课时分层评价5 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价5　等差数列的前n项和公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于(　　) A.27 B. C.45 D.－9 答案：A 解析：由已知得数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，所以S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.故选A. 2.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于(　　) A.10 B.15 C.20 D.30 答案：C 解析：因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍去).故选C. 3.在等差数列{an}中，S10＝4S5，公差d≠0，则等于(　　) A. B.2 C. D.4 答案：A 解析：由题意得10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，所以10a1＝5d，所以＝.故选A. 4.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　) A.765 B.665 C.763 D.663 答案：B 解析：由题意知a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7＜100，所以n＜15，所以n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.故选B. 5.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案：B 解析：由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n为8.故选B. 6.(数学文化)(多选题)我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的有(　　) A.d＝15 B.此人第三天行走了一百二十里 C.此人前七天共行走了九百里 D.此人前八天共行走了一千零八十里 答案：BD 解析：设此人第n天走an里，则数列{an}是公差为d的等差数列.记数列{an}的前n项和为Sn，由题意可得解得d＝10，所以a3＝a1＋2d＝120，S7＝7a1＋d＝910，S8＝8a1＋d＝1 080，故选BD. 7.已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋5n，则an＝　　　　. 答案：－4n＋7 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋5n－[－2(n－1)2＋5(n－1)]＝－4n＋7，当n＝1时，a1＝3也适合an＝－4n＋7.综上，an＝－4n＋7. 8.在等差数列{an}中，前五项之和为10，最后五项之和为90，前n项之和为180，则项数n＝　　　　. 答案：18 解析：因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝10，an＋an－1＋＋＋＝90，所以(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(an＋an－1＋＋＋)＝100，所以5(a1＋an)＝100，即a1＋an＝20.因为a1＋a2＋…＋an－1＋an＝＝＝180，所以n＝18. 9.(新情境)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为　　　　. 答案： 解析：设5个数从小到大排列所成的等差数列为{an}，公差为d，则＝a1＋a2，S5＝100，所以 10.(13分)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn. (1)设Sk＝2 550，求a和k的值； (2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值. 解：(1)由已知得，2×4＝a－1＋2a，解得a＝3，所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝2. 因为Sk＝2 550，所以2k＋×2＝2 550，即k2＋k－2 550＝0， 解得k＝50或k＝－51(舍去)，所以a＝3，k＝50. (2)由(1)知，Sn＝2n＋×2＝n2＋n，bn＝＝＝n＋1. 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， 所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点(含起始站与终点站)数一共有(　　) A.18个 B.19个 C.21个 D.22个 答案：B 解析：由题意设前两站的距离为a1千米，第二站与第三站之间的距离为a2千米，…，第n站与第n＋1站之间的距离为an千米，则{an}是等差数列，且首项a1＝2，公差d＝0.1，则Sn＝2n＋×0.1＝51.3，解得n＝18，则站点数一共有19个.故选B. 12.(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是(　　) 答案：ABC 解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A、B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.故选ABC. 13.风雨桥(如图①所示)是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，…，AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，其中B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N＋.已知该风雨桥亭共5层，若A0B0＝8 m，B0B1＝0.5 m，则图②中的五个正六边形的周长总和为　　　　. 答案：210 m 解析：由已知得AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn(n≤4且n∈N＋)，B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝0.5 m，易知图②中五个正六边形的边长(单位：m)构成以a1＝8为首项，d＝－0.5为公差的等差数列.设数列的前5项和为S5，则S5＝5a1＋×5×4×d＝5×8－×5×4×0.5＝35，所以图②中的五个正六边形的周长总和为6S5＝6×35＝210 m. 14.(15分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由a2a4＝65，a1＋a5＝18， 得 所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3. (2)由(1)得Sn＝·n＝n(2n－1). 假设存在常数k，使得数列为等差数列， 则，，成等差数列， 所以2＝＋， 即2＝＋，解得k＝1， 可得＝＝n. 当n≥2时，n－(n－1)＝为常数， 所以数列为等差数列， 故存在常数k＝1，使得数列为等差数列. 15.(5分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝，则a2 026＝(　　) A.4 047 B.4 049 C.4 051 D.4 053 答案：C 解析：因为4Sn＝(an＋1)2①，所以当n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2②，①－②得4an＝－＋2an－2an－1，2(an＋an－1)＝(an＋an－1)(an－an－1).因为an＞0，所以an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2.又当n＝1时，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列，则an＝2n－1，所以a2 026＝2×2 026－1＝4 051.故选C. 16.(17分)某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 解：设最下面一层放n根，则最多可堆n层， 则1＋2＋3＋…＋n＝≥600， 所以n2＋n－1 200≥0，记f(n)＝n2＋n－1 200. 因为当n∈N＋时，f(n)单调递增， 而f(35)＝60＞0，f(34)＝－10＜0， 所以n≥35，因此最下面一层最少放35根. 因为1＋2＋3＋…＋35＝630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层. 故最下面一层放35根，共堆了28层. 学生用书⬇第21页 学科网（北京）股份有限公司 $