1.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的性质及应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

第2课时　等差数列的前n项和的性质及应用 　 第一章　§2　2.2　等差数列的前n项和 学习目标 1.理解等差数列前n项和的性质并学会运用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.　 2.能够利用等差数列前n项和的函数特征求其前n项和的最值，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　等差数列的前n项和的性质 1 任务二　等差数列前n项和的函数性质与最值 2 任务三　数列{｜an｜}的前n项和 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　等差数列的前n项和的性质 返回 问题1.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，前2n项和为S2n，前3n项和为S3n，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n之间的关系. 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样发现S3n＝3Sn＋3n2d，可以发现S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 问题导思 问题2.公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，前2n项和为S2n，则奇数项和S奇与偶数项和S偶分别如何表示？若项数为2n＋1呢？ 提示：①若数列共有2n项， 则S2n＝＝n(an＋an＋1)， S奇＝＝nan，S偶＝＝nan＋1. ②若数列有2n＋1项， 则S2n＋1＝＝(2n＋1)an＋1， S奇＝＝ ＝(n＋1)an＋1， S偶＝＝＝nan＋1. 问题3.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则是等差数列吗？ 提示：由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)，所以数列是以a1为首项，以为公差的等差数列. 1.等差数列前n项和的性质(m，n∈N＋) 若数列{an}是公差为d的等差数列，前n项和为Sn，则数列也是等差数列，且公差为. 2.“片段和”性质 若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项和、前2m项和、前3m项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为_____. 3.“比值”性质 设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 新知构建 m2d 4.“奇偶项”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S2n＝______________，S偶－S奇＝____，＝(S奇≠0). (2)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝______________(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝_________，＝(S奇≠0). n(an＋an＋1) nd (2n＋1)an＋1 －an＋1 (1)上述性质可用于小题，大题中要先证再用.(2)性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列，不能误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列. 微提醒 (1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为 A.130 B.170 C.210 D.260 √ 典例 1 利用等差数列前n项和的性质S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.故 选C. (2)若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝______. ＝＝＝＝＝＝. (3)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝_______. 2 由 所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2. 1.在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. 2.在解题过程中，如果等差数列前n项和Sn的有关性质运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. 3.设而不求，整体代换也是很方便的解题方法. 规律方法 对点练1.(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为 A.9 B.12 C.16 D.17 √ 由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝b5＝9.故选A. (2)(2024·江苏镇江高二期中)已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝ －2 024，－＝6，则S2 026＝__________. 2 026 由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 025d＝－2 024＋2 025＝1，所以S2 026＝1×2 026＝2 026. (3)若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝______. ＝＝＝ ＝＝. 返回 任务二　等差数列前n项和的函数性质与最值 返回 问题4.根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？ 提示：由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N＋，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通常简记为Sn＝An2＋Bn(A，B∈R). 问题导思 等差数列前n项和的函数性质与最值 1.等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d可化成关于n的函数得Sn＝______________. 2.因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有______值；当d＜0时，Sn有______值；且n取最接近对称轴的非零自然数时，Sn取到最值. 新知构建 n2＋(a1－)n 最小 最大 3.在等差数列{an}中，当a1＞0，d＜0时，Sn有______值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1＜0，d＞0时，Sn有______值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. 最大 最小 在求等差数列前n项和的最值中，Sn取得最大或最小值时的n唯一吗？是否也一定在顶点处取到呢？ 提示：由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一(例如对点练2在n＝4或n＝5时取最小值)，同时也不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取到最值. 微思考 (一题多解)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值. 解：法一：因为S8＝S18，a1＝25， 所以8×25＋d＝18×25＋d，解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 典例 2 法二：同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 由 又因为n∈N＋， 所以当n＝13时，S13＝13×25＋×(－2) ＝169，Sn有最大值为169. 法三：因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1＞0，所以d＜0. 所以a13＞0，a14＜0. 所以当n＝13时，Sn有最大值. 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0， 解得d＝－2， 所以S13＝13×25＋×(－2)＝169， 所以Sn的最大值为169. 法四：设Sn＝An2＋Bn. 因为S8＝S18，a1＝25， 所以借助二次函数图象知对称轴为n＝＝13，且开口方向向下， 所以当n＝13时，Sn取得最大值. 由题意得 所以Sn＝－n2＋26n， 所以S13＝169， 即Sn的最大值为169. 变式探究 (变条件，变设问)本例改为在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S16，则当n＝______时，Sn取得最大值. 13 由Sn＝An2＋Bn为二次函数具有对称性，S10＝S16，对称轴为n＝＝13，故S13最大. 求等差数列前n项和的最值的方法 1.二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加 直观. 2.通项法：当a1＞0，d＜0，时，Sn取得最大值；当a1＜0，d＞0，时，Sn取得最小值. 规律方法 对点练2.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn为数列的前n项和. (1)求Sn； 解：设数列{an}的公差为d. 依题意有 所以Sn＝na1＋d ＝－2n＋＝. (2)求Tn及Tn的最小值. 解：法一：由(1)知Sn＝， 所以＝. 设bn＝＝， 则bn＋1－bn＝－＝， 所以数列{bn}是公差为的等差数列， 首项b1＝＝－2. 所以Tn＝－2n＋×＝ ＝－. 所以当n＝4或n＝5时，(Tn)min＝－5. 法二：易知bn＝，Tn＝. 由解得4≤n≤5. 故Tn的最小值为T4＝T5＝－5. 返回 任务三　数列{｜an｜}的前n项和 返回 已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋7n，bn＝｜an｜. (1)求数列{an}的通项公式； 解：因为数列{an}的前n项和为 Sn＝－2n2＋7n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝－2＋7＝5； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋7n－[－2(n－1)2＋7(n－1)]＝－4n＋9， 显然，当n＝1时，a1＝5满足an＝－4n＋9. 所以an＝－4n＋9. 典例 3 (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由(1)知bn＝｜an｜＝｜－4n＋9｜. 因为n＝1，2时，an＞0，当n≥3时，an＜0， 所以当n≤2时，Tn＝Sn＝－2n2＋7n. 当n≥3时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Tn＝a1＋a2－a3－…－an，② 所以①＋②得Tn＋Sn＝2S2＝12. 因为Sn＝－2n2＋7n， 所以Tn＝12－Sn＝2n2－7n＋12. 所以Tn＝ 数列{｜an｜}的前n项和的三种类型的求解策略 1.等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{｜an｜}就等于数列{an}，可以直接求解. 2.等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理. 3.等差数列{an}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理. 规律方法 对点练3.(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； 解：设等差数列的公差为d， 由题意可得 即 所以an＝13－2(n－1)＝15－2n. (2)求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解：因为Sn＝＝14n－n2， 令an＝15－2n＞0，解得n＜，且n∈N*， 当n≤7时，则an＞0，可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2； 当n≥8时，则an＜0，可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an) ＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2×(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98； 综上所述，Tn＝ [教材拓展3]　几何图形中的等差数列(源于教材P15－实例分析) (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第10个图中小正方形的个数为____. 66 由图知：各图对应正方形个数为a1＝3，a2＝6，a3＝10，a4＝15，a5＝21，… 所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，a5－a4＝6，…，an－an－1＝n＋1， 故an－a1＝3＋4＋5＋6＋…＋n＋1＝，则an＝＋3，所以a10＝＋3＝66. 典例 4 (2)将边长分别为1，2，3，…，n，…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为f，f，f，…，f，…，则f＝__________，前n个阴影部分图形的面积和为__________. 4n－1 2n2＋n 由图形可知：f(1)＝22－12＝3，f(2)＝42－32＝7，f(3)＝62－52＝11，…，所以f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)成等差数列，首项为3，公差为4，故f(n)＝3＋4(n－1)＝4n－1.由等差数列前n项和公式可得f＋f＋f＋…＋f(n)＝＝＝n(2n＋1)＝2n2＋n. 返回 课堂小结 任务 再现 1.等差数列前n项和的性质.2.等差数列前n项和的最值问题.3.数列{｜an｜}的前n项和 方法 提炼 公式法、构造法、函数法、整体代换法 易错 警示 忽视最值问题中n的个数；等差数列前n项和性质应用的前提：数列是等差数列 随堂评价 返回 1.设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为 A.4 B.5 C.4或5 D.5或6 √ 由≤n≤，故n＝4.故选A. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于 A.63 B.45 C.36 D.27 √ 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.故选B. 3.设Sn是等差数列{an}的前n项和.若＝，则＝ A. B. C.2 D.3 √ 因为＝，所以＝＝＝×＝3.故选D. 4.已知一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为______. 5 记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇.由已知条件，得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 返回 课时分层评价 返回 1.(2024·九省适应性测试)记等差数列的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝ A.120 B.140 C.160 D.180 √ 因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8＝160.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝8，S6＝48，则S8＝ A.80 B.72 C.68 D.64 √ 设{an}的公差为d，则则S8＝8a1＋28d＝80.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是 A.－2 B.－1 C.0 D.1 √ 因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ＝an2＋bn，所以λ＝－1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 013＝S2 018，Sk＝S2 005，则正整数k为 A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 √ 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 013＝S2 018，Sk＝S2 005，可得＝，解得k＝2 026.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于 A.6 B.8 C.10 D.12 √ 因为S奇数项＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶数项＝a2＋a4＋…＋a2n＝120，所以S奇数项－S偶数项＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12，所以S2n＋1＝S奇数项＋S偶数项＝252＝＝(2n＋1)an＋1＝12(2n＋1)，解得n＝10.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5＜S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是 A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 √ √ √ 因为S5＜S6＝S7＞S8，所以a6＞0，a7＝0，a8＜0.所以d＜0.所以S6与S7均为Sn的最大值.S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＜0，所以S9＜S5，故C错误.故选ABD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为______. 2A 数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时也满足，所以d＝2A. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＋＝______. 因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.在等差数列{an}中，a1＝－2 030，其前n项和为Sn，若－＝2，则 S2 030＝__________. －2 030 由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列，设其公差为d，则由－＝2，可得2d＝2，即d＝1.又＝－2 030，所以＝＋2 029d＝－2 030＋2 029＝－1，所以S2 030＝－2 030. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＋a12＝3，a7·a10＝－18，且Sn有最大值. (1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值； 解：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，由Sn有最大值得d＜0， 则数列{an}是递减数列， 因为a5＋a12＝a7＋a10＝3，a7·a10＝－18， 解得a7＝6，a10＝－3或a7＝－3，a10＝6(舍去)， 则a1＋6d＝6，a1＋9d＝－3，解得d＝－3，a1＝24， 所以an＝24＋(n－1)×(－3)＝－3n＋27. 令an＝－3n＋27＝0，得n＝9， 则当n＝9时，an＝0；当n＞9时，an＜0， 所以(Sn)max＝S8＝S9＝9×24＋×(－3)＝108. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)求Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜. 解：由(1)可得Sn＝24n＋×(－3) ＝－n2＋n， 当n≤9时，Tn＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n. 当n＞9时，Tn＝a1＋a2＋…＋a9－(a10＋a11＋…＋an)＝－Sn＋2S9 ＝－＋2×108＝n2－n＋216. 综上可得，Tn＝n∈N＋. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)数列{an}是递增的等差数列，前n项和为Sn，满足a2＝4a5，则下列选项正确的是 A.a1＜0 B.a6＜0 C.S2＝S9 D.Sn＞0时，n的最小值为11 √ √ 设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，因为a2＝4a5，则a1＋d＝4，可得a1＝－5d＜0，故A正确；a6＝a1＋5d＝0，故B错误；S9－S2＝a3＋a4＋…＋a9＝＝7a6＝0，则S2＝S9，故C正确；Sn＝na1＋＝－5dn＋＝＞0，因为n∈N＋，所以n≥12，即当Sn＞0时，n的最小值为12，故D错误.故选AC. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若S10＝0，则Si(i＝1，2，3，…，2 026)中不同的数值有_______个. 2 022 已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，由S10＝10a1＋d＝0，得a1＝－d，故Sn＝na1＋d＝n·＋d＝(n2－10n)，Sn是关于n的二次函数，则对称轴为n＝5，所以S1＝S9，S2＝S8，S3＝S7，S4＝S6，有四组数相同，则Si(i＝1，2，3，…，2 026)中不同的数值有2 026－4＝2 022(个). 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N＋)，则＋＝______. 设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，则＝＝，＝＝，所以＋＝＋＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55. (1)求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d， S5＝5·＝5a3＝－55， 所以a3＝－11， 所以d＝＝＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17，n∈N＋. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若不等式Sn＞t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围. 解：由(1)知，an＝2n－17， 所以Sn＝＝＝n(n－16)＝(n－8)2－64， 所以(Sn)min＝－64. Sn＞t对任意n∈N＋恒成立等价于(Sn)min＞t， 即－64＞t. 所以t∈(－∞，－64). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N＋，均有S5≤Sn成立，则的取值范围是 A.[2，3] B.[3，＋∞) C.(－∞，－3)∪[3，＋∞) D.(－∞，－3]∪[3，＋∞) √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设等差数列{an}的公差为d，由Sn＝na1＋d＝n2＋n，又任意n∈N＋均有S5≤Sn成立，所以⇒＝＝＝1＋，而1≤＋6≤2，则∈[2，3].故选A. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式； 解：设数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意得 所以{an}的通项公式为an＝(n∈N＋). 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解：由(1)知bn＝. 当n＝1，2，3时，1≤＜2，bn＝1； 当n＝4，5时，2≤＜3，bn＝2； 当n＝6，7，8时，3≤＜4，bn＝3； 当n＝9，10时，4≤＜5，bn＝4. 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第2课时　等差数列的前n项和的性质及应用 返回 $