假期作业15 角的概念的推广及其度量-【快乐假期】2025-2026学年中职高一数学寒假作业（人教版）

快乐假期 假期作业15角的概念的推广及其度量 学然后知不足，教然后知困。 完成日期： 月 日 。[每日一语]人而无信，不知其可也： 知识复盘 一、角的概念 (3)界限角的集合表示 1.角的分类 角的终边的位置 角的集合表示 类型 定义 图示 终边落在x轴的非负半轴上 {aa=k·360°，k∈Z 条射线绕其端点按 终边落在x轴的非正半轴上 {aa=180°+k·360°，k∈Z 正角 方向旋转形 成的角 终边落在x轴上 {aa=k·180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {aa=90°十k·360°，k∈Z 条射线绕其端点按 负角 方向旋转形 终边落在y轴的非正半轴上 {aa=-90°+k·360°，k∈Z 成的角 终边落在y轴上 {aa=90°+k·180°，k∈Z 射线没有做任何旋 {aa=k·90°，k∈Z 零角 终边落在坐标轴上 A(B) 转，始边与终边重合 二、角度制与孤度制 2.终边相同的角 1.角度制 般地，我们有：所有与角α终边相同的 角可以用度为单位进行度量，1度的角等 角，连同角α在内，可构成一个集合 ,即任一与角α终边相同的角，都可 于周角的 这种用度作为单位 以表示成角α与整数个周角的和. 来度量角的单位制叫做角度制， 3.象限角、界限角 2.弧度制 (1)象限角、界限角的概念 (1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 角的终边在第几个象限，就说这个角是 (2)记法：弧度单位用符号rad 第几象限角；如果角的终边在坐标轴 表示，读作弧度.如图在单位 上，那么就认为这个角不属于任何一个 圆O中，AB的长等于1，则 象限，称这个角为界限角 ∠AOB就是1弧度的角. (2)象限角的集合表示 3.弧度数 y本 第二象限角：{ak·360°+ 在半径为r的圆中，弧长为1的弧所对的 90°<a<k.360°+180°， 第一象限角：{alk·360°< k∈Z) <k·360°+90°，k∈Z 圆心角为arad,那么|a= .其 第三象限角：{ak·360°+ 第四象限角：{ak.360°+ 180°<<k.360°+270° 270°<a<k.360°+360°， 中，a的正负由角α的终边的旋转方向决 k∈Z k∈Z} 定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负， ·36· 三022 一般地，正角的弧度数是一个 5.弧度与角度的换算 负角的弧度数是一个 ,零角的 角度化弧度： 弧度化角度 弧度数是 360°=2 mrad 2πrad=360° 4.弧度制建立的意义 、180°=rrad rrad=180° 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合 1°=180 ad≈0.01745rad 1rad=(180=57.30 与实数集之间建立起一一对应的关 6.弧度制下扇形的弧长公式和 R 系，如图 面积公式 0< 如图，设扇形的半径为R,弧 正角 正实数 零角 0 长为1，圆心角为a(0<a<2π)，则扇形的 负角 负实数 弧长公式为l=R,扇形的面积公式为S 素养提升 一、选择题 1.112°30化为弧度是 C.一120化成弧度是-2 A晋 R号 D.T化成角度是30° 6 c 1123 7.2026°角是 ( ) D.1800 A.第一象限角 B.第二象限角 2.受化为角度是 C.第三象限角 D.第四象限角 8.在半径为10cm的圆上，有一条弧的长是 A.60° B.75 5cm,则该弧所对的圆心角（正角）的弧 C.1159 D.135 度数为 ) 3.下列说法中正确的个数是 ( ) ①终边相同的角一定相等；②钝角一定 是第二象限角；③第一象限角可能是负 C. D.2 角；④小于90°的角都是锐角. A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正 4.与一66°终边相同的角是 方形的边长，则这段弧所对的圆周角（正 A.34° B.1049 角)的弧度数为 () C.214 D.294 5.与30°角终边相同的角的集合是( A. B号 A.{0a=·360+看∈z C.2√2 D.√2 10.下列四个结论中，不正确的是（) B.{aa=2kπ+30°，k∈Z A.若角a和角B的终边重合，则a一B= C.{aa=2k·360°+30°，k∈Z} k×360°，k∈Z D.{ea=2kπ+晋，e∈zZ B.若角α和角3的终边关于原点对称， 6.下列转化结果错误的是 则a+3=k×360°+180°，k∈Z C.若角α和角3的终边关于x轴对称， A.150化成弧度是 则a十3=k×360°，k∈Z B.一无化成角度是45° D.若角α和角B的终边关于y轴对称， 4 则a十B=k×360°+180°，k∈Z ·37· 飞壁快乐假瑚 00= 二、填空题 16.已知角的顶点与直角坐标系的原点重 11.已知扇形的圆心角是2rad,其周长为 合，始边与x轴的非负半轴重合，作出 6cm,则扇形的面积为 cm". 下列各角，指出它们是第几象限角，并 12.已知角a的终边在图中阴 指出在0°一360范围内与其终边相同的 影所表示的范围内（不包 角. 30°、130°、 括边界)，那么所有角α形 (1)405°；(2)-45°；(3)495°；(4)-520 成的集合为 13.“密位制”是一种度量角的 方法，我国采用的“密位制”是6000密 位制，即将一个圆周角分为6000等份， 每一个等份是一个密位，那么120密位 等于 弧度 14.终边在直线y=x上的角的集合S= 三、解答题 15.用弧度分别表示终边落在如图所示的 阴影部分内（不包括边界）的角的集合. 本y 本y 225% 609 210230° 0 (1) (2) 快乐驿站oeoo6eooo0oo0o000o 吴文俊 吴文俊(1919年5月12日-2017年5月7日)，1919年5月12日出生于上海，祖 籍浙江嘉兴，数学家，中国科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员，系统 科学研究所名誉所长. 吴文俊的研究工作涉及数学的诸多领域，其主要成就表现在拓扑学和数学机械化 两个领域.他为拓扑学做了奠基性的工作.他的示性类和示嵌类研究被国际数学界称为 “吴公式”，“吴示性类”，“吴示嵌类”，至今仍被国际同行广泛引用. 拓扑的嵌入理论是研究复杂几何体在欧氏空间的实现问题.在吴文俊之前，嵌入理 论只有零散的结果，吴文俊提出了吴示嵌类等一系列拓扑不变量，研究了嵌入理论的核 心，并由此发展了嵌入的统一理论.后来他将关于示嵌类的成果用于电路布线问题，给 出线性图平面嵌入的新判定准则，与以往的判定准则在性质上是完全不同的，是可计算的. 在拓扑学研究中，吴文俊起到了承前启后的作用，极大地推进了拓扑学的发展，引 发了大量的后续研究，他的工作也已经成为拓扑学的经典结果，半个世纪以来一直发挥 着重要作用，在许多数学领域中应用，成为教科书中的定理. ·38·飞壁快乐假明 14.解析：由题意知T,=21℃.令T。=85℃，T= 37℃.得37-21=(85-21)· () ,解得h =8. 令T。=37℃，T=25℃，则25-21=(37-21) :(侵)部=18 答案：16 15.解：(1)因为这种病毒开机时占据内存2KB, 每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍，所以 x分钟后病毒所占内存为y=2+1(x>0). (2)因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机 能够正常使用，所以有2+1≤20，解得x≤57. 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57 分钟. 16解，1)向题房可得：=6n886加 3 =-6(ln3-3ln2)≈-6×(1.1-3×0.7)=6， 故大约经过6min水温降为40℃. (2)由题意可得1.8=-6ln日10 90-10 ln910 =-0.3, 90-10 8 -ln8=-0.3, ln(品-]8n2-0.8*1.8ein2+h3 ln6..0≈70，故经过1.8min水温大约降为 70℃. 假期作业15 知识复盘 一、 1.逆时针 顺时针 2.S={3B=a+k·360°，k∈Z} 二、 1 1.360 3.正数负数0 素养提升 1.A[1230-2罗×0-故连A] 2.B [路-假×1)-15选] 3.B[终边相同的角可以相差360°的整数倍，不 一定相等，①错误；钝角是大于90°且小于180° 的角，一定是第二象限角，②正确；第一象限角 可以是正角，也可以是负角，③正确；小于90°的 角可以是锐角，也可以是负角，④错误.综上，正 确的个数是2，故选B.] ·6 900-= 4.D[与一66°终边相同的角可以写成一66°+ 360°·k的形式，其中k∈Z.令k=1可得，一66 与294°的终边相同，其他选项均不符合题意.故 选D.] 5.D[与30°角终边相同的角a=k·360°+30°，k ∈Z,化为孤度制是a=2k元+石，b∈Z.] 6.B[150化成孤度是，A正确：-平化成角度 4 是-45，B错误：-120化成孤度是-经，C正 确；化成角度是30，D正确，故选B.] 7.C[2026°=5×360°+226°，故2026°角是第三 象限角.故选C.] 8.A[由题意，该孤所对的圆心角（正角）的孤度 数为品=故选A] 9.B[设此圆的半径为r,则正方形的边长为√2r, 所以这段孤所对的圆心角的孤度数为a=r= 则这镜孩所对的园周角的孤度复为票 10.B[A选项，因为a,3终边相同，所以a=B十k ×360°，k∈Z,即a-3=k×360°，k∈Z,故A正 确；B选项，因为180°十a与a是终边关于原，点 对称的两个角，所以角α和角B的终边关于原 点对称，必有a=180°+3+kX360°，k∈Z,即a 一B=k×360°+180°，k∈Z,故B错误；C选项， 因为一a与a是终边关于x轴对称的两个角， 所以角α和角B的终边关于x轴对称，必有3 =-a+k×360°，k∈Z,即a十B=k×360°，k∈ Z,故C正确；D选项，因为180°一a与a是终边 关于y轴对称的两个角，所以3与180°一a的 终边相同，即3=k×360°+180°-a,k∈Z,所 以a十B=k×360°+180°，k∈Z,故D正确.故 选B.] 11.解析：设扇形的圆心角为a,半径为r,则扇形的 周长为er十2r=6,所以7=多cm,所以扇形的 面积S=ar=是(cm). 答案： 12.解析：在0°~360°范围内，终边落在阴影内的 角a满足30°<a<150°或210°<a<330°，所以 所有满足题意的角a的集合为{ak·360°+ 30°<a<k·360°+150°，k∈Z}U{ak·360° +210°<a<k·360°+330°，k∈Z}={a2k· 180°+30°<a<2k·180°+150°，k∈Z}U{a (2k+1)·180°+30°<a<(2k+1)·180°+ 150°，k∈Z}={an·180°+30°<a<n·180 +150°，n∈Z}. 答案：{an·180°+30°<a<n·180°+150°，n ∈Z} 三022 13.解析：由题意知，120密位=120×6000=25 2π (孤度). 答案：无 14.解析：在0°360°范围内，终边在直线y=x上 的角有两个，分别为45°，225°，所以终边在直 线y=x上的角的集合是S={3B=45°+k· 360°，k∈Z}U{33=225°+k·360°，k∈Z}= {33=45°+2k·180°，k∈Z}U{33=45°+ 180°+2k·180°，k∈Z}={33=45°+2k· 180°，k∈Z}U{33=45°+(2k+1)·180°，k∈ Z}={33=45°+k·180°，k∈Z}. 答案：{3B=45°+k·180°，k∈Z. 15.解：(1)225°角的终边可以看作是一135°角的终 边，化为弧度，即-3平，60°角的终边即号的终 边，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的 角的来合为a2kr至<a<2kx十吾，k∈Z (2)与(1)类似可写出终边落在阴影部分内（不 包括边界)的角的集合为a2kr十晋<a<2kr +受k∈ZUa2kx十x+晋<a<2kx十x十 受，k∈Z=akx+吾<a<kx+受，k∈Z. 16.解：作出各角如图所示. 本y 4050 0 459 (1) (2) 495y Ay 0☑ -520° (3) (4) (1)405°角是第一象限角.405°=45°+360°，所 以在0°一360°范围内，与405°角终边相同的角 是45°角. (2)一45°角是第四象限角.一45°=315° 360°，所以在0°~360°范围内，与一45°角终边 相同的角是315°角. (3)495°角是第二象限角.495°=135°+360°， 所以在0°~360°范围内，与495°角终边相同的 角是135°角. (4)一520°角是第三象限角.-520°=200°-2 ×360°，所以在0°~360°范围内，与一520°角终 边相同的角是200°角. ·6 一数学 假期作业16 知识复盘 1￥￥出 3.sin'a+cos'a=1 4.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a -tan a 素养提升 1.D[因为角a的顶，点与坐标原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，点P(1,一3)在角a的终 边上，所以sina= -3 一30.故 √1+(-3)2 10 选D.] 2.B[c0s(-1380°)=cos1380°=cos(360°×4 -60)=c0s60=2J 3.D[结合三角函数的定义可知sin110°>0， os(-60y>0,tan4>0,0s=-<0.故 3 选D.] 4.B[a∈(,且sina= cosa<0,cos 3 .tan a= sin a cos a 至故连B] 5.A[结合三角函数值在各象限的符号可知，A 选项，cos()>0A铸误：B选项，siml 2π sm2-)m(-)0,BE确：C选项， tan556°=tan(360°+196)=tan196°>0，C正 确；D选项，sin321°cos123°=sin(360°-39°) cos123°=sin(-39°)·c0s123>0,D正确，故 选A.] 6.C[sin2025°=sin(5×360°+225)=sin225 白sin180°+45)=-sin45=二2，故A不正 确；c0s2025°=c0s(5×360°+225°)=c0s225 =c0s(180°+45°)=-c0s45°= ,故B不正 2 确；tan2025°=sin2025 2 c0s2025 =1,故C正 2 确；|sin2025 2 2，c0s2025°= 号，故D不正确，故选C