专题25 离散型随机变量的分布列、期望和方差-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

专题25 离散型随机变量的分布列、期望和方差 考向1分布列的性质、正态分布 :考向2二项分布、超几何分布 1.(2025·天津卷，5分)已知r为相关系数，则下1.(2025·天津卷，5分)小桐操场跑圈，一周2 列说法中错误的是 ( 次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概 A.若X~N(4,o2),则P(X≤4-o)=P(x≥ 率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈 十o) 的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6.若第一次 B.若X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X<1) 跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈 <P(Y<2) 的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为 C.r越接近1，线性相关性越强 ;若一周至少跑11圈为运动量达标，则连 D.r越接近0，线性相关性越弱 续跑4周，记达标周数为X,则期望E(X)= 2.(2024·新课标I卷，6分)随着“一带一路”国 际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶2.(2022·浙江卷T15)现有7张卡片，分别写上 叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万： 数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取 元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口 3张，记所抽取卡片上数字最小值为，则 后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2= P(ξ=2)= ,E()= 0.01.已知该种植区以往的亩收人X服从正态3.(2025·全国卷Ⅱ，17分)甲、乙两人进行乒乓 分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入： 球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每 Y服从正态分布N(x,s2),则（若随机变量Z服 个球甲胜的概率为p合<]，乙胜的概率 从正态分布V(4,o2),则P(Z<4十o)≈0.8413) 为q,p十q=1,且各球的胜负相互独立，对正整 ( 数k≥2，记为打完k个球后甲比乙至少多得 A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 2分的概率，q为打完k个球后乙比甲至少多得 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 2分的概率， 3.(2025·全国卷I,5分)有5个相同的球，分别 (1)求p3,p4(用p表示)； 标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3 次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取 (2)若4 2=4,求 94-9 出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)= (3)证明：对任意正整数m,p2m+1一q2m+1< p2m一92mp2m+2一92m+2· 4.(2025·上海卷，4分)己知随机变量X的分布 5 6 7】 为 ,则期望E(X)= 0.20.30.5 5.(2022·新高考Ⅱ卷T13)已知随机变量X服从 正态分布N(2,o2),且P(2<X≤2.5)=0.36， 则P(X>2.5)= 6.(2021·浙江卷，6分)袋中有4个红球，m个黄 球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红 球数为，若取出的两个球都是红球的概率为 日一红一黄的概率为3，则m一1= E()= 80 考向3离散型随机变量的期望、方差 (1)若p=0.4,g=0.5,甲参加第一阶段比赛， (2022·全国甲（理）T19)甲、乙两个学校进行 求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. 体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 (2)假设0<p<q 10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结 (1)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的 束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在 概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8， (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期 各项目的比赛结果相互独立. 望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列 拟 与期望， r 2.(2024·北京卷，13分)某保险公司为了解该公 司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限 届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理 挺 这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 考向4离散型随机变量的期望、方差的应用 索赔次数 0 2 1.(2024·新课标Ⅱ卷，17分)某投篮比赛分为两 保单份数 800 100 % 30 0 装 个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔 规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔 3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成 时，保险公司赔偿0.6万元 绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶 假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估 尔 段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每 计概率. 次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛 (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； 成绩为第二阶段的得分总和. (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费 问 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中 与赔偿总金额之差， 的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中 (ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学 与否相互独立. ! 期望EX; 81 (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索：4.(2021·新高考卷I,12分)某学校组织“一带 赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下： 一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比 一份保单毛利润的数学期望估计值与（「）中 赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机 EX估计值的大小.（结论不要求证明） 抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛 结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽 取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比 赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得 20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答 正确得80分，否则得0分 己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8， 能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确 回答问题的概率与回答次序无关 (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累 计得分，求X的分布列； 3.(2022·北京卷T18)在校运会上，只有甲、乙、 (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回 丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 答哪类问题？并说明理由、 9.50m(含9.50m)以上的同学获优秀奖.为预 测优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以 往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m) 甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40， 9.35,9.30,9.25 乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23 丙：9.85,9.65,9.20,9.16 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩 相互独立. (1)估计甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的 概率； (2)设x是甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获得 优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX; (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠 军的概率估计值最大？（结论不要求证明）》 82专题25离散型随机变量的分布列、期望和方差 考向1分布列的性质、正态分布 1,B[正态曲线十样本相关系数A(/)由正态曲线的对称性可知】 P(X≤4-o)=P(X≥a十o). 错误项分析B(×)若X~N(1,22),Y~N(2,22)则P(X<1)= P(Y<2)=2 C(√)D(√)根据人教A版选择性必修第三册(2020年3月第1！ 版)第99页内容可知样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对！ 样本数据之间线性相关的程度，当|越接近1时，成对样本敦据的！ 线性相关程度越强：当|越接近0时，成对样本数据的线性相关程 度越弱.门 2.BC[正态分布（理性思雏、数学探索、教学应用） 数形结合法由题意可知，X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)< P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413，所以P(X>2)<P(X≥ 1.9)=1-P(X<1.9)1-0.8413=0.15870.2,所以A错误， B正确.因为Y-N(2.1,0.12),所以P(Y<2.2)≈0.8413，P(Y> 2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)= P(Y2.2)-P(Y2.1)≈0.8413-0.5=0.3413，所以P(Y2)= P(2Y2.1)十P(Y≥2.1)≈0.3413十0.5=0.8413>0.8，所以C1 正确，D错误.综上，选BC.] 3号[离散型随款变量的分布列和数学期望十着列与组合 X的所有可能取位为123，则P(X=1)=C(兮)=亮六 px=-e(付)广x6-器号Px=)=×(付)x6 铝一是所以水的分车到为 X 1 2 3 P 1 2 25 所以BX)=1×店+2×号+3×号器] 4,6.3[随机变量的数学期望E(X)=5×0.2十6×0.3十7×0.5 =6.3.] 5.0.14[本题考查正态分布，体现了数学运算的核心素养.由题意 可知P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X 2.5)=0.5-0.36=0.14.] 6.1》[由题意可得，P(g=2) 12 1 C++,(4+m+n)(3十m+m=6' 化简得(m十n)2十7(m十n)-60=0,得m十n= 5(m十n=一12舍去).又取出的两个球为一红一黄的概率P= CC=4m=子，解得m=3,故n=2.所以m一n=1.易知的所 C号+m+n36 有可能取值为0,1,2，且P(2)日Pg=DCC-号 =-0-是-高所E8=0x意+1x号+2x吉-号】 考向2二项分布、超几何分布 1.0.63.2[相互独立事件的概率十二项分布小桐一周跑11圈 的概率P=0.5×0.6十0.5×0.6=0.6.小桐一周运动量达标的概 率p=1一0.5×0.4=0.8，显然X服从二项分布B(4,0.8),故 E(X)=4×0.8=3.2.] 2号号[从写有数字1,2.23.456的7张卡片中任取3张共 有C种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有 C+cCS#,所以PE2)St8C, C 由已知可得的取值有1,2,3,4， pr=)-3=0 p=》号-斋PE=g 11 16 所以=1×票+2×铝+3×亮+4×六-号故答案为： 3 35 °兴] ,二项分布十递推思想十不等式的性质 解(1)打完3个球后甲比乙至少多得2分，只有一种情况：甲全胜 得3分.所以p=p, 打完4个球后甲比乙至少多得2分，有两种情况：甲全胜得4分：甲 胜3个球得3分，乙胜1个球得1分.所以1=p十C·p3(1一) =p3(4-3p). (2)由(1)可知p1-p=b3(4-3p)-p3=3p3(1一p), 【考虑每个球甲胜的概率力和每个球乙胜的概率g是对等的，所以 可直接类比得出q1一9】 同理91-9=3q(1一9)=3(1-p). 由1色=4.可得D1=4,即3b2-8p+4=0,解得p= 91-93 3p(1-p)3 号成力=2（含. 2 所以p= (③)由号<1，p十g=1,可知0<g<分<p1. 设随机变量X为“打完k个球后甲的得分”，则X一B(k,p), 【打完2m个球后甲比乙至少多得2分，包括：甲得2m分，乙得0 分：甲得2m-1分，乙得1分：…：甲得m十2分，乙得m-2分： 甲得m十1分，乙得m一1分】 p2m=b2m十C2m·p2m-1g+C8m·b2m-2g2十…+Cgn1· pml gm 【p2m的表达式比较复杂且不易化简，如果继续计算巾2m+1,巾m+2, 92m等，会使问题更加复杂.注意到要证巾2m+1一9m+1<p2m一9m, 即证gn一9m+1<p2m一p2m+1,所以考虑寻求力m+1与力2m的递推 关系，同理也可得到92m+1与92的递推关系，达到简化计算的目 的】 对于p2m+1,考虑前2m个球的情况.若打完2m个球后，甲、乙得分 一样，或者甲比乙得分少，则第2十1个球无论甲胜负，甲都不可 能比乙至少多得2分.若打完2m个球后，甲比乙至少多得4分，则 第2m十1个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分，若打完 2m个球后，甲比乙恰好多得2分，则第2m十1个球甲必须胜才能 满足甲比乙至少多得2分.所以2m+1=(p2m一C1·bm+1q”-1) 十p·Cn1·pm+lg”-1=pm-qCgm1·pm+lq"-1 故p2m一p2m+1=q·Cgn1·bm+1q”-1>0, 同理92m一92m+1=力·Cm1·g0+1pm-1>0. 所以m一m土1=g·C2n1·pm+1g”-1 g2n9pn+1p·C.+pmTg>1】 即p2m一p2m+1>qn一92m+1,所以p2m+1一92m+1<p2n一g2m 【要证p2m一92m<p2m+2一92n+2,即证92n+2一92n<p2m+2一p2m,所 以考虑寻求p2m+2与p2n的递推关系，同理也可得到q2m+2与q2m的 递推关系】 对于p2m+2,考虑前2m个球的情况，若打完2m个球后，甲比乙得 分少，则剩下两个球（第2m十1和2m十2个球）无论甲胜负，甲都不 可能比乙至少多得2分.若打完2个球后，甲、乙得分一样，则剩 下两个球甲必须全胜才能满足甲比乙至少多得2分，若打完2个 球后，甲比乙恰好多得2分，则剩下两个球甲全胜，或者一胜一负都 能满足甲比乙至少多得2分.若打完2m个球后，甲比乙至少多得4 分，则剩下两个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分， 所以p2m+2=p2·Cn·p"qm十(1-q)·Cm1·pm+1gm-1十（p2m -Cgn1·pm+1gm-1) =p2m十b2·Cn·p"gm一g·Cgn1·pm+1gm-1 =p2m十b"gm·(C2n·p2-Cn1·g) 故p2m+2一p2m=p"qm·(Cgn·p2-Cgm1·pq), 同理g2m+2一92n=q”pm·(Cn·q2-Cn1·9p), 所以（p2m+2-p2n）-（q2n+2-92n)=p”gm·Cn·（p2-q2)>0, 即p2m+2一p2m>g2m+2一92m, 所以p2m一92m<p2m+2一92m+2 综上，p2n+1-92m+1<pm一92m<P2m+2一92m+2 考向3离散型随机变量的期望、方差 解(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学 校获得冠军的概率为 P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =0.5×0.4×0.8十0.5×0.4×0.8十0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2 =0.16十0.16十0.24十0.04=0.6. (2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以， P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2= 0.44, P(X=20)=0.5×0.6×0.8十0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2= 0.34, P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06. 即X的分布列为 X 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望E(X)=0×0.16十10×0.44十20×0.34十30×0.06=13. 考向4离散型随机变量的期望、方差的应用 1.相互独立事件的概率十分布列与数学期望 解(1)第1步：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率 设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”， 则P(A1)=1-(1-0.4)3=0.784. 第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的概率 设A2=“乙在第二阶段至少得5分”， 则P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875. 第3步：计算甲、乙所在队的比赛成绩不等于5分的概率 设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分” 则P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686. (2)(1)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分 的概率 设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲，则 Pp=[1-(1-p)3]·g=g3·(3-3p十p2). 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P七， 则P元=[1-(1-q)3]·p3=qp3·(3-3q十g). 第3步：比较P甲与P的大小 则P甲-P:=pg(3g-3pg十p2g-3p2十3pq-pq)=3g(g p)·(p十q-pq), 由0<p<g1,得g-p>0,p十q-pg=p十q(1-p)>0, 所以P甲一P之>0，即P甲>P之 第4步：做决策 故应该由甲参加第一阶段比赛」 (ⅱ)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩 的数学期望 若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能 取值为0,5,10,15. P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-g)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]·C·g·(1-g)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]·C号·g·(1-g), P(X=15)=[1-(1-p)3]·C3g, 所以E(X)=[1-(1-p)]·[15g(1-g)2+30g2(1-g)十15g3]= [1-(1-p)3]·15g=15pg(p2-3p+3). 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数 学期望 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能 取值为0,5,10,15. 同理，可得E(Y)=15g(g-3g+3) 第3步：比较E(X)与E(Y)的大小 E(X)-E(Y)=15g(p2-3p-g2+3g)=15pg·(g-p)·(3 p一q), 由0<p<g≤1，得q-p>0,3-p一g=3-(p十q)0, 所以E(X)-E(Y)>0,即E(X)>E(Y). 第4步：做决策 故应该由甲参加第一阶段比赛， 2.频率估计概率十离散型随机变量的分布列、数学期望（理性思维、 数学探索、数学应用) 解(1)解法一（正面计算）记“随机抽取一份保单，索赔次数不 少于2”为事件A, A 由索赔次数不少于2，知索赔次数为2,3,4， 所以pA)-60十010-180。-0 1000 解法二（反面计算）记“随机抽取一份保单，索赔次致不少于2”为 事件A, 由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算， 则P(A)=1-800+1001 1000=10 (2)(1)由题知X的所有可能取值为0.4，一0.4，一1.2，一2.0， -2.6, 800=0.8, 则p(X=0.4)=1000 100 P(X=-0.4)=100=0.1, 60 P(X=-1.2)=1000=0.06, P(X=-2.0=88 =0.03, 10 P(X=-2.6)=1000=0.01, 故EX=0.4×0.8-0.4×0.1-1.2×0.06-2.0×0.03-2.6× 0.01=0.122. (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加 20%,这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(1)中EX 估计值大 证明如下： 设调整保费后一份保单的毛利润（单位：万元）为Y,则 对于索赔次数为0的保单，Y=0.4×(1一4%)=0.384， 对于索赔次数为1的保单，Y=0.4×(1十20%)一0.8=一0.32， 对于索赔次数为2的保单，Y=-0.32-0.8=一1.12， 对于索赔次数为3的保单，Y=一1.12一0.8=一1.92， 对于索赔次数为4的保单，Y=-1.92-0.6=-2.52, 故EY=0.384×0.8-0.32×0.1-1.12×0.06-1.92×0.03 2.52×0.01=0.1252. 所以EX<EY 3.解(1)由题意得： 设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A. 比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上 的有：9.80,9.70,9.55,9.54四个 所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4 (2)X所有可能取值为0,1,2,3. 甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4. 乙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B,则P(B)= 0.5. 丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C,则P(C) 0.5. P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15 P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5 0.4 P(X=2)=0.4×0.5×0.5十0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5= 0.35 P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1 E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4 (3)甲的平均数：(9.80十9.70+9.55十9.54十9.48+9.42十9.40十 9.35+9.30+9.25)×0.1=9.479 乙的平均数：(9.78+9.56十9.51十9.36+9.32十9.23)÷6≈ 9.457 丙的平均数：(9.85十9.65十9.20+9.16)×0.25=9.465 甲的方差：S2=[(9.8-9.479)2十…十(9.25-9.479)2]÷10= 0.172 乙的方差：S2=[(9.78-9.457)2+…十(9.23-9.457)2]÷6 0.0329 丙的方差：S2=[(9.85-9.465)2十…(9.16-9.465)2]÷4=0.086 4.解(1)由题意得，X的所有可能取值为0,20,100， P(X=0)=1-0.8=0.2, P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32, P(X=100)=0.8×0.6=0.48, 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得 E(X)=0×0.2十20×0.32+100×0.48=54.4. 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0,80,100， P(Y=0)=1-0.6=0.4, P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12, P(Y=100)=0.6X0.8=0.48, 所以Y的分布列为 0 80 100 心 0.4 0.120.48 E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6. 因为576>54.4，即E(Y)>E(X),所以为使累计得分的期望最 大，小明应选择先回答B类问题， 专题26复数 考向1复数的概念 1.C[复数乘法十复数概念(1十5i)i=-5十i,其虚部为1.故 选C.] 2.C[复数的模|x=一1-i=√/（一1）2+(-1)=√2，故选C.] 3.D[因为x=1十i,所以x=1-i,所以e十3x=i(1十i)十3(1一i)= 2-2i,所以|ix十3x|=|2-2i|=√22+(-2)2=2√2.故选D.] 4.A[由(1十2i)a十b=2i,得a十2ai十b-2i=0,即(a+b)+(2a 2)i=0,所以g+6,0,解得=1，故选A.] 12a-2=0, 1b=-1. 5.B[a十3i=一1十bi,而a,b为实数，故a=一1，b=3,故选B.] 6.B[由条件可知=3,4=一4-3，所以z=5.] 7.A[2=1+2i,x十a·2+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+ a2,由十+6=0，释85。即812 6=2·故选A.] 8.C[法一因为(1十ai)i=-a十i=3十i,所以一a=3,解得a -3.故选C. 法二因为1十aii=3十i,所以1十ai=3+i-1-3,所以a 1 一3.故选C.」 9.2[(a+2i)(1+i)=a-2+(a十2)i, 因为其实部为0，故a=2.] 考向2复数的几何意义 2√2[复数的运算十复数的模设z=a十bi(a,b∈R),则x=a bi,由22=(2)2，可得(a十i)2=(a-i)2,即a2-b2+2abi=a2-b -2ab,故ab=0.由e≤1可得√a2+6≤1，即a2+b2≤1. 解法一当a=0时，b≤1，x-2-3i|=|-2十(b-3)i|= √4+(b-3)产，此时|z-2-3i|mm=√4+(1-3)严=2V2.当b=0 时，a≤1，|x-2-3i|=|a-2-3i=√/(a-2)2十9，此时|x-2 3 min=√1-2)+9=√0.当a=0,b=0时，lx-2-3il=|-2 -3i=√4十9=√13.综上，|x-2-3il的最小值为2√2. 解法二设复数：在复平面内对应的点的坐标 y↑ 为(x,y),其中x=0(一1≤y1)或y=0(一1 (23) x1),表示两条相交线段.z一2一3表示x在 复平面内对应的点与点(2,3)的距离，作出图形 1 都因路合因知，当：在复平面内对立的点动0。口1立 1)时，|x一2一3|取到最小值，为 √/(0-2)+(1-3)=2√2.] 考向3复数的运算 1,A[复数的四则运算气=宁 =一i,故选A.] 2.C[复数的四则运算（理性思雏、数学探索） 解法-（解方程法）周为产气=1十i,所以&=(e一1)(1+i),即 =。-1十i-i,即i=1十i,所以=1中_1+DD=1一i,故 i(-i) 选C. 1 辨法二（取倒数法）调为子=1十所以片中1} 1-i 2 1-i,故选C.] 3.A「共轭复数的概念十复数的运算（数学应用）因为x=5十i,所 以x=5一i,所以i(:十x)=10i,故选A.] 4.D[复数的四则运算十共轭复数因为x=√2i,所以：=一√2i x·=2,故选D. 知识巩固复数：与其共轭复数：的乘积满足x·z=x2.] 5.C[复数的乘法运算（理性思雏）由题意得，x=i(一1一i)=1-i. 故选C.] 1-i (1-i)2 6.A[因为x=2+2-2(1+i0(1) 一2，所以=2i,所以 2-=-22 =-i.故选A] 7.C[",(a十i)(1-ai)=a十i-a2i-ai=2a十(1-a)i=2,.2a 2且1-a2=0,解得a=1,故选C.] 5(1+)=5(1-i_51i卫=1-i,故选C.] 8.C[由题意知，2+D(2-万)22一 5 9.A[因为(1十3i)(3-i)=3-i十9i-3=6十8i,所以该复数在复 平面内对应的，点为(6,8)，位于第一象限，故选A.] 2+i 2+i 10.B[=1++币-1-1中用 -i(2+i) 一2 =1-2i,所以元=1十2i, 故选B.] 11.C[|2++2|=|2-1-2=11-2i=√5.故选C.] 12.C[e=-1-5i,=(-1+5)(-1-5)=1+3=4. 1-号+做选c] 3 13.D[对原式两边同时乘以i得：x一1=i,即x=1十i,所以x=1 i,则x十z=2.故选D.] 14.D[(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=2-2i+4=6-2i,故 选D.] 15.C[因为x=2-i,所以x(元十i)=(2-i)(2十2i)=6十2i,故 选C.] 1版B会学1+学] -2i 2 17.C[设x=a十bi(a,b∈R),则x=a-bi,代入2(x十)十3(x-)= 4十6i,可得4a十6bi=4十6i,所以a=1,b=1,故x=1十i故选C.] 18.C[法一（转化为复教除法运算）因为1=4十3i,所以=4十31 (4+3i)(-i) i(-i) -一4i-3Y=3-41.故选C 一2 法二（利用复数的代数形式）设x=a十bi(a,b∈R),测由iz=4十 3i,可得ia十i)=4十3i,即-6+ai=4+3i,所以{6=4，即 a=3, 8所以=8线选心 法三（巧用同乘技巧）因为ix=4十3i,所以ix·i=(4十3i)·i,所 以-x=4i一3，所以z=3一4i,故选C.] 2 2·(1+i) 19.D[由题意可得x= 1-i(1-i)(1+i) =1十i,故选D.] 20.√10[复数的模 3+i 13+l=0-√/0.] i 1 21.7一√5i[复敦的乘法运算（理性思维）（√5十i)一（√5一2i) (5)2-2√5i+√5i-22=7-√5i.] 22.2[复数的运算解法一设x=1十bi(b∈R且b≠0)，则x十 =1+bi+1+ 2 =1+i+2(1-) 1+b2 +6,国 =1+,2 为n∈R,所以方=0，得=1，所以m=1 1+2. 2 解法二由十2=m得：-m十2=0，解得=m土√8m 依题意得 =1,解得m=2.] 5+15+14)(2-3)_10-15i+28十42_2+13-=4+i.] 23.4+i[2+3(2+3)(230 13 13 24.3十4i[由复数加法运算法则，结果为3十41.] 2