假期作业8 函数的单调性-【快乐假期】2025-2026学年中职高一数学寒假作业（高教版）

快乐假期 00-= 假期作业8函数的单调性 非学无以广才，非志无以成学 完成日期： 月 日 。[每日一语]敏而好学，不耻下问. 知识复盘 1.增函数、减函数的概念 2.函数的单调性 设函数y=f(x)的定义域为D,区间I二D, 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数 (1)如果对于区间I上的任意两点x1和 或减函数，那么称函数y=f(x)在区间I 上具有 ,区间1称为 x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2), 增区间也称为单调增区间，减区间也称 那么称函数y=f(x)在区间I上是 为单调减区间 ,区间I称为函数y=f(x)的增区 3.利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 间.如图(1)所示. 上的单调性的一般步骤： (2)如果对于区间I上的任意两点x1和 取值 任取x1,x2∈I,且x1<x2 x2,当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2), 作差 fx)-fx2)(或fx2)-fx) 那么称函数y=f(x)在区间I上是 ,区间I称为函数y=f(x)的减区 通过因式分解、配方、通分、分 间，如图(2)所示. 变形 母（分子）有理化等方法，向有 利于判断差的符号的方向变形 y y=f(x) y=f) 确定f(x1)一f(x2)(或f(x2) fx) 定号 f(x1))的正负，当正负不 fx) 确定时，需进行分类讨论 指出函数f(x)在给定的区间 下结论 图(1) 图(2) I上的单调性 素养提升 一、选择题 2.函数y=f(x)是(0，十∞)上的减函数，且 1.函数y=f(x)的图象如图所示，其增区 0<x<x2,则下列选项不正确的是() 间是 ) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)-f(x2)>0 C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 A.[0,1] B.[-4,-3]U[1,4] D.f(-f(0 C.[-3,1] D.[-3,4] x1一x2 ·18 三0022 一数半 3.如图是函数y=f(x)的图 8.下列四个函数中，在(0，十∞)上单调递 象，其定义域为[一2，十∞)， 增的是 则函数f(x)的单调递减 A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3z 区间是 C.f(x)=2x D.f(x)=1 A.[-1,0) B.[1,+∞) 9.已知二次函数y=x2-2ax十1在区间 C.[-1,0),[1,+∞) (2,3)内是单调函数，则实数a的取值范 D.[-1,0)U[1,+o∞) 围是 4.下列函数在区间(0，十∞)上是减函数 A.(-∞，2]U[3,+∞) 的是 ( ) B.[2,3] A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.(-∞，-3]U[-2,+∞) C.y=3-x D.y=x2+2x+1 D.[-3,-2] 2十ax+a,x<0 5.已知函数f(x)= 在 10.函数f(x)=|x一2|x的单调递减区 2025x3-1,x≥0 间是 R上单调递减，则a的取值范围为( A.[1,2] B.[-1,0] A.[0,1) B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) C.[-1,0) D.[0,1] 二、填空题 6.已知函数f(x)在区间[0，+∞)上是增函 2x+1,x≥1， 数，则f(2),f(π)，f(3)的大小关系是 11.已知函数f(x)= 则f(x) (5-x,x<1, 的单调递减区间是 A.f(π)>f(2)>f(3) B.f(3)>f(π)>f(2) 12.已知函数y= y C.f(2)>f(3)>f(π) f(x)(x∈[-2， -2-10 D.f(π)>f(3)>f(2) 6])的图象如图. 7.已知函数f(x)=8+2x一x2,那么下列 根据图象写出y=f(x)的单调区间，增区 结论正确的是 ( 间为 ,减区间为 A.f(x)在（一∞，1]上是减函数 13.若函数f(x)在R上为增函数，且f(x B.f(x)在（一o∞，1]上是增函数 2)<f(3),则x的取值范围为 C.f(x)在[-1，+∞)上是减函数 14.函数y=2√x一1的单调增区间为 D.f(x)在[-1，+∞)上是增函数 ·19· 空快乐假明 S00-三 三、解答题 16.证明两数fx)-士在区间(0，十∞)上 15.证明函数f(x)=3x+2在（一o∞，+∞） 是减函数 上是增函数. 快乐驿站 ◆◆◆◆◆◆◆◆ 柯召 柯召(1910年4月12日~2002年11月8日)，字惠棠，浙江温岭人，数学家、中国 科学院资深院士、被称为中国近代数论的创始人、二次型研究的开拓者、一代数学宗师 1933年（中华民国二十二年）毕业于清华大学，1937年（民国二十六年）获英国曼彻 斯特大学博士学位，1950年加入九三学社，1955年当选为中国科学院院士， 柯召主要从事数论、组合论和代数的研究.在数论方面，在表二次型为线性型平方 和的研究上取得一系列重要成果；在不定方程方面，突破了100多年来未能解决的卡塔 兰猜想的二次“幂”情形，获一系列重要结果，被国际上誉为“柯氏定理”，创造的方法至 今仍被广泛引用；在组合论方面，柯召与Eds、拉多合作的关于有限集合的工作，即 “Erds柯拉多定理”，开辟了极值集论迅速发展的道路. ·20·三0022 (3)当工=0时，2没有意义，不满足题意： (4)由函数的定义知，满足题意； (5)集合A不是数集，故不满足题意. 答案：(1)(4) 12.解析：因为f)=子十一，所以x≠0，且1-父 ≥0，解得x∈(-o∞，0)U(0,1]. 答案：(-∞，0)U(0,1] 13.解析：根据题中表格可得f(2)=4,所以g(f(2)= g(4)=2. 答案：2 14.解析：当0≤x≤1时，设函数解析式为y=kx(k≠0)， 由题图知k=2,所以y=2x;当1<x<2时，y=2;当 x≥2时，y=3. 「2x,0x1, 答案：f(x)=2,1<x<2, 3,x≥2 15.解：(1)使根式√x+3有意义的实数x的集合是{xx ≥-3，使分式十有毫义为实数上的多合是1： ≠一2〉.所以，这个函数的定义域是{x|x≥-3}∩{x |x≠-2}={x|x≥-3，且x≠-2}，即(-3，-2)U (-2,+∞). (2)将-3与号代入解折式，有f(-3)=V3+3十 -3+2 =一 哈+3++2四3 W3+8 =+ 3 (3)因为a>0,所以f(a),f(a-1)有意义. f(a)=a+3+1 a+2f(a-1)=Va-1+3+ 中22+ah 16.解：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的 图象（图1）. g)=(x+1)2 fa)=x+1 3 -5-4-3-2210 12345x 1 -2 图1 ·6 高一致学密) (2)由图1中函数取值的情况，结合函数M(x)的定 义，可得函数M(x)的图像（图2）. 5 M(x) 4 3 2 -5-4-3-2-10 12345x -1 -2 图2 由(x十1)2=x+1,得x(x+1)=0.解得x=-1或x =0. 结合图2，得出函数M(x)的解析式为 (x+1)2,x≤-1， M(x)=x+1,-1<x≤0， (x+1)2,x>0. 假期作业8 知识复盘 1.(1)增函数(2)减函数 2.单调性单调区间 素养提升 1.C[函数图象在区间[一3,1]上是上升的，故其增区 间是[-3,1].故选C.] 2.D[A,B选项，y=f(x)是(0，十∞)上的减函数，且 0<x1<x2,故f(x1)>f(x2),则f(x1)-f(x2)>0, A,B正确；C,D选项，因为x1-x2<0,f(x1)-f(x2) >0,所以(x1-x2)[f(x1)-f(x2门<0， f()一fx2)<0,C正确，D错误.] x1-x2 3.C[若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，则由 题图知，f(x)的单调递减区间为[一1,0)，[1，+∞)， 故选C.] 4.C[函数y=3-x在区间(0，十∞)上是减函数.A, B,D中的函数在(0，十∞)上是增函数，故选C.] 5.B[由条件可知，y=x2+a.x十a在区间(-o∞，0)上 单调递减，则一受>0，即a<0,且在分界点x=0处满 足02十a·0十a≥-2025·03-1，得a≥-1， 所以-1≤a≤0.] 6.D[因为函数f(x)在区间[0，十o)上是增函数，并 且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2),所以D选项是 正确的.故选D.」 7.B[由二次函数f(x)=8+2x-x2=-(x-1)2+9 的图象知B对，故选B.] 密快乐假期 8.C[根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 可知：f(x)=3-x,f(x)=二在(0，十0)上均单调递 x 减：f(2)=2-3x在（0,2]上单调造减，在 [层十）上*羽道增：0)=2r在0，十0)上单 调递增.] 9.A[由题意知，当--20≤2或-一24≥3，即a≤2 2 2 或a≥3时，满足题意.故选A.] 10.A[f(x)=|x-2|x= (x-2)x,x≥2， (2-x)x,x<2. 作出此函数的图象如图所示 观察图象可知，f(x)=|x一2|x的单调递减区间是 [1,2].] 11.解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是 减函数，所以f(x)的单调递减区间为（一∞，1）. 答案：(-0∞，1) 12.解析：由图象可知f(x)在[-2,6]上的递增区间为 [-2,-1]和[2,6]，减区间为[-1,2] 答案：[-2，-1]和[2,6][-1,2] 13.解析：因为函数f(x)是R上的增函数，且f(x一2)< f(3), 所以x-2<3,解得x<5. 所以x的取值范围为{xx<5. 答案：(-∞，5) 14.解析：由x一1≥0，得函数的定义域为[1，十∞)， 令u=x-1(x≥1)，则y=2a. 因为函数u=x一1在[1，十∞)上为增函数，函数y =2√u在[0，十o∞)上为增函数. 所以函数y=2√x-I的单调增区间为[1，十∞). 答案：[1，十∞)（或(1，十∞）) 15.证明：任取x1x2∈（-o∞，十o∞)，且x1<x2, 则f(x1)-f(x2）=(3.x1+2)-(3.x2十2)=3(x1 x2), x1<x2,.x1-x2<0, .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)=3.x十2在区间（一o∞，十∞）上是增 函数 ·6 900-= 16.证明：任取x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=1-1-x2- T1 x2 T1r2 0<x1<x2.x2-x>0,x1x2>0, ∴.f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=1在区间(0，十0)上是减函数. 假期作业9 知识复盘 1.f(-x)=f(x)y轴 2.f(-x)=-f(x)原点 4.相同相反 素养提升 1.A[因为一个奇函数的定义域为{-1,2，Q,b},奇函 数的定义域关于原，点对称，所以a与b中一个等于1， 一个等于-2，所以a十b=1十(-2)=-1.故选A.] 2.D[选项A中函数的定义域不关于原点对称，故函 数为非奇非偶函数：y=x2十x为非奇非偶函数；y= x3为奇函数：y=x2,x∈[-1,0)U(0,1]的定义域关 于原点对称且满足f(一x)=f(x),则函数f(x)为偶 函数，故选D.门 3.C[因为f(x)是定义在R上的偶函数且f(1)=1, 所以f(-1)=f(1)=1,故选C.] 4.B[由题意，x∈R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),即 函数为偶函数.故选B.] 5.A[f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十o∞)，关于原 点对称.又f(-x)=(-)十2=-2-上 -(x3+上)=-f(x),f(x)是奇函数，其图象关于 原点对称.故选A.] 6.D[由题知，函数f(x)为奇函数，所以f(一1)= 一f.将x=1代入解析式f(x)=x2+是，得f1) =12+=2,故f-1D=-f)=-2.] 7.A[由题意，定义在[m-5,1一2m]上的奇函数 f(x),可得m-5=-(1-2m),解得m=-4, 又由当x>0时，f(x)=x2-2.x,所以f(-4)= -f(4)=-(42-2×4)=-8.故选A.] 8.D[A中的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇 偶性，故排除；B中的函数为偶函数，但在(0，十∞)上 单调递减，故排除；C中的函数是奇函数，故排除：D中 的函数是偶函数，且在(0，十©)上单调递增.]