假期作业14 指数函数与对数函数的应用-【快乐假期】2025-2026学年中职高一数学寒假作业（人教版）

三022 高一数学 假期作业14指数函数与对数函数的应用 温故而知新，可以为师矣。 完成日期： 月 日 。[每日一语]过而不改，是谓过矣 知识复盘 1.建立函数模型解决实际问题的基本过程 2.建立函数模型解决实际问题的步骤 某些实际问题提供的变量关系是确定 的，即设自变量为x,因变量为y,它们已 (1)分析和理解实际问题的增长情况(“对 建立了函数模型，我们可以利用该函数 数增长“直线上升”“指数爆炸”等)； 模型得出实际问题的答案.具体基本过 程为： (2)根据增长情况选择函数类型建立函数 实际问题 化归 函数模型 模型，将实际问题转化为数学问题； 运推 (3)求解函数模型； 算理 解释说明 (4)用函数模型描述并解决实际问题， 实际问题的解 函数模型的解 素养提升 一、选择题 3.某学校开展研究学习活动，一组同学获 1.据你估计，一种商品在销售收入不变的 得了下面的一组试验数据： 条件下，其销量y与价格x之间的关系 最可能是下图中的 1.99 3 4 5.1 8 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 如下四个模拟函数，能近似地反映这些 数据的规律的是 2.“红豆生南国，春来 y(枝 A.y=0.58x-0.16 6 发几枝”，如图给出 64 60 B.y=2-3.02 了红豆生长时间x C.y=x2-5.5x+8 (月)与枝数y(枝) 的散点图（直角坐 D.y=log2x 标系中作出(x,y) 4.数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想 对应的点)，那么最 方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘 符合红豆的枝数与 1234567x(月) 0 法和加法运算.已知1g2≈0.3010，lg3≈ 生长时间的关系的函数是 0.4771,设N=81°×95，则N所在的区 A.指数函数y=2 间为 ( B.对数函数y=1og2x C.幂函数y=x A.（101,1012) B.(1012,1013) D.二次函数y=2x C.(1013,1014) D.(1014,1015) ·33· 曼快乐暖期 5.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引 9.如图，某湖泊蓝藻的面积 y/m 入了一种以该昆虫为食物的特殊动物. y(单位：m)与时间t(单 已知该动物的数量y(只)与引入时间x 位：月)的关系满足y= (年)的关系为y=alog2（x十1).若该动 a,则下列说法不正确 6 物在引入一年后的数量为100，则在引入 的是 ( 7年后，它们的数量为 A.蓝藻面积每个月的增 长率为200% A.300 B.400 B.蓝藻每个月增加的面 C.600 D.700 012341月 积都相等 6.复利是一种计算利息的方法，即把前一 C.第4个月时，蓝藻面积就会超过80m 期的利息和本金加在一起算作本金，再 D.若蓝藻面积蔓延到2m2,4m2,8m 计算下一期的利息，我国现行定期储蓄 所经过的时间分别是t1,t2,t,则一定 中的自动转存业务就是类似复利计算的 有2t2=t1十t 储蓄.某人在银行存入本金5万元并办 10.在天文学中，天体的明暗程度可以用星 理了自动转存业务，已知每期利率为p, 等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度 若存m期，本利和为5.4万元，若存n 期，本利和为5.5万元，若存m十n期，则 满足风一风一号会其中星等为心 利息为 ( 的星的亮度为E(k=1,2).已知太阳的 A.5.94万元 B.1.18万元 星等是一26.7，天狼星的星等是一1.45， C.6.18万元 D.0.94万元 则太阳与天狼星的亮度的比值为() 7.韦伯—费希纳定律是表明心理量和物 A.1010.1 B.10.1 理量之间关系的定律，其中心理量和物 C.lg10.1 D.10-10.1 理量之间满足关系式S=lnI+C(其中 二、填空题 S表示心理量，k是常数，I表示物理量， 11.我国古代著名哲学著作《庄子·天下》中有 C是积分常数)，表示的含义是心理量和 这样一段话：“一尺之捶，日取其半，万世不 物理量的对数值成正比.通过研究表明C 竭.”意思是说：“一尺长的棍棒，每天截一 =3,当I=e2时，S=7,若S=3ln3,则I 半，永远截不完”第一天截去后剩下，第 的值大约为（参考数据：e5≈4.48，√5≈ 1.73) 二天截去后剩下子 A.1.07 B.1.16 (1)第五天截去后，剩下 C.1.45 D.2.15 (2)第n天截去后，剩下 8.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭 12.生物学家采集了一些动物体重和脉搏 数量y(只)近似满足y=log(x+1),观 率对应的数据，并经过研究得到体重和 测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计 脉搏率的对数型关系：lnf=lnk一lnW 31 第5年有越冬白鹭(ln2≈0.7，ln3≈1.1) 其中f是脉搏率（心跳次数/min),体重 为W(g),k为正的常数，则体重为400g A.1530只 B.1630只 的豚鼠和体重为3200g的兔子的脉搏 C.1830只 D.1930只 率之比为 ·34… 三0022 高一教学的 13.光线经过一块玻璃，强度损失10%，那 16.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷 么至少经过 块这样的玻璃，光 1 日-8。（1为时间， 线强度能减弱到原来的号以下.(4g3≈ 却模型：d=一·日8 单位：min,0。为环境温度，0，为物体初 0.477,1g2≈0.3) 始温度，0为冷却后温度，单位：℃，k为 14.物体在常温下的温度变化可以用牛顿 常数).假设一杯开水的初始温度0，= 冷却规律来描述：设物体的初始温度是 T。,经过一定时间t(单位：min)后的温 90℃，环境温度0。=10℃，常数k=1 6 度是T则T-T。=(T。-T)2)其 (参考数据：ln2≈0.7,1n3≈1.1) (1)大约经过几分钟水温降为40℃？ 中T。称为环境温度，h为常数.现有一 (2)经过1.8min水温大约降为多少？ 杯用85℃的热水冲的速溶咖啡，放在 21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需 要16min,那么这杯咖啡要从37℃降 到25℃，还需要 min, 三、解答题 15.一种专门占据内存的计算机病毒，能在 短时间内感染大量文件，使每个文件所 占内存都不同程度地加大，造成磁盘空 间的严重浪费.这种病毒开机时占据内 存2KB,每3分钟后病毒所占内存是原 来的2倍.记x分钟后病毒所占内存为 y KB. (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果病毒占据内存不超过1GB(1 GB=21MB,1MB=21°KB),计算机能 够正常使用，求本次开机计算机能正常 使用的时长. 快乐驿站 陈省身 陈省身，1911年10月28日生于浙江嘉兴秀水县，20世纪最伟大的几何学家之一， 生前曾长期任教于美国加州大学伯克利分校(1960年起)、芝加哥大学(1949一1960 年)，并在伯克利建立了美国国家数学科学研究所(MSR). 为了纪念陈省身的卓越贡献，国际数学联盟(IMU)还特别设立了“陈省身奖(Chern edal)”作为国际数学界最高级别的终身成就奖 ·35·三0002 ②)若函数f(x)的定义域是一切实数，则， a>0恒成立. 即a>是成立，由于-∈(-0,0， 2 故只要a≥0，则a的取值范围是[0，十∞). 假期作业14 素养提升 1.C[设销售收入为c,,”销售收入不变，.xy= c(定值)y=故选C.] 2.A[通过图象上点可以发现，在第一象限从左 到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，图 象上的点大致都在函数y=2的图象上，所以 指数函数最符合.] 3.D[根据题中数据画出散点图如图所示. ↑y 3 012345678x 由图可知上述散点大体分布在函数y=log2x的 图象附近，故函数y=log2x可以近似地反映这 些数据的规律.故选D.] 4.C[,N=81"×95, ∴.1gN=lg81"+lg95=lg230+1g3"=30lg2十 101g3≈9.030+4.771=13.801， ∴.N≈1018.801∈(1018,1014).故选C.] 5.A[将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)中， 得100=alog2(1+1),解得a=100, 则y=100log2(x十1)，所以当x=7时 y=100log2(7+1)=300.故选A.] 6.D[由题意可得51十pP)=5.4则51+p)m 5(1+p)"=5.5, ·5(1十p)"=5.4×5.5,即存m+n期，本利和 为5(1十)m+"=5.4×1.1=5.94万元，故若存 m十n期，利息为5.94一5=0.94万元.故 选D.] 7.B[.C=3,当I=e2时，S=7, .7=klne2+3=2k十3，解得k=2, ∴.S=2lnI+3. S=3In 3,..31n 3=21n 1+3, .In 27=In I2+In e =In (e3), 2厘_35≈1.16.故选B.] ∴fe=27…1√=。 8.B[:第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y （只)近似满足y=klog3（x十1)，x=2时，y= 1000, ∴.1000=1og33,解得k=1000. ∴.当x=5时，y=1000l0g36=1000×(l0g33+ 1og,2)=1o00x+h3)16a.] ·6 高一数学) 9.B[由题图可知，函数y=a的图象经过点(1， 3),即a=3,则a=3,y=3,.3+1-3=2× 3不是常数.由y=3可知蓝藻每个月的面积 是上个月面积的3倍，则每个月的增长率为 200%,A正确，B错误；当t=4时，y=3=81> 80,C正确；若蓝藻面积蔓延到2m2,4m2,8m 所经过的时间分别是t1,t2,t3,则31=2,3：= 4,3=8,.(3)2=35·3,则t1十t3=2t2,D 正确.故选B.] 10.A[由题意可设太阳的星等为m2,太阳的亮 度为E2,天狼星的星等为1，天狼星的亮度为 E,则由则-侧=受g后得一267+145 gE=-10.11g E=10.1,E =1010.1.故选A.] 1.解析：1山)第五天藏去后，利下是-记 天后 一尺之 三天后 日取其半~ 四天后 》( (②》第n天我去后，制下品 答案：1 12.解析：当W=400时，1nf,=3n-ln400 a片=in-h40,则f疗- 当W=3200时，lnf,=3lnA-ln3200 3 、3 即1nfg=1nk-n3200,则f月=320， 所以)=8脚-2 答案：2 13.解析：由题意得经过第n块玻璃后，其光线的 强度支为原来的-，由1-品)广< 0 -1g5 -1g2 g高<1g号，可得m>85g3号 g2-1≈15.217.所以n的最小值为16，即 21g3-1 至少经过16块这样的玻璃，光线强度能减弱 到原来的亏以下， 答案：16 飞壁快乐假明 14.解析：由题意知T,=21℃.令T。=85℃，T= 37℃.得37-21=(85-21)· () ,解得h =8. 令T。=37℃，T=25℃，则25-21=(37-21) :(侵)部=18 答案：16 15.解：(1)因为这种病毒开机时占据内存2KB, 每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍，所以 x分钟后病毒所占内存为y=2+1(x>0). (2)因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机 能够正常使用，所以有2+1≤20，解得x≤57. 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57 分钟. 16解，1)向题房可得：=6n886加 3 =-6(ln3-3ln2)≈-6×(1.1-3×0.7)=6， 故大约经过6min水温降为40℃. (2)由题意可得1.8=-6ln日10 90-10 ln910 =-0.3, 90-10 8 -ln8=-0.3, ln(品-]8n2-0.8*1.8ein2+h3 ln6..0≈70，故经过1.8min水温大约降为 70℃. 假期作业15 知识复盘 一、 1.逆时针 顺时针 2.S={3B=a+k·360°，k∈Z} 二、 1 1.360 3.正数负数0 素养提升 1.A[1230-2罗×0-故连A] 2.B [路-假×1)-15选] 3.B[终边相同的角可以相差360°的整数倍，不 一定相等，①错误；钝角是大于90°且小于180° 的角，一定是第二象限角，②正确；第一象限角 可以是正角，也可以是负角，③正确；小于90°的 角可以是锐角，也可以是负角，④错误.综上，正 确的个数是2，故选B.] ·6 900-= 4.D[与一66°终边相同的角可以写成一66°+ 360°·k的形式，其中k∈Z.令k=1可得，一66 与294°的终边相同，其他选项均不符合题意.故 选D.] 5.D[与30°角终边相同的角a=k·360°+30°，k ∈Z,化为孤度制是a=2k元+石，b∈Z.] 6.B[150化成孤度是，A正确：-平化成角度 4 是-45，B错误：-120化成孤度是-经，C正 确；化成角度是30，D正确，故选B.] 7.C[2026°=5×360°+226°，故2026°角是第三 象限角.故选C.] 8.A[由题意，该孤所对的圆心角（正角）的孤度 数为品=故选A] 9.B[设此圆的半径为r,则正方形的边长为√2r, 所以这段孤所对的圆心角的孤度数为a=r= 则这镜孩所对的园周角的孤度复为票 10.B[A选项，因为a,3终边相同，所以a=B十k ×360°，k∈Z,即a-3=k×360°，k∈Z,故A正 确；B选项，因为180°十a与a是终边关于原，点 对称的两个角，所以角α和角B的终边关于原 点对称，必有a=180°+3+kX360°，k∈Z,即a 一B=k×360°+180°，k∈Z,故B错误；C选项， 因为一a与a是终边关于x轴对称的两个角， 所以角α和角B的终边关于x轴对称，必有3 =-a+k×360°，k∈Z,即a十B=k×360°，k∈ Z,故C正确；D选项，因为180°一a与a是终边 关于y轴对称的两个角，所以3与180°一a的 终边相同，即3=k×360°+180°-a,k∈Z,所 以a十B=k×360°+180°，k∈Z,故D正确.故 选B.] 11.解析：设扇形的圆心角为a,半径为r,则扇形的 周长为er十2r=6,所以7=多cm,所以扇形的 面积S=ar=是(cm). 答案： 12.解析：在0°~360°范围内，终边落在阴影内的 角a满足30°<a<150°或210°<a<330°，所以 所有满足题意的角a的集合为{ak·360°+ 30°<a<k·360°+150°，k∈Z}U{ak·360° +210°<a<k·360°+330°，k∈Z}={a2k· 180°+30°<a<2k·180°+150°，k∈Z}U{a (2k+1)·180°+30°<a<(2k+1)·180°+ 150°，k∈Z}={an·180°+30°<a<n·180 +150°，n∈Z}. 答案：{an·180°+30°<a<n·180°+150°，n ∈Z}