则，结合，可得，即，. 试题解析： ⑴设椭圆的方程为，代入点得， 所以椭圆的方程为. ⑵因为椭圆的离心率为，故，所以椭圆， 又椭圆与椭圆“相似”，且，所以椭圆， 设， ①方法一：由题意得，所以椭圆，将直线， 代入椭圆得， 解得，故， 所以， 又，即为中点，所以， 代入椭圆得， 即，即，所以， 所以直线的方程为. 方法二：由题意得，所以椭圆，， 设，则， 代入椭圆得，解得，故， 所以， 所以直线的方程为. ②方法一： 由题意得， ，即， ，则，解得， 所以， 则， ， 所以，即，所以. 方法二：不妨设点在第一象限，设直线，代入椭圆， 解得，则， 直线的斜率之积为，则直线，代入椭圆， 解得，则， ，则，解得， 所以， 则， ， 所以， 即，即，所以. 20.设椭圆：（）,左、右焦点分别是、且,以为圆心,3为半径的圆与以为圆心,1为半径的圆相交于椭圆上的点 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆：,为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点 ①求的值； ②令,求的面积的最大值. 【答案】（1）（2）①② 【解析】解：（1）由题意可知，，可得， 又 , , 即有椭圆的方程为； （2）由（1）知椭圆的方程为, ①设,,由题意可知, ,由于, 代入化简可得, 所以,即； ②设,,将直线代入椭圆的方程,可得 ,由,可得,③ 则有,, 所以, 由直线与轴交于, 则的面积为 设,则, 将直线代入椭圆的方程, 可得, 由可得,④ 由③④可得,则在递增，即有取得最大值， 即有，即，取得最大值， 由①知，的面积为， 即面积的最大值为. 21．以椭圆的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆C及其“伴随”的方程； （2）过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记为坐标原点）的面积为，将表示为m的函数，并求的最大值． 【答案】（1）,；（2），，的最大值为1． 【解析】（1）椭圆的离心率为，可得，即 又由，可得， 设椭圆C的方程为， 因为椭圆C过点，代入可得， 解得，所以椭圆C的标准方程为， 又由，即“伴随圆”是以原点为圆心，半径为1的圆， 所以椭圆C的“伴随”方程为． （2）由题意知，， 易知切线的斜率存在，设切线的方程为， 由得， 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则，． 又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2-1． 所以=， 则，， 可得（当且仅当时取等号）， 所以当时，S△AOB的最大值为1． 22.阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）；光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）．试结合，上述事实现象完成下列问题： （Ⅰ）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出．经过球桌边缘的反射（假设球的反射充全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）； （Ⅱ）结论：椭圆上任点P（x0，y0）处的切线的方程为．记椭圆C的方程为C：，在直线x＝4上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B．求证：直线lAB恒过定点： （Ⅲ）过点T（1，0）的直线l（直线l斜率不为0）与椭圆C：交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）S＝2（a），S＝2（a），S＝4a；（Ⅱ）证明见解析　（Ⅲ）存在，定点S（±3，0） 【分析】 （Ⅰ）根据题意分桌球第一次与球桌的边缘的接触点为长轴的两个端点或这两个端点外的任一点三种情况进行讨论即可. （Ⅱ）设M（4,t）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,再根据椭圆在点P（x0,y0）处的切线的方程为即可求得两条切线方程的表达式,再根据M（4,t）在两条切线上即可求得lAB 的直线方程. （Ⅲ）设l的方程为：x＝my+1,再联立直线与椭圆的方程,求得直线SP与SQ斜率之积的表达式,再根据表达式求S（s,0）即可. 【详解】 （Ⅰ）记c,因为桌球第一次与球桌的边缘的接触点可能是长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况,所以,S＝2（a﹣c）或S＝2（a+c）或S＝4a； 即S＝2（a）,S＝2（a）,S＝4a； （Ⅱ）设M（4,t）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,则直线lMA：1,lMB：1,代入M中,得lMA：ty1＝1,lMB：2＝1,则点A,B的坐标满足方程：ty﹣1＝0,恒过定点G（,0）； （Ⅲ）由已知直线过点T（1,0）,设l的方程为：x＝my+1,P（x,y）,Q（x',y'）,联立与椭圆的方程整理得：（9+m2）y2+2my﹣8＝0,∴y+y',yy',kSP,同理得kSQ,∴kSP•kSQ,当s＝3时,kSP•kSQ, 当s＝﹣3时,kSP•kSQ,所以存在定点S（±3,0）,使得直线SP与SQ斜率之积为定值． 【点睛】 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系问题,包括椭圆的定义以及直线与椭圆相切与相交求定值的问题,重点是根据题意联立方程得出韦达定理,再表达出对应的关系化简求解的方法等.属于难题. 23.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径）的中心为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为时进行变轨，其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到）． 【答案】 【分析】 根据题意求出轨道方程为，设变轨时，探测器位于，则，结合轨道方程求出，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】 设所求轨道方程为 ．． 于是．所以所求轨道方程为． 设变轨时，探测器位于，则 ． 解方程组，得（由题意）． 所以探测器在变轨时与火星表面的距离为． 所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为. 【点睛】 本题考查了椭圆方程的应用，考查了考生的计算求解能力，属于基础题. 24.某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米．要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）． （1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？ （2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3） 【答案】(1)33.26；(2) 拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米. 【分析】 （1）根据题意，建立坐标系，可得的坐标并设出椭圆的方程，将与点坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为，将代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当且，时，，进而分析可得答案． 【详解】 （1）如图建立直角坐标系，则点，椭圆方程为． 将与点坐标代入椭圆方程，得，此时此时 因此隧道的拱宽约为33.26米； （2）由椭圆方程，根据题意，将代入方程可得． 因为即且，，所以当取最小值时， 有，得，此时，故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米. 【点睛】 本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题． 25.浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米. （1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程； （2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位） 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据题意得，解方程组即可得解； （2）设，，解得，设出直线方程，由焦点到直线的距离大于半径列不等式求解即可. 【详解】 （1）由条件椭圆C的方程为 （2）设地球由近木星点第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为万米时所在位置为，则 设 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 椭圆的定义和几何性质 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 12 题型归纳 13 题型01：椭圆的定义及应用 13 题型02：求椭圆的标准方程 18 题型03：根据椭圆标准方程求参数 24 题型04：椭圆的简单几何性质 25 题型05：椭圆的焦点三角形问题 27 题型06：点与椭圆的位置关系 32 题型07：与椭圆有关的轨迹问题 33 题型08：椭圆上两点距离的最值问题 36 题型09：椭圆中的距离和差最值 37 题型10：求椭圆的离心率 41 题型11：求椭圆离心率的取值范围 46 题型12：由椭圆离心率求参数 51 题型13: 椭圆的实际应用问题 51 巩固提升 58 一、考什么（核心考点） 1. 椭圆的定义与标准方程 ①第一定义：到两定点距离之和为常数（>焦距） ②标准方程、焦点位置判断、a、b、c 关系 2. 几何性质 ①长轴、短轴、焦距、离心率 ②范围、对称性、顶点、焦点 3. 直线与椭圆的位置关系 ①联立方程、判别式 ②弦长、中点弦、斜率、面积、定点定值问题 二、怎么考（题型与分值） 1.选择/填空：1～2题，求方程、离心率、焦点、弦长中点 2. 解答题：必考1道（圆锥曲线大题），第1问求方程，第2问综合：定点、定值、范围、最值 三、高频考法 1. 利用定义快速求周长、距离和 2. 离心率 e 的计算（最常考） 3. 点差法解决中点弦、斜率问题 4. 直线与椭圆联立：韦达定理 + 弦长 / 面积 / 向量条件 四、备考策略 1.牢记： 2.会快速写标准方程，判断焦点在x轴/y轴 3.掌握联立+韦达定理通用步骤 4.中点弦优先用点差法 一、知识目标 1. 理解椭圆的定义，掌握定义中常数与焦距的大小关系，会用定义判断动点轨迹是否为椭圆。 2. 掌握椭圆标准方程的两种形式，能根据条件正确选择方程、求出 a,b,c。 3. 熟记椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、长轴、短轴、焦距、离心率。 4. 掌握 a,b,c 之间的关系与离心率公式 二、能力目标 1. 能根据定义、几何条件求椭圆方程。 2. 会利用椭圆性质求离心率、焦距、顶点坐标、焦点坐标。 3. 掌握直线与椭圆位置关系的基本方法：联立方程、判别式、韦达定理。 4. 会解决中点弦、弦长、面积、定点定值等典型大题。 三、思想方法目标 1. 体会数形结合思想，用代数方法研究几何图形。 2. 掌握分类讨论（焦点在 x 轴 / y 轴）。 3. 学会转化与化归：把几何条件转化为方程、不等式。 四、应试目标 1. 选择、填空题：快速求方程、离心率、性质，不丢基础分。 2. 解答题：第1问稳拿分，第2问能写出联立、韦达定理、弦长公式等关键步骤，拿到步骤分。 知识点一：椭圆的定义及简单几何性质 （一）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c． 设M为椭圆上任意一点，则有 ①，表示椭圆； ②，表示线段； ③，无图形. （二）椭圆的方程 1. 椭圆的标准方程为： （）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。 注：①以上方程中的大小，其中； ②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。 2.椭圆的参数方程 （1）中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆： 　（为参数）　　（或　） （2）中心在点（,）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 （三）椭圆的性质 1.范 围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里； 2.对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； 3.顶 点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 ，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即； 5.离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。 ∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 知识点二：椭圆的其它定义 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 1.第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集 ，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么： ① 将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得： ② 对②式继续平方，再整理可得： ③ 由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④. 这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④. 2.第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 继续定位到②式，⑥. ⑥式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率. 3.椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 由④式，⑦，⑦式表明椭圆上的点到左右两顶点的斜率之积为一个定值. 实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点（不与重合）到点的斜率之积为一个定值. 证明：设的坐标分别为，，则由于三点均在椭圆上，故满足：，即. 知识点三：平面中轨迹方程的求法 方法一：曲线方程 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 方法二：直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 方法三：定义法 1、椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 2、双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 3、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 方法四：相关点法 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 方法五：交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程. 方法六：参数法 如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法常选变角、变斜率等为参数. 注意：①参数的取值范围影响着方程中和的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性. 方法七：点差法 点差法并不是一种求轨迹的通用方法，而是专门用于解决中点弦、弦中点轨迹等问题的一种技巧.它的核心思想是：当一条直线与曲线相交于两点，并且题目条件与这两个点的中点有关时，我们通过将两个交点坐标代入曲线方程再相减，利用平方差公式和中点公式来化简问题. 对求动点轨迹方程步骤的几点说明： （1）在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单. （2）第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中（或）的取值予以剔除. （3）求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形（曲线的形状），而轨迹方程则是一个方程. 知识点四：椭圆方程的几种求法 一、定义法 　 例：已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1， 　　∴，圆Ｍ外切于圆C2　，　∴， 　　∴， Ｏ Ｍ C2 　　∴　动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆， 　　且， 　　， 　　故所求轨迹方程为：． 　　评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键． 2、 待定系数法 根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0). 　　例：已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程． 分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： ＝１（，进行求解，避免讨论。 解：设所求的椭圆方程为＝１（． ∵椭圆经过两点， ∴　解得　，故所求的椭圆标准方程为． 　 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程． 三、直接法 例：设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段 AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程． 分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解． 解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，）　， 由题意：＝＝，＋＝０ ∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号， ∴=（－）（－）＝ 　　∵ 　 ，即为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换． 四、相关点法 例４　的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程． 分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求． 解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 　　设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点， 　　长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为． 　　　（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是 　　　　∵　Ｇ为的重心　　　∴代入得： 　　　其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点． 　　评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同． 知识点五：平面上任意点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 知识点六：椭圆的焦点三角形 椭圆焦点三角形的一些结论：已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，把△PF1F2称为焦点三角形，则 （1） ； （2）； （3）; （4)若直线PF1交椭圆与另一个点Q，则三角形PQF2的周长 （5）若∠F1PF2＝，则①； ② （6） 性质1：P是椭圆上一点，为椭圆左右焦点， 则， 性质2：是上一点，为双曲线左右焦点，则， 性质3：； 性质4：； 性质5：，当P在短轴顶点时取等 性质6：P是椭圆或双曲线上一点，若该椭圆焦点三角形左右旁心A或双曲线焦点三角形内心A的横坐标为 性质7：焦点三角形的轨迹为，且该椭圆长轴与原椭圆长轴比为原椭圆离心率e. 性质8：P是上除去左右顶点外一点， 的内心轨迹为，且该双曲线实轴与原双曲线实轴比为原双曲线离心率e. 性质9：P是或上一点，若该椭圆的内切圆或双曲线的旁切圆半径为r, 性质10：P是或上一点，若该椭圆的内心A或双曲线旁心A的纵坐标为m, 一：求椭圆方程的固定步骤 1. 定型：看焦点在 x 轴还是 y 轴 2. 列式： ① 已知顶点/焦点 ⇒ 直接写 a,b,c ②已知两点 ⇒ 代入方程解方程组 ③ 已知离心率 + 一个条件 ⇒ 用 与 联立 3. 求解：先求,，再写方程 二：几何性质题通用思路 1. 看到离心率 e ①一律化成：=/=-/ ②再结合题目条件，把 a,b,c 统一成一个变量 2. 看到焦点/顶点 ①直接标出坐标： ②焦点 F( c,0) 或F (0,c) ③长轴顶点 A(a,0)，短轴顶点B (b,0) 3. 看到三角形（焦点三角形） ① 周长：2a+2c ②面积：常用 S=tanθ（θ 为顶角） ③ 必用：定义+ 余弦定理 三:大题通用解题模板（直接套） 1. 设方程：先写椭圆标准式 2. 用定义： 3. 用几何关系：与 4. 联立/列式：把题目条件翻译成等式 5. 化简求解：先求,，再写方程 四:选择题秒杀技巧 1.求方程：先看分母大小，分母大的是 ，定焦点轴 2.求离心率：把条件全部往 a,c 靠拢，消去 b 3.焦点三角形：优先用 定义 + 余弦定理 题型01：椭圆的定义及应用 【典型例题1】已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【答案】A 【解析】根据题目可以得到， 此时就可以根据椭圆的第一定义得到动点P的轨迹是椭圆．故选：A． 【典型例题2】已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（ ） A．6 B．9 C．10 D．18 【答案】A 【解析】由题意可知椭圆：中的长半轴长，设其两焦点分别为， 又因为点是椭圆：上的一点， 所以点到两焦点的距离之和是.故选：A. 【典型例题3】（多选）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 【答案】BCD 【解析】根据题意，得， ①当时，满足椭圆的定义，可得点M的轨迹为以为焦点的椭圆； ②当时，，点M在线段上，点M的轨迹为线段； ③当时，，不存在满足条件的点M． 综上所述，点M的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选：BCD. 【典型例题4】黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法中正确的个数为（ ） ①椭圆是“黄金椭圆； ②若椭圆，的右焦点且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”； ③设椭圆，的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”； ④设椭圆，，的左右顶点分别A，B，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆”； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①，，故是“黄金椭圆”； ②即故，则或（舍），是“黄金椭圆”； ③由可知，化简可知，则或（舍），是“黄金椭圆”； ④若，，成等比数列，则，则，不是“黄金椭圆. 故选：C 【典型例题5】已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 【典型例题6】椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有 个． 【答案】 【分析】先求出椭圆的长轴长，再利用椭圆定义直接分析作答. 【详解】由题意可得，根据椭圆定义，若点到椭圆的一个焦点的距离为6， 则它到椭圆的另一个焦点的距离为， 因为，所以椭圆上点到椭圆的一个焦点的距离为6等价于椭圆上点到椭圆的两个焦点的距离分别为和6， 根据椭圆的对称性，所以这样的点共有4个. 故答案为：. 【变式训练1-1】椭圆上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（ ） A．4 B．6 C．8 D．2 【变式训练1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式训练1-5】设、，条件甲：，条件乙：，则条件甲是条件乙的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-6】在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是 （ ） 【变式训练1-7】过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　) A．2 B．4 C．8 D．2 【变式训练1-8】已知点，,是直线上任意一点，以为焦点的椭圆过点，记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是 A．与一一对应 B．函数是增函数 C．函数无最小值，有最大值 D．函数有最小值，无最大值 【变式训练1-9】已知动圆M过定点A(－3,0)并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 【变式训练1-10】能够把椭圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-11】如图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　) A．35 B．30 C．25 D．20 【变式训练1-12】(多选题)下列说法中错误的是(　　) A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 【变式训练1-13】已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则 ． 【变式训练1-14】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【变式训练1-15】椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【变式训练1-16】已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________． 【变式训练1-17】已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________． 【变式训练1-18】一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．对于下列命题： ①椭圆是黄金椭圆； ②若椭圆是黄金椭圆，则； ③在中，，且点在以为焦点的黄金椭圆上，则的周长为； ④过黄金椭圆的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于两点，则 ； ⑤设是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不存在． 其中所有正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上） 题型02：求椭圆的标准方程 【典型例题1】已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为线段的中点，且，所以， 又椭圆的离心率， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为.故选：B. 【典型例题2】与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为， 设所求椭圆的长半轴长为，则， 故所求椭圆的标准方程为.故选：B. 【典型例题3】若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为动点满足关系式， 所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12， 而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，即，又，， 所以动点M的轨迹方程为.故选：C. 【典型例题4】已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义及题目条件求出a、b、c即可得解． 【详解】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a， 已知该和为，故，得， 椭圆焦距为2c，已知焦距为，故，得， 由椭圆中，可得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：C． 【典型例题5】已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上．若的面积最大为12，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可知当在轴上时的面积最大，从而可求出，再结合可求出，从而可求出椭圆的标准方程. 【详解】如图，当在轴上时的面积最大，所以，所以． 又，所以， 所以椭圆的标准方程为． 故答案为：    【典型例题6】焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆：离心率相同，且，在第一象限内公共点的横坐标为1，则的方程 【答案】 【解析】椭圆中，，故椭圆的离心率为， 中，令得， 故，在第一象限内公共点的坐标为， 设，将代入可得， 又，解得，， 故答案为：. 【典型例题7】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； (2)经过点，离心率为，焦点在x轴上； (3)经过两点，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可； (2)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可； (3)若椭圆过两点坐标，可把标准方程设为的形式，再把两点坐标代入求解即可. 【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为：， 所以由题设有：，解得， 故椭圆的标准方程为：. （2）根据题意可设椭圆的标准方程为：， 所以由题设有：，解得， 故椭圆的标准方程为：. （3）根据题意可设椭圆的标准方程为：， 所以由题设有：，解得， 故椭圆的标准方程为：. 【变式训练2-1】中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（） A． B． C． D． 【变式训练2-6】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 【变式训练2-7】已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 【变式训练2-8】已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若且线段的长为，则该椭圆方程为（） A． B． C． D． 【变式训练2-9】设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为(　　) A．9，12　　　　　　　　 B.8，11 C．8，12 D．10，12 【变式训练2-10】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 【变式训练2-11】已知、为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为16，椭圆离心率，则椭圆的方程为(　　) A． B． C． D． 【变式训练2-12】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4； (2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 【变式训练2-13】已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程． 【变式训练2-14】求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； （2）经过两点，． 题型03：根据椭圆标准方程求参数 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【典型例题1】若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程表示椭圆， 则，解得.故选：B 【典型例题2】已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】将曲线C的方程化为， 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，即， 而“”不能推出“”；“”可以推出“”， 故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：A. 【典型例题3】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义建立关于的不等式，求解即得. 【详解】依题意,可得时，解得. 故选：A. 【变式训练3-1】方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-4】“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-5】（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】（多选）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A．若曲线为双曲线，则或 B．若曲线为椭圆，则 C．曲线可能是圆 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 【变式训练3-7】已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 . 【变式训练3-8】已知椭圆，其中． （1）求满足条件的椭圆的个数； （2）如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数． 题型04：椭圆的简单几何性质 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 【典型例题1】已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（   ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆的一个焦点为，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义与性质计算即可. 【详解】由题意可知，又，所以. 故选：A 【典型例题3】已知椭圆，则该椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程确定焦点坐标即可. 【详解】由椭圆方程知，，且焦点在轴上，则，故焦点坐标为. 故选：C 【变式训练4-1】椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知椭圆，分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中错误的是（ ） A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为 C．点到原点的距离的最大值为 D．椭圆的离心率为 【变式训练4-3】曲线与曲线的（ ）. A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【变式训练4-4】曲线与曲线的（    ）. A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【变式训练4-5】若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆，该卫星近地点离地面的距离为 km，远地点离地面的距离为km，地球的半径为km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-6】（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 【变式训练4-7】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若为等腰三角形，则点的坐标为 ． 【变式训练4-8】已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程． 题型05椭圆的焦点三角形问题 P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c) 【典型例题1】已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ） A．20 B．16 C．18 D．14 【答案】C 【解析】根据椭圆方程可知， 根据椭圆的定义可知，的周长为，故选：C 【典型例题2】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，可得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 【典型例题3】已知椭圆 的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，当的 面积最大时，内切圆半径为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆 ，得，，，则，， 当的面积最大时，为椭圆的短轴的一个顶点，不妨设为上顶点， 点为坐标原点，内切圆半径为， 则 ，，， 则， 即，解得 .故选：D. 【典型例题4】已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（    ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D. 【详解】由题意知，，，， 由椭圆的定义知，，， ∴的周长为，即A正确； 将代入椭圆方程得，解得， ∴的面积为，即B正确； 设的内切圆的半径为r，则， 即，∴，即C正确； 不妨取，则，， ∴的面积为， 即，∴， 由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误， 故选:D.    【典型例题5】已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A.    【典型例题6】（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】如下图所示，设切点为，，， 对于A，由椭圆的方程知：， 由椭圆的定义可得：， 易知，所以， 所以，故A正确； 对于BCD，， 又因为，解得：， 又因为为上一点且在第一象限， 所以，解得：，故B正确； 从而，所以， 所以，而，所以，故C错误； 从而，故D正确.故选:ABD． 【变式训练5-1】已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式训练5-3】若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（    ） A．4 B．8 C． D． 【变式训练5-4】已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练5-6】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【变式训练5-7】设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-8】已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式训练5-9】（多选），为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-10】（多选）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练5-11】已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ． 【变式训练5-12】已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【变式训练5-13】已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求： （1）椭圆的标准方程 （2）的面积． 题型06：点与椭圆的位置关系 【典型例题】点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【答案】D 【解析】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程 左边为＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1， 因此点P在椭圆外．故选:D. 【变式训练6-1】若点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【变式训练6-2】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 题型07：与椭圆有关的轨迹问题 【典型例题1】古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【解析】由题意得，整理得：， 所以点的轨迹为椭圆．故选：B． 【典型例题2】已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆内切半径关系可得： ，根据椭圆的定义可得点的轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故长半轴，半焦距 ,则短半轴   点轨迹方程为. 故选：C. 【典型例题3】已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得，设，结合，，得到，代入得到点的轨迹方程． 【详解】设，由已知得，，则，即， 所以， 设，因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以，因此，即， 所以点的轨迹方程为． 故选：A. 【典型例题4】已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，结合已知有，再由及向量共线的坐标表示有，联立即可得轨迹. 【详解】设，，由，可得①． 设，由于点在线段上，且，即， 所以，可得，即， 代入①式，可得，整理得. 故选：A 【变式训练7-1】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-6】若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且，则动点M的轨迹方程是 . 【变式训练7-7】已知圆，圆．若动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆的圆心C的轨迹方程． 【变式训练7-8】在中，，边上的两条中线之和为39，求的重心的轨迹方程. 【变式训练7-9】椭圆上有动点P，点，分别是椭圆的左、右焦点，求的重心M的轨迹方程. 题型08： 椭圆上两点距离的最值问题 【典型例题1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 【典型例题2】已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．长轴长为2 C．离心率 D．最大值为 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程及其性质判断各项的正误. 【详解】由椭圆标准方程为，则， 所以焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，且最大值为. 故选：D 【典型例题3】已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由得，，问题转化为求，结合图象可知当点为椭圆的右顶点时，有最小值，计算，得到. 【详解】椭圆中，.    如图，由得， ∴， ∴当取最小值时，最小. 由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，， ∴. 故选：C. 【变式训练8-1】椭圆上的动点到其左焦点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式训练8-2】已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练8-4】已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型09：椭圆中的距离和差最值 【典型例题1】已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 【典型例题3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】    如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 【典型例题4】设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A 【变式训练9-1】已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式训练9-2】已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式训练9-3】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 【变式训练9-4】（多选）已知点，P为椭圆上的动点，则的（ ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【变式训练9-5】已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ） A．3 B．6 C． D． 【变式训练9-6】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【变式训练9-7】已知F是椭圆C：的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆E：上任意一点，则的最小值 . 题型10：求椭圆的离心率 【典型例题1】已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆经过点为，则，解得， 故椭圆的标准方程为， 所以，，，则， 因此，椭圆的离心率为.故选：A. 【典型例题2】已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： 设，因为，所以. 又因为，所以，即. 因为，所以. 因为，所以. 在中，，解得， 即，所以，即. 所以，.故选：B 【典型例题3】，是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 . 【答案】 【解析】因为， 所以，则是的角平分线，所以， 又因为，所以，设， 由椭圆定义得，即，解得， 则，则， 所以，则. 【典型例题4】设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】如图，设，则，. 又由椭圆定义可得. 则在中，由余弦定理可得: . 则， 则在由余弦定理可得： . 又. 【典型例题5】已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点坐标求得点坐标，然后代入椭圆的方程，化简求得椭圆的离心率. 【详解】由令，得， 由于与轴平行，且在第一象限，所以. 由于， 所以， 即，将点坐标代入椭圆的方程得， ， ， 所以离心率. 故选：B    【典型例题6】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可. 【详解】设，易知， 则，， 又， 所以. 故选：C 【变式训练10-1】已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】已知，是椭圆：的左右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-6】如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）    A． B． C． D． 【变式训练10-7】已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-9】已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-10】设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-11】已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-12】已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-13】已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-14】已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为 ． 【变式训练10-15】已知椭圆的左､右焦点为，点在椭圆上，分别延长，交椭圆于点，且，则线段的长为 ，椭圆的离心率为 . 题型11：求椭圆离心率的取值范围 【典型例题1】已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以，即，，， 所以，即， 又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．故选：A． 【典型例题2】已知点P是椭圆C： 上动点，点A是椭圆C的上顶点．当P为下顶点时，取到最大值，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意， ，设 ，因为 ， ， 所以 ， ，因为当 时， 取得最大值，所以 ， 可得 ，即 . 【典型例题3】设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，设， 因为，所以， 又，， 所以， 因为，则， 当时，取得最小值，即， 即，所以， 即椭圆的离心率为.故选：D. 【典型例题4】设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即FA⊥FB， 所以四边形为矩形，所以， 设，， 在中，，，，可得， 所以，令，得． 又，得，所以，所以， 结合，所以，所以，所以， 即椭圆C的离心率的取值范围为，故选：B． 【典型例题5】已知圆与椭圆 ，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，且，根据题意问题化为保证时，进而得到关于椭圆参数的不等式，结合椭圆离心率范围及求法确定离心率的取值范围. 【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，    若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大， 所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近； 在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为， 所以，保证时，即， 由题意及图知：，故，而， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 【变式训练11-1】已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-4】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练11-5】已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-6】椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-7】椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-8】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-9】已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-10】已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-12】已知椭圆上存在两点，到点的距离相等，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-13】椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-14】若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 . 【变式训练11-15】已知椭圆的左、右焦点分别为、，半焦距为，是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，若存在以为半径的圆内切于（的面积满足），则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【变式训练11-16】已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是 ． 【变式训练11-17】已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为 . 题型12：由椭圆离心率求参数 【典型例题】已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先判断焦点在轴上，根据离心率求出，即可得解. 【详解】依题意，，即，则的焦点在轴上， 因此，所以，故的短轴长为. 故选：B． 【变式训练12-1】已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（   ） A． B． C．或4 D．或4 【变式训练12-2】已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【变式训练12-3】已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 题型13:椭圆的实际应用问题 【典型例题1】2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 【典型例题2】某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 【典型例题3】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【典型例题4】如图，在边长为10的正方形内有一个椭圆，某同学用随机模拟的方法求椭圆的面积．若在正方形内随机产生2000个点，并记录落在椭圆区域内的点的个数有680个，则椭圆区域的面积约为（ ） A．34 B．66 C．68 D．132 【答案】A 【解析】设椭圆区域的面积为． 由题知，正方形的面积， 若在正方形内随机产生2000个点，并已录落在椭圆区域内的点的个数有680个，则满足， 解得． 故选：A. 【典型例题5】如图，正方形ABCD内接于椭圆，正方形EFGH和正方形UHK中的顶点E、H、I在椭圆上，顶点K、H、G在边AB上，顶点J在边HE上，已知正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为4：1求正方形UHK与正方形EFGH的面积比（精确到0.001). 【答案】0.144:1 【解析】设椭圆的方程为正方形ABCD的边长为2m.则 于是， -消去得. -消去得. 于是，椭圆的方程可以写为 设正方形UHK的边长为t.则. 将点的坐标代入式得， 即解得（负值舍去）. 于是，正方形UHK的面积为 故正方形IJHK与正方形EFGH的面积比为0.144:1. 【变式训练13-1】如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【变式训练13-3】2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（） A．0.32 B．0.48 C．0.68 D．0.82 【变式训练13-4】某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（　　） A．r+RB．r+RC．r+R D．r+R 【变式训练13-5】椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练13-6】天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，，其中为中心天体质量，为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米，取，则冥王星的公转周期约为（） A．157年 B．220年 C．248年 D．256年 【变式训练13-7】已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（） A． B． C． D． 【变式训练13-8】（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a、2c，下列结论正确的是（） A．卫星向径的取值范围是[a-c，a+c] B．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【变式训练13-9】（多选）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是（） A． B． C． D． 【变式训练13-10】（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（） A． B． C． D． 【变式训练13-11】如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______. 【变式训练13-12】某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是__________ 米． 【变式训练13-13】某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是　　. 一、单项选择题： 1.已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是（ ） A． B． C． D． 2.已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3.椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 4.已知椭圆的左､右焦点分别为､，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（　　） A．14 B．13 C．12 D．10 6.设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8.已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题： 9.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，两点都在上，且，关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ） A．的最大值为 B．为定值 C．的焦距是短轴长的2倍 D．存在点，使得 10.在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有（ ） A．恒过点 B．若恒过的焦点，则 C．对任意实数，与总有两个互异公共点，则 D．若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点 11.伟大的古希腊哲学家､百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程可以为 B. 若，则 C. 存在点，使得 D. 的最小值为 12.椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为 C. 过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为 D. 的最小值为 三、填空题： 13.已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为______． 14.设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率是______． 15.已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为_________________. 16.已知椭圆，，，斜率为的直线与C交于P，Q两点，若直线与的斜率之积为，且为钝角，则k的取值范围为 ． 四、解答题 17．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求证：． 18．已知中心在原点，左焦点为的椭圆的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆：，椭圆：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆．已知是椭圆的3倍相似椭圆，若直线与两椭圆、交于四点（依次为、、、），且，试研究动点的轨迹方程． 19．已知椭圆：，若椭圆：，则称椭圆与椭圆 “相似”. （1）求经过点，且与椭圆： “相似”的椭圆的方程； （2）若，椭圆的离心率为，在椭圆上，过的直线交椭圆于，两点，且. ①若的坐标为，且，求直线的方程； ②若直线，的斜率之积为，求实数的值. 20.设椭圆：（）,左、右焦点分别是、且,以为圆心,3为半径的圆与以为圆心,1为半径的圆相交于椭圆上的点 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆：,为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点 ①求的值； ②令,求的面积的最大值. 21．以椭圆的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆C及其“伴随”的方程； （2）过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记为坐标原点）的面积为，将表示为m的函数，并求的最大值． 22.阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）；光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）．试结合，上述事实现象完成下列问题： （Ⅰ）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出．经过球桌边缘的反射（假设球的反射充全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）； （Ⅱ）结论：椭圆上任点P（x0，y0）处的切线的方程为．记椭圆C的方程为C：，在直线x＝4上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B．求证：直线lAB恒过定点： （Ⅲ）过点T（1，0）的直线l（直线l斜率不为0）与椭圆C：交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在，请说明理由． 23.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径）的中心为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为时进行变轨，其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到）． 24.某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米．要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）． （1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？ （2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3） 25.浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米. （1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程； （2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位） 1 学科网（北京）股份有限公司 $