选择性必修第二册综合检测2-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

选择性必修第二册综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知数列，…，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 【答案】C 【解析】由题知数列通项公式，再解方程即可得答案. 【详解】解：由题意知，数列的通项公式为 ， 令，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查根据通项公式判断数列中的项，考查运算能力，是基础题. 2．（24-25高一下·河北沧州·月考）若两个等差数列的前n项和分别为，，且满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质以及前项和公式即可求解. 【详解】 ， 又因为， 所以. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式、等差数列的性质，需熟记公式，属于基础题. 3．（2025·福建泉州·一模）已知为等差数列的前项和，若，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式计算作答. 【详解】依题意，，解得，而，则公差，于是得， 则，数列的通项公式为，显然数列是等差数列， 所以数列的前项和为. 故选：C 4．（24-25高二下·河南平顶山·期末）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，由函数在区间上是增函数，可得在区间上恒成立，结合二次函数的性质即可求得答案. 【详解】由题意得，， 因为函数在区间上是增函数， 故在区间上恒成立， 故 或 ， 解得 或 或 ，则 ， 故选：C 5．（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知数列是等比数列，以下四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是等比数列； ②是等比数列； ③是等比数列； ④是等比数列. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的定义分别检验各选项即可判断． 【详解】由题意得，当时，，， 当时，，故是等比数列； 当时，，故是等比数列； 当时，，故是等比数列； 当时，时，显然不符合等比数列． 故选：B 6．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由递推公式可得为常数列，可得，，由放缩法和裂项相消可得的取值范围，可得结果． 【详解】当时，， ， ，则为常数列， ， ，， 又时，， ， 又易得，即， . 故选：D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数求出函数在区间上的最大值为，再对的符号分类讨论函数在上的单调性，得出可解出实数的取值范围． 【详解】当时，，则． 当时，；当时，． 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即． 当时，函数在上单调递增，由题意可知，， 得，解得，此时，； 当时，且当时，合乎题意； 当时，函数在上单调递减，此时，，合乎题意． 综上所述，实数的取值范围是， 故选：D 8．（24-25高三上·湖北黄冈·期中）已知函数有两个极值点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求解函数的极值，可得，代入可得，构造函数，利用导数求解函数在区间上的单调性即可求解. 【详解】解：由题意的定义域为， ∴； ∵有两个极值点，∴有两个不同的正实根， ∵，且， ∴，∴． 令，其中，则． 当时，，∴在区间上单调递增． ∴． 故. 故选：D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间有（   ） A． B．(0，1) C．(2，＋∞) D． 【答案】AC 【分析】利用导数求得的单调递增区间. 【详解】的定义域为， ， 所以在区间递增. 故选：AC 10．（24-25高二下·山东日照·期中）已知正项数列满足：，是的前项和，则下列四个命题中正确的是（    ） A． B． C． D．是递增数列 【答案】ABC 【分析】对于A，根据和迭代可得结果，对于B，由于，结合化简即可，对于C，由已知可得，…，，相加化简即可，对于D，举例判断 【详解】对于A，由已知得，故A正确； 对于B， ，由 ，，…，，，…；得 ，故，故B正确； 对于C，由A知，，…，，所以 故C正确； 对于D，若是等比数列且，则是常数列，故D错误， 故选：ABC. 11．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数有两个极值点 B．若关于的方程恰有1个解，则或 C．函数的图像与直线可能有2个交点 D．若，且，则存在最小值 【答案】ABD 【分析】化简函数，作出图像，根据图像分析选项A，.根据方程根与零点关系结合图像即可分析选项B，由图像交点的条件及图像分析构造函数，利用函数导数分析即可得选项C，选项D结合条件利用构造函数对函数求导，利用导数分析即可求得的最小值. 【详解】由函数， 可得， 则函数的图像如图所示： 对于A选项，由图可知，和是函数的两个极 值点，故A正确； 对于B选项，若函数恰有1个零点， 即函数与的图像仅有一个交点，可得或， 故B正确； 对于C选项，因为函数在点处的切线为， 函数在处的切线为， 如图中虚线所示，易知当，即时， 的图像与直线恰有一个交点； 当，即时， 令，得， 令， 则， 由二次函数的图像及零点存在定理可知， 方程有且只有一个实数根； 当，即时， 令， 设， 则（仅当时取等号）， 即函数在上单调递增， 由于， ， 所以函数有且仅有一个实数根； 故C错误. 对于D选项，由， 则， 则， 设， 则， 设， 所以 当时，， 所以在上单调递增， 且，所以存在， 使，且当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以存在最小值， 故D正确； 故选：ABD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则数列中落在区间内的项的个数是 ． 【答案】3 【分析】判断数列的单调性，结合解不等式求得n的值，即可得答案. 【详解】因为函数在R上单调递减， 由题意，可知数列为单调递减数列， 令，则，即， 则n取，故数列中落在区间内的项的个数是3， 故答案为：3 13．（25-26高二·黑龙江双鸭山·月考）已知函数的定义域，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题； ①函数的值域为； ②函数在上是减函数； ③如果当时，最大值是，那么的最大值为； ④当时，函数最多有4个零点. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】因为的导函数的图象如图所示，观察函数图象可知，在区间内，，所以函数上单调递增，在区间内，，所以函数上单调递减，所以②是正确的；两个极大值点，结合图象可知：函数在定义域，在处极大值，在处极大值，在处极大值，又因为，所以的最大值是，最小值为，所以①是正确的；当时，的最大值是，那么，所以③错误；求函数的零点，可得，结合图象可知，当时，函数最多有4个零点，所以④正确. 考点：函数的综合问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到利用函数的导数研究函数的单调性，利用导数研究函数极值与最值、函数的零点的判定，以及函数的图象等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用，本题的解答中导数与函数的关系，作出函数的图象是解答的关键，试题比较繁琐，属于中档试题. 14．（24-25高三下·河北衡水·月考）已知等差数列，，，且，，，则 .；若数列的前n项和，则正整数的最小值为 . 【答案】 # 【分析】根据题意求得，得到，进而得到，得出中所有的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，所有的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，求得，，得到，结合，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，，，所以数列的公差为， 所以，即， 当时，， 两式作差得， 即在数列中，所有的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列， 所有的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列， 又由数列是等差数列，所以数列的公差为2，则， 又因为，解得，所以， 所以，所以，即，即，又由为正整数，解得，，即正整数n的最小值为6. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数 的图像在处的切线斜率为，且 时， 有极值. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）由题得①，②，解方程组即得解； （2）令解得或，再列表得解. 【详解】（1）解：求导得， 因为在出的切线斜率为，则，即① 因为时， 有极值，则.即② 由①②联立得 ，所以. （2）解：由（1），令解得或， 列表如下： 极大值 极小值 所以，在［－3，2］上的最大值为，最小值为. 16．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）若数列的前项和为，且满足：，等差数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据等比数列的定义可求出数列的通项公式，再根据等差数列基本量的计算可求出数列的通项公式； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）由可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，又，，所以公差，即 ． （2）因为，所以， ∴， ∴ ． ∴． 17．（25-26高三上·江苏连云港·期中）设数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和为. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据，结合等比数列通项公式运算处理；（2）利用累加法，结合等比数列求和运算整理；（3）利用错位相减法进行求和． 【详解】(1)当时，，所以 当时，且 所以得： 则数列是以1为首项，为公比的等比数列， 数列的通项公式是． (2) 由且，则， 则：，，，…,， 以上个等式叠加得： 则：＝2－，又 所以： （3）因为， 所以…….. ① ……..② 得: ∴ 18．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系把转化成关于的递推公式，再构造等比数列可得答案； （2）利用分组求和可得答案； （3）由（2）可得到，利用单调性可得到其最值，即得答案. 【详解】（1）由 ，当 时，，解得 ； 当 时，， 整理得 ， 即 故数列 是首项为 、公比为 的等比数列， 所以 因此 （2）由 . ， （3）由（2）知， 由，知 易知 单调递减， 所以， 而 单调递增，所以， ， 只需， 即. 故 的取值范围是 . 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调递增区间． (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求解函数单调性，利用辅助角公式化简导数，再根据正弦函数性质即可得解. （2）将不等式恒成立问题转化为对任意的恒成立，构造新函数，根据新函数的导数判断其单调性，分情况讨论即可得解. 【详解】（1）时，， 令， ，. 则的单调递增区间为：. （2）， 则时，恒成立， 等价于时，恒成立. 令，则 令，则， 即在上单调递增，且，则,即. 当时， ，则在上单调递增. 又，则时，.即时恒成立. 当时，， 则存在，使得在上恒成立，故在上单调递减， 则不符题意. 综上可知，当，恒成立时，. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 选择性必修第二册综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知数列，…，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 2．（24-25高一下·河北沧州·月考）若两个等差数列的前n项和分别为，，且满足，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（2025·福建泉州·一模）已知为等差数列的前项和，若，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南平顶山·期末）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知数列是等比数列，以下四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是等比数列； ②是等比数列； ③是等比数列； ④是等比数列. A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖北黄冈·期中）已知函数有两个极值点，且，则（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间有（   ） A． B．(0，1) C．(2，＋∞) D． 10．（24-25高二下·山东日照·期中）已知正项数列满足：，是的前项和，则下列四个命题中正确的是（    ） A． B． C． D．是递增数列 11．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数有两个极值点 B．若关于的方程恰有1个解，则或 C．函数的图像与直线可能有2个交点 D．若，且，则存在最小值 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则数列中落在区间内的项的个数是 ． 13．（25-26高二·黑龙江双鸭山·月考）已知函数的定义域，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题； ①函数的值域为； ②函数在上是减函数； ③如果当时，最大值是，那么的最大值为； ④当时，函数最多有4个零点. 其中正确命题的序号是 . 14．（24-25高三下·河北衡水·月考）已知等差数列，，，且，，，则 .；若数列的前n项和，则正整数的最小值为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数 的图像在处的切线斜率为，且 时， 有极值. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值. 16．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）若数列的前项和为，且满足：，等差数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（25-26高三上·江苏连云港·期中）设数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和为. 18．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调递增区间． (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $