假期作业9 函数的奇偶性-【快乐假期】2025-2026学年中职高一数学寒假作业（高教版）

三022 高一数学 假期作业9函数的奇偶性 业精于勤，而荒于嬉。 完成日期： 月 日 ●[每日一语] 温故而知新，可以为师矣 知识复盘 1.偶函数的定义 S2当S1不成立时，函数f(x)既不是 设函数y=f(x)的定义域为数集D,若对 奇函数也不是偶函数！ 于任意的x∈D,都有一x∈D,且 当S1成立时，对于任意一个x∈A, 若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)是 则称y=f(x)是偶函数.偶函数的图像 奇函数； 关于 对称 若f(-x)=f(x),则函数y=f(x)是偶 2.奇函数的定义 函数； 设函数y=f(x)的定义域为数集D,若对 f(一x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则 于任意的x∈D,都有一x∈D,且 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数， 4.奇偶性与单调性 则称y=f(x)是奇函数，奇函数的图像 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x) 关于 中心对称 在关于原点对称的两个区间[a,b]和 3.判断一个函数y=f(x)(x∈A)的奇偶性 [-b,-a]上具有 的单调性； 的步骤： 若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原 S1判断定义域是否关于原点对称，即 点对称的两个区间[a,b]和[一b,一a]上 当x∈A时，一x∈A是否成立； 具有 的单调性 素养提升 一、选择题 5.f(x)=x3+1的图象关于 1.已知一个奇函数的定义域为{一1,2，a, b},则a+b等于 ) A.原点对称 B.y轴对称 A.-1 B.1 C.0 D.2 C.y=x对称 D.y=一x对称 2.下列函数中是偶函数的是 6.已知函数f(x)为奇函数，当x>0时， A.y=2|x-1,x∈[-1,2] B.y=x2+x fx)=x2+1,则f(-1)= C.y=x3 A.2 B.-1 C.0 D.-2 D.y=x2,x∈[-1,0)U(0,1] 7.已知定义在[m一5,1一2m]上的奇函数 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若 f(x),当x>0时，f(x)=x2一2x,则 f(1)=1,则f(-1)= f(m)的值为 () A.-1B.0C.1 D.2 A.-8 B.8 C.-24 D.24 4.已知函数f(x)=x2,x∈R,则( 8.下列函数中，既是偶函数又在(0，十∞) A.f(x)是奇函数 上单调递增的是 ( B.f(x)是偶函数 A.f(x)=√x B.f(x)=-x2+1 C.f(x)既是奇函数又是偶函数 D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 C.f(x)=1 D.f(x)=|x|-1 ·21· 飞壁快乐假期 9.若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有 三、解答题 最小值0，则它在[-3，一1]上 ) 15.判断下列函数的奇偶性： A.是减函数有最小值0 B.是增函数有最大值0 (1)f(x)=-x C.是减函数有最大值0 (2)f(x)=√x-1+√/1-x: D.是增函数有最小值0 10.已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数， (3)f(x)= x-1 且在[0,5]上是单调函数，若f(一4)< f(一2)，则下列不等式一定成立的是 ( A.f(-1)<f3)B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5)D.f(0)>f(1) 二、填空题 11.对于函数y=f(x),定义域为D∈[-2,2]， 以下命题正确的是 .(填题号) 16.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶 ①若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则 函数，且当x≤0时，f(x)=x2十2x.现 y=f(x)是D上的偶函数；②若对于任 已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如 意x∈[-2,2]，都有f(一x)十f(x)= 图所示 0,则y=f(x)是D上的奇函数；③若 f(2)≠f(一2)，则f(x)不是偶函数；④ 若f(一2)=f(2),则该函数可能是奇 函数. 01 12.已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数，则 -2 2 实数a= 13.若函数f(x)是定义在R上的偶函数， (1)请补出完整函数y=f(x)的图象； g(x)=f(x)(2-2)+3,则g(2025)+ (2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间； g(-2025)= (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取 14.设奇函数f(x)的定义域为[一5,5]，若 值集合. 当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示， 则不等式f(x)<0的解集为 快乐驿 >0 贾宪 贾宪，11世纪前半叶中国北宋数学家.贾宪是中国十一世纪上半叶（北宋）的杰出数 学家.曾撰《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失传.据《宋史》记载， 贾宪师从数学家楚衍学天文、历算，著有《黄帝九章算法细草》、《释锁算书》等书.贾宪著 作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，得以保存下来.贾宪的主要贡 献是创造了“贾宪三角”和“增乘开方法”.增乘开方法即求高次幂的正根法.目前中学数 学中的综合除法，其原理和程序都与它相仿.增乘开方法比传统的方法整齐简捷，又更 程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性.增乘开方法的计算程序大致和欧洲 数学家霍纳（公元1819年）的方法相同，但比他早770年. ·22·密快乐假期 8.C[根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 可知：f(x)=3-x,f(x)=二在(0，十0)上均单调递 x 减：f(2)=2-3x在（0,2]上单调造减，在 [层十）上*羽道增：0)=2r在0，十0)上单 调递增.] 9.A[由题意知，当--20≤2或-一24≥3，即a≤2 2 2 或a≥3时，满足题意.故选A.] 10.A[f(x)=|x-2|x= (x-2)x,x≥2， (2-x)x,x<2. 作出此函数的图象如图所示 观察图象可知，f(x)=|x一2|x的单调递减区间是 [1,2].] 11.解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是 减函数，所以f(x)的单调递减区间为（一∞，1）. 答案：(-0∞，1) 12.解析：由图象可知f(x)在[-2,6]上的递增区间为 [-2,-1]和[2,6]，减区间为[-1,2] 答案：[-2，-1]和[2,6][-1,2] 13.解析：因为函数f(x)是R上的增函数，且f(x一2)< f(3), 所以x-2<3,解得x<5. 所以x的取值范围为{xx<5. 答案：(-∞，5) 14.解析：由x一1≥0，得函数的定义域为[1，十∞)， 令u=x-1(x≥1)，则y=2a. 因为函数u=x一1在[1，十∞)上为增函数，函数y =2√u在[0，十o∞)上为增函数. 所以函数y=2√x-I的单调增区间为[1，十∞). 答案：[1，十∞)（或(1，十∞）) 15.证明：任取x1x2∈（-o∞，十o∞)，且x1<x2, 则f(x1)-f(x2）=(3.x1+2)-(3.x2十2)=3(x1 x2), x1<x2,.x1-x2<0, .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)=3.x十2在区间（一o∞，十∞）上是增 函数 ·6 900-= 16.证明：任取x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=1-1-x2- T1 x2 T1r2 0<x1<x2.x2-x>0,x1x2>0, ∴.f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=1在区间(0，十0)上是减函数. 假期作业9 知识复盘 1.f(-x)=f(x)y轴 2.f(-x)=-f(x)原点 4.相同相反 素养提升 1.A[因为一个奇函数的定义域为{-1,2，Q,b},奇函 数的定义域关于原，点对称，所以a与b中一个等于1， 一个等于-2，所以a十b=1十(-2)=-1.故选A.] 2.D[选项A中函数的定义域不关于原点对称，故函 数为非奇非偶函数：y=x2十x为非奇非偶函数；y= x3为奇函数：y=x2,x∈[-1,0)U(0,1]的定义域关 于原点对称且满足f(一x)=f(x),则函数f(x)为偶 函数，故选D.门 3.C[因为f(x)是定义在R上的偶函数且f(1)=1, 所以f(-1)=f(1)=1,故选C.] 4.B[由题意，x∈R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),即 函数为偶函数.故选B.] 5.A[f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十o∞)，关于原 点对称.又f(-x)=(-)十2=-2-上 -(x3+上)=-f(x),f(x)是奇函数，其图象关于 原点对称.故选A.] 6.D[由题知，函数f(x)为奇函数，所以f(一1)= 一f.将x=1代入解析式f(x)=x2+是，得f1) =12+=2,故f-1D=-f)=-2.] 7.A[由题意，定义在[m-5,1一2m]上的奇函数 f(x),可得m-5=-(1-2m),解得m=-4, 又由当x>0时，f(x)=x2-2.x,所以f(-4)= -f(4)=-(42-2×4)=-8.故选A.] 8.D[A中的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇 偶性，故排除；B中的函数为偶函数，但在(0，十∞)上 单调递减，故排除；C中的函数是奇函数，故排除：D中 的函数是偶函数，且在(0，十©)上单调递增.] 三022 9.B[由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函 数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的 最小值对应另一侧的最大值，故选B.] 10.D[由题意可得，函数f(x)在[一5,0]上也是单调 函数，再根据f(一4)<f(一2)，可得函数f(x)在 [-5,0]上是单调增函数，故函数f(x)在[0,5]上是 单调减函数，故f(0)>f(1).] 11.解析：①中不满足偶函数定义中的任意性，因此①错 误；②中由f(x)十f(一x)=0可知f(-x)= 一f(x),因此f(x)是D上的奇函数，②正确；当 f(一2)≠f(2)时，函数f(x)一定不是偶函数，故③正 确；④中若满足f(一2)=f(2)=0,此时函数可能是奇函 数，因此④正确」 答案：②③④ 12.解析：由奇函数定义有f(-x)十f(x)=0,得a(一 x)2+2(-x)+a.x2+2x=2a.x2=0,故a=0. 答案：0 13.解析：由已知条件，构造函数h(x)=f(x)·(2x一 2x)(x∈R),因为f(x)为R上的偶函数， 所以h(-x)=f(-x)·(2x-2x)=-f(x)·(2x -2x)=一h(x), 即函数h(x)=f(x)·(2x-2x)为R上的奇函数. 因此g(2025)+g(-2025)=[h(2025)+3]+ [h(-2025)+3]=[h(2025)+h(-2025)]+6= 「h(2025)-h(2025)7=0+6=6. 答案：6 14.解析：因为函数f(x)是奇 函数，所以其图象关于原 点中心对称，作出图象如 图所示，观察图象可知，不 等式f(x)<0的解集为(-2,0)U(2,5]. 答案：(-2,0)U(2,5] 15.解：(1)f(x)的定义域为[-1,0)U(0,1],关于原点 对称.f(-x)=-x =一f(x),所以f(x)为奇 函数。 (2)函数f(x)定义域为{一1,1}，关于原点对称，且 f(x)=0,又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),所以 f(x)既是奇函数又是偶函数 (3)函数f(x)的定义域为{xx≠1}，不关于原点对 称.故f(x)既不是奇函数也不偶函数， ·6 16.解：(1)由题意作出函数图象如图： - 01 -2 2 -1 、 (2)据图可知，单调递增区间为（一1,0），(1，十∞). (3)据图可知，使f(x)0的x的取值集合为（一2， 0)U(0,2). 假期作业10 知识复盘 1.(1)增函数减函数 2.(1)一、三 二、四 3.R 2a 减增增减 素养提升 1.A[正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，故A 正确.] 2.A[由方程组 y=x-3 解得∫= ,故交点坐 (y=-x-5 (y=- 标为(-1，-4).] 3.B[点(-3，一2)在函数y=的图像上，-2= x ,解得=6，画数的解祈式为y=号，起选项代 入，只有B符合要求.] 4.C[函数f(x)=x2一4x一1的对称轴为x=2,开口 向上， 所以函数f(x)=x2一4x一1的单调递减区间是 (-∞，2]，故选C.] 5.A[结合题图易知，不等式ax2+bx十c>0的解集为 (-2,1),故选A. 6.C[抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,则f(0)= f(2).因为函数在区间[1，十∞)上单调递增，所以 f(2)<f(3),即f(0)<f(3).] 7.B[x=-合1，解得-2.] 8.C[2>0,∴.抛物线开口向上，故A错误： ,抛物线的顶点坐标为(3,1)， ∴.当x=3时，函数有最小值，最小值为1，故B错误： ,抛物线的对称轴为直线x=3, .当x<3时，y随x的增大而减小，故C正确；D错 误.故选C.]