假期作业9 函数的奇偶性-【快乐假期】2025-2026学年中职高一数学寒假作业（人教版）

快乐假期 0M-= 假期作业9函数的奇偶性 业精于勤，而荒于嬉。 完成日期： 月 日 ●[每日一语]温故而知新，可以为师矣 知识复盘 1.奇函数的定义： S2 当S1不成立时，函数f(x)既不是 如果对于函数y=f(x)的定义域A内的 奇函数也不是偶函数， 任意一个值x都有 ,则这个函 当S1成立时，对于任意一个x∈A, 数是奇函数， 若f(-x)=一f(x),则函数y=f(x)是 一个函数是奇函数的充要条件是，它的 奇函数； 图象是以坐标原点为对称中心的中心对 若f(-x)=f(x),则函数y=f(x)是偶 称图形 函数； 2.偶函数的定义： f(一x)≠f(x),且f(一x)≠一f(x),则 如果对于函数y=f(x)的定义域A内的 任意一个值x,都有 ,则这个函 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数 数是偶函数， 4.奇偶性与单调性 一个函数是偶函数的充要条件是它的图 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x) 象是以y轴为对称轴的轴对称图形 在关于原点对称的两个区间[a,b]和 3.判断一个函数y=f(x)(x∈A)的奇偶性 [-b,-a]上具有 的单调性； 的步骤： 若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原 S1判断定义域是否关于原点对称，即 点对称的两个区间[a,b]和[-b,一a]上 当x∈A时，-x∈A是否成立； 具有 的单调性. 素养提升 一 、选择题 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若 1.已知一个奇函数的定义域为{一1,2，a, f(1)=1,则f(-1)= () b},则a+b等于 ( A.-1B.0 C.1 D.2 A.-1 B.1 C.0 D.2 4.已知函数f(x)=x2,x∈R,则( 2.下列函数中是偶函数的是 A.y=2|x|-1,x∈[-1,2] A.f(x)是奇函数 B.y=x2+x B.f(x)是偶函数 C.y=x3 C.f(x)既是奇函数又是偶函数 D.y=x2,x∈[-1,0)U(0,1] D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ·20· 三0022 高一数类 5f)=+ 的图象关于 A.f(-1)<f(3) B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1) A.原点对称 B.y轴对称 二、填空题 C.y=x对称 D.y=一x对称 6.已知函数f(x)为奇函数，当x>0时， 11.对于函数y=f(x),定义域为D∈[-2,2]， f()=x2+1,则f(-1)= 以下命题正确的是 .(填题号) ①若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则 A.2B.-1 C.0 D.-2 y=f(x)是D上的偶函数；②若对于任意 7.已知定义在[m一5,1一2m]上的奇函数 f(x),当x>0时，f(x)=x一2x,则 x∈[-2,2]，都有f(-x)+f(x)=0, f(m)的值为 则y=f(x)是D上的奇函数；③若f(2) A.-8 B.8 C.-24 D.24 ≠f(一2)，则f(x)不是偶函数； 8.下列函数中，既是偶函数又在(0，十∞) ④若f(一2)=f(2),则该函数可能是奇 上单调递增的是 函数. A.f(x)=√x B.f(x)=-x2+1 12.已知函数f(x)=a.x2+2x是奇函数，则 C.f(x)=I D.f(x)=|x|-1 实数a= 9.若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有 13.若函数f(x)是定义在R上的偶函数， 最小值0，则它在[一3，一1]上( g(x)=f(x)(2-2)+3,则g(2025) A.是减函数有最小值0 +g(-2025)= B.是增函数有最大值0 14.设奇函数f(x)的定义域为[一5,5]，若 C.是减函数有最大值0 当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示， D.是增函数有最小值0 则不等式f(x)<0的解集为 10.已知函数f(x)在[一5,5]上是偶函数， 且在[0,5]上是单调函数，若f(一4)< f(一2)，则下列不等式一定成立的是 ·21· 逸快乐慑期 0M- 三、解答题 16.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶 15.判断下列函数的奇偶性： 函数，且当x≤0时，f(x)=x2十2x.现 (1)f(x)=1-x 已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如 图所示 (2)f(x)=√x2-1+√1-x; 3)f)-7 01 2 -1 (1)请补出完整函数y=f(.x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取 值集合. 快乐驿钻 贾宪 贾宪，1世纪前半叶中国北宋数学家.贾宪是中国十一世纪上半叶（北宋）的杰出数 学家.曾撰《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失传.据《宋史》记载， 贾宪师从数学家楚衍学天文、历算，著有《黄帝九章算法细草》、《释锁算书》等书.贾宪著 作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，得以保存下来.贾宪的主要贡 献是创造了“贾宪三角”和“增乘开方法”.增乘开方法即求高次幂的正根法.目前中学数 学中的综合除法，其原理和程序都与它相仿.增乘开方法比传统的方法整齐简捷，又更 程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性.增乘开方法的计算程序大致和欧洲 数学家霍纳（公元1819年）的方法相同，但比他早770年. ·22·必快乐假明 观察图象可知，f(x)=x一2|x的单调递减区 间是[1,2].] 11.解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时， f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为 (-0∞，1). 答案：（一∞，1） 12.解析：由图象可知f(x)在[一2,6]上的递增区 间为[一2，一1]和[2,6]，减区间为[一1,2]. 答案：[-2，-1]和[2,6][-1,2] 13.解析：因为函数f(x)是R上的增函数，且f(x -2)<f(3), 所以x-2<3,解得x<5. 所以x的取值范围为{xx<5}. 答案：（一o∞，5） 14.解析：由x一1≥0，得函数的定义域为[1，十∞) 令u=x-1(x≥1)，则y=2Wu. 因为函数u=x一1在[1，十∞)上为增函数， 函数y=2√u在[0，十∞)上为增函数. 所以函数y=2√x一1的单调增区间为[1，十∞). 答案：[1，十∞)（或(1，十∞）) 15.证明：设x1,x2是任意两个不相等的实数，则 △x=x2一x1,△y=f(x2)-f(x1)=(3x2十2) 8x+20=3-),-36320. 因此函数f(x)=3x十2在区间（一∞，十∞）上 是增函数. 16.证明：设x1,x2是区间(0，十∞)上的任意两个 不相等的实数，则△x=x2一x1,△y=f(x2)一 f(x)=1-1=4-=-g4, X2 I 1T2 T1T2 △y= 1<0. △.x TT2 因此fx)=在区间0，+∞)上是减函数. 假期作业9 知识复盘 1.f(-x)=-f(x) 2.f(-x)=f(x) 4.相同相反 素养提升 1.A[因为一个奇函数的定义域为{一1,2，a,b}, 奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一 个等于1，一个等于-2，所以a十b=1+(-2)= 一1.故选A. 2.D[选项A中函数的定义域不关于原点对称， 故函数为非奇非偶函数；y=x2十x为非奇非偶 函数；y=x3为奇函数；y=x2,x∈[-1,0)U (0,1]的定义域关于原，点对称且满足f(一x)= f(x),则函数f(x)为偶函数，故选D.] 3.C[因为f(x)是定义在R上的偶函数且f(1) =1, 所以f(-1)=f(1)=1,故选C.] ·6 --000-= 4.B[由题意，x∈R,f(-x)=(-x)2=x2= f(x),即函数为偶函数.故选B.] 5.A[f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，关 于原点对称，又f(-)=(一x)十=-父 -1=-(x+1)=-f(x),f(x)是奇函 x 数，其图象关于原点对称.故选A.] 6.D[由题知，函数f(x)为奇函数，所以f(一1) =-1).将x=1代入解折式)=+子 得f1)=1+}=2,故f(-1)=-f1) -2.] 7.A[由题意，定义在[m-5,1-2m]上的奇函数 f(x),可得m-5=-（1-2m),解得m=-4, 又由当x>0时，f(.x)=x2-2x,所以f(一4)= -f(4)=-(42-2×4)=-8.故选A.] 8.D[A中的函数的定义域关于原，点不对称，不 具有奇偶性，故排除；B中的函数为偶函数，但 在(0，十∞)上单调递减，故排除；C中的函数是 奇函数，故排除：D中的函数是偶函数，且在(0， 十∞)上单调递增.] 9.B[由于奇函数的图象关于原点成中心对称， 故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调 性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故 选B.] 10.D[由题意可得，函数f(x)在[一5,0]上也是 单调函数，再根据f(一4)<f(一2)，可得函数 f(x)在[-5,0]上是单调增函数，故函数f(.x) 在[0,5]上是单调减函数，故f(0)>f(1).] 11.解析：①中不满足偶函数定义中的任意性，因 此①错误；②中由f(x)十f(一x)=0可知 f(-x)=-f(x),因此f(x)是D上的奇函 数，②正确；当f(-2)≠f(2)时，函数∫(x)一 定不是偶函数，故③正确；④中若满足f(一2)= f(2)=0,此时函数可能是奇函数，因此④正确. 答案：②③④ 12.解析：由奇函数定义有f(-x)+f(x)=0,得a (-x)2+2(-x)+a.x2+2.x=2a.x2=0,故a =0. 答案：0 13.解析：由已知条件，构造函数h(x)=(x)· (2一2)(x∈R),因为f(x)为R上的偶函 数，所以h（一x)=f(一x)·（2r一2)= -f(x)·(2-2)=-h(x),即函数h(x)= f(x)·(2一2r)为R上的奇函数.因此 g(2025)+g(-2025)=[h(2025)+3]+[h(一 2025)+3]=[h(2025)+h(-2025)]+6= [h(2025)-h(2025)]=0+6=6. 答案：6 2 三0022 14.解析：因为函数f(x) 是奇函数，所以其图象 关于原点中心对称，作 出图象如图所示，观察 图象可知，不等式f(x)》 <0的解集为(-2,0)U(2,5]. 答案：(-2,0)U(2,5] 15.解：(1)f(x)的定义域为[-1,0)U(0,1],关于 原点对称.f(一)=工=一f(x),所以 f(x)为奇函数 (2)函数f(x)定义域为{-1,1}，关于原点对 称，且f(x)=0,又f(-x)=-f(x),f(一x) =f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{xx≠1}，不关于原 点对称.故f(x)既不是奇函数也不偶函数. 16.解：(1)由题意作出函数图象如图： 2 -101/ -2 2 -1 (2)据图可知，单调递增区间为（一1,0），(1， 十∞). (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为 (-2,0)U(0,2) 假期作业10 知识复盘 1.增函数 减函数 2.(1)a.x2+b.x+c(a≠0) (2)(-h,k) 3.R- 6 b Aac-b 2a 2a’ Aa 减增增减 素养提升 1.A[正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，故 A正确.] 2.A[由方程组y=x-3 一4故交 y=-x-5·解得x二一1 点坐标为(-1，一4).] 3.B[f(x)=-x2十4.x-3=-(x2-4.x)-3= 一(x一2)2十4一3=一(x一2)2十1，所以，顶点 坐标为(2,1).] 4.C[函数f(x)=x2一4x一1的对称轴为x=2, 开口向上， 所以函数f(x)=x2一4x一1的单调递减区间是 (-∞，2]，故选C.] 5.A[结合题图易知，不等式ax2十bx十c>0的 解集为（一2,1），故选A.] 6.C[抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,则 f(0)=f(2).因为函数在区间[1，+∞)上单调 递增，所以f(2)<f(3),即f(0)<f(3).] ·6 高一数学 7.B[对称轴x=一名1，解符-2.] 8.C[2>0,∴.抛物线开口向上，故A错误： ,抛物线的顶点坐标为(3,1)， ∴.当x=3时，函数有最小值，最小值为1，故B 错误； 抛物线的对称轴为直线x=3, ∴.当x<3时，y随x的增大而减小，故C正确； D错误.故选C.] 9.C[由题意得f(0)=0,则m一1=0，所以m=1. 所以f(x)=x2十2x.由x2十2x<0,得x(x十2) <0,所以一2<x<0.] 10.A[y=-2-3)+5, .抛物线开口向下，对称轴为直线x=3, x<3时，y随x增大而增大， 当=1时心最大，最大位为=一号×1十 5=3.故选A.] 11.解析：由已知，3=k×1,解得k=3, .正比例函数的解析式为y=3x, 令x=3,y=3×3=9. 答案：9 12.解析：y=2.x2-4x-5=2(x-1)2-7, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1. 答案：直线x=1 13.解析：抛物线y=(a一1)x2一2x十3在对称 轴左侧，y随x的增大而增大， ∴.a-1<0,解得a<1. 答案：a<1 14.解析：由已知，关于x的二次方程ax2十x十1 =0的两根分别为m、1,且a<0, 1十m= 1 a=-2 所以， ,解得 1 1×m= /m、1. 2 答案：-司 15.解：因为)=3x+2+1=3(+号+号 所以=f-)号 因此，该函数图象的对称轴是直线x=一了，它 在区间 （∞，一号]上是诚函数，在区间 [一日十0)上是增画致。 16.解：(1)观察题图可知方程ax2十bx十c=0的 根，即为抛物线与x轴交点的横坐标， 所以两个根为x1=0,x2=2. (2)观察题图可知不等式a.x2十bx十c<0的解 集为{xx<0,或x>2}. (3)由题图可知当k>2时，方程a.x2+bx十c= k无实数根.