课时分层评价6 等差数列的前n项和的性质及应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价6　等差数列的前n项和的性质及应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.(2024·九省适应性测试)记等差数列的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　) A.120 B.140 C.160 D.180 答案：C 解析：因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8＝160.故选C. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝8，S6＝48，则S8＝(　　) A.80 B.72 C.68 D.64 答案：A 解析：设{an}的公差为d，则则S8＝8a1＋28d＝80.故选A. 3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 答案：B 解析：因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ＝an2＋bn，所以λ＝－1.故选B. 4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 013＝S2 018，Sk＝S2 005，则正整数k为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 答案：D 解析：因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 013＝S2 018，Sk＝S2 005，可得＝，解得k＝2 026.故选D. 5.等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案：C 解析：因为S奇数项＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶数项＝a2＋a4＋…＋a2n＝120，所以S奇数项－S偶数项＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12，所以S2n＋1＝S奇数项＋S偶数项＝252＝＝(2n＋1)an＋1＝12(2n＋1)，解得n＝10.故选C. 6.(多选题)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5＜S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是(　　) A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 答案：ABD 解析：因为S5＜S6＝S7＞S8，所以a6＞0，a7＝0，a8＜0.所以d＜0.所以S6与S7均为Sn的最大值.S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＜0，所以S9＜S5，故C错误.故选ABD. 7.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为　　　　. 答案：2A 解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时也满足，所以d＝2A. 8.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＋＝　　　　. 答案： 解析：因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝. 9.在等差数列{an}中，a1＝－2 030，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 030＝　　　　. 答案：－2 030 解析：由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列，设其公差为d，则由－＝2，可得2d＝2，即d＝1.又＝－2 030，所以＝＋2 029d＝－2 030＋2 029＝－1，所以S2 030＝－2 030. 10.(13分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＋a12＝3，a7·a10＝－18，且Sn有最大值. (1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值； (2)求Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，由Sn有最大值得d＜0， 则数列{an}是递减数列， 因为a5＋a12＝a7＋a10＝3，a7·a10＝－18， 解得a7＝6，a10＝－3或a7＝－3，a10＝6(舍去)， 则a1＋6d＝6，a1＋9d＝－3，解得d＝－3，a1＝24， 所以an＝24＋(n－1)×(－3)＝－3n＋27. 令an＝－3n＋27＝0，得n＝9， 则当n＝9时，an＝0；当n＞9时，an＜0， 所以(Sn)max＝S8＝S9＝9×24＋×(－3)＝108. (2)由(1)可得Sn＝24n＋×(－3) ＝－n2＋n， 当n≤9时，Tn＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n. 当n＞9时，Tn＝a1＋a2＋…＋a9－(a10＋a11＋…＋an)＝－Sn＋2S9 ＝－＋2×108＝n2－n＋216. 综上可得，Tn＝n∈N＋. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.(多选题)数列{an}是递增的等差数列，前n项和为Sn，满足a2＝4a5，则下列选项正确的是(　　) A.a1＜0 B.a6＜0 C.S2＝S9 D.Sn＞0时，n的最小值为11 答案：AC 解析：设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，因为a2＝4a5，则a1＋d＝4，可得a1＝－5d＜0，故A正确；a6＝a1＋5d＝0，故B错误；S9－S2＝a3＋a4＋…＋a9＝＝7a6＝0，则S2＝S9，故C正确；Sn＝na1＋＝－5dn＋＝＞0，因为n∈N＋，所以n≥12，即当Sn＞0时，n的最小值为12，故D错误.故选AC. 12.已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若S10＝0，则Si(i＝1，2，3，…，2 026)中不同的数值有　　　　个. 答案：2 022 解析：已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，由S10＝10a1＋d＝0，得a1＝－d，故Sn＝na1＋d＝n·＋d＝(n2－10n)，Sn是关于n的二次函数，则对称轴为n＝5，所以S1＝S9，S2＝S8，S3＝S7，S4＝S6，有四组数相同，则Si(i＝1，2，3，…，2 026)中不同的数值有2 026－4＝2 022(个). 13.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N＋)，则＋＝　　　　. 答案： 解析：设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，则＝＝，＝＝，所以＋＝＋＝. 14.(15分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若不等式Sn＞t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， S5＝5·＝5a3＝－55， 所以a3＝－11， 所以d＝＝＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17，n∈N＋. (2)由(1)知，an＝2n－17， 所以Sn＝＝＝n(n－16)＝(n－8)2－64， 所以(Sn)min＝－64. Sn＞t对任意n∈N＋恒成立等价于(Sn)min＞t， 即－64＞t. 所以t∈(－∞，－64). 15.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N＋，均有S5≤Sn成立，则的取值范围是(　　) A.[2，3] B.[3，＋∞) C.(－∞，－3)∪[3，＋∞) D.(－∞，－3]∪[3，＋∞) 答案：A 解析：设等差数列{an}的公差为d，由Sn＝na1＋d＝n2＋n，又任意n∈N＋均有S5≤Sn成立，所以⇒＝＝＝1＋，而1≤＋6≤2，则∈[2，3].故选A. 16.(17分)在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意得 所以{an}的通项公式为an＝(n∈N＋). (2)由(1)知bn＝. 当n＝1，2，3时，1≤＜2，bn＝1； 当n＝4，5时，2≤＜3，bn＝2； 当n＝6，7，8时，3≤＜4，bn＝3； 当n＝9，10时，4≤＜5，bn＝4. 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 学生用书⬇第24页 学科网（北京）股份有限公司 $