假期作业18随机变量及其分布-【快乐假期】2025-2026学年中职高二数学寒假作业（人教版）

快乐假期 假期作业18随机变量及其分布 积士而为山，积水而为海。 完成日期： 月 日 ●[每日一语] 世上唯一不能复制的是时间，唯一不能重演的是人生 知识复盘 1.离散型随机变量 (2)离散型随机变量的期望和方差： 随机变量的基本概念 一般地，若离散型随机变量X的分布 (1)随机变量的概念：随机试验可能出现的 列，如下表所示 结果可以用一个变量来表示，这个变量 X 的取值就是随机的，我们把这个变量称 为随机变量.随机变量用大写字母X, 则称E(X)=x1p1十x22十…十xm卫m Y,…表示，有时也用希腊字母ξ、刀，… 表示 三x,中：为随机变量X的均值或数学期 望，简称期望 (2)离散型随机变量的概念：一般地，所有 称D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2 可能的取值都能一一列举出来的随机 E(X))2p2十…+(xn-E(X)2p 变量称为离散型随机变量. (3)连续型随机变量的概念：对于随机变量 =2(x一E(X)'力为随机变量X的方 可能取的值，可以取某一区间内的一切 差，称√D(X)为随机变量X的标准差， 值，这样的变量就叫做连续型随机变量. 3.二项分布 2.离散型随机变量的分布列及其数字特征 (1)n重伯努利试验(n次独立重复试验) ①我们把只包含两个可能结果的试验 (1)离散型随机变量的分布列：设离散型随 叫做伯努利试验， 机变量可能取的值为x1,x2,…,x:, ②将一个伯努利试验独立地重复进行n …,取每一个值x,(i=1,2,…)的概率 次所组成的随机试验称为n重伯努利 为P(ξ=x:)=P:,则称表为随机变量￡ 试验， 的概率分布，简称￡的分布列： (2)二项分布 般地，在n重伯努利试验中，设每次试验 中事件A发生的概率为(0<p<1),用 P2 X表示事件A发生的次数，则X的分 注：分布列的两个性质：任何随机事件 布列为P(X=)=C(1一)”-， 发生的概率都满足：0≤P(A)≤1，并且 k=1,2,3,…,n.如果随机变量X的分 布列具有上式的形式，则称随机变量X 不可能事件的概率为0，必然事件的概 服从二项分布，记作X~B(n,p). 率为1.由此你可以得出离散型随机变 (3)二项分布的均值与方差 量的分布列都具有下面两个性质： 若随机变量X服从参数为n,力的二项 ①p≥0，i=1,2,3…; 分布，即X~B(n,p), ②p1+p2+…+pn=1,i=1,2,3…n. E(X)=np,D(X)=np(1-p). ·40· 三022 4.正态分布 (4)标准正态分布 (1)正态分布密度曲线 数学期望4=0，方差。=1的正态分布 正态分布密度曲线，简称正态曲线，它 称为标准正态分布，其密度函数记为 的函数表达式为p(x)= 1 （x-)2 -e 202 √2π p(x)= 1e登(-o∞<x<+∞)，其 (一o∞<x<十∞)，其中h和。为参数， √2 且o>0,∈R,p(x)称为概率密度函 图象如图所示，随机变量X服从标准正 数，此时称随机变量X服从参数为和 态分布，简记为X~N(0,1) o的正态分布，简记为X~N(μ，o2).曲 线呈现“中间高，两边低，左右大致对 称”的特点 (2)正态分布密度曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x=μ (5)3。原则 对称； ①P(u-o<X<十o)≈68.27%； ③p(r在E=x处达到最大值2 ②P(μ-2o<X<μ+2o)≈95.45%； ④当σ一定时，曲线随着4的变化而沿 ③P(μ-3o<X<μ十3o)≈99.73% x轴平移； 在实际应用中，通常认为服从于正态分 ⑤。越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态 布N(μ，o2)的随机变量X只取（μ一3o, 曲线越尖陡； ⑥曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1. μ十3σ)之间的值，并简称为3。原则， (3)正态分布的期望与方差 99.73% 若X~N(μ，o),则E(X)=,D(X)=o. 标准差σ越大，正态曲线越扁平，说明X ←68.27% 的取值越分散；σ越小，正态曲线越尖陡， 95.45% 说明X的取值越集中在数学期望μ附近. L-30u-204-0Lu+0u+20u+30 素养提升 1.已知随机变量X的分布列如表： 3.设随机变量服从正态分布N(μ，σ)，且 X 1 2 3 4 P(c)=P(>),则c= () P 0.15 0.35 m 0.25 A.0 B.o C.-4 D.u 则实数m= ( 4.已知离散型随机变量的分布列如下表： A.0.05B.0.15C.0.25D.0.35 1 3 2.已知8名学生中有5名男生，从中选出4 5 名代表，记选出的代表中男生人数为X, P 0.3 m 0.4 则P(X=3)= () 则其数学期望E()= A7B. c. D.1 A.1 B.0.3 C.2.3 D.3.2 ·41· 快乐假期 5已知随机变量B4,号 ,则P(=3)= X的概率密度曲线 Y的概率密度曲线 A :c品 D器 26303438 6.设随机变量X~N(μ，7)，若P(X<2)= (a) X的概率密度曲线 P(X>6),则 () A.4=4,D(X)=7 38 B.h=8,D(X)=7 (b) C.=4,D(X)=√7 (1)根据以上数据，李明平时选择哪种 D.=8,D(X)=7 交通方式更稳妥？试说明理由. 7.从一个装有4个白球和3个红球的袋子 (2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自 中有放回地取球5次，每次取球1个，记 行车上学所用的时间，X和Y的概率密 X为取得红球的次数，则D(X)=() 度曲线如图(a)所示，如果某天有38min D6 可用，你应选择哪种交通方式？如果仅 A.15 B.2 C. 9 有34min可用，又应该选择哪种交通方 8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取 式？试说明理由. 2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型 (提示：(2)中X和Y的概率密度曲线分 彩电的台数，则P(X=1)= 别反映的是X和Y的取值落在某个区 9.设离散型随机变量X的分布列为P(X=) 间的随机事件的概率，例如，图(b)中阴 态长=1,2,3，则P(X=1)的值 影部分的面积表示的就是X取值不大 于38min时的概率) 为 10.2025年5月湖南省部分高三学生参加 高三第一次模拟大联考，假如联考的数 学成绩服从正态分布，其总体密度函数 为f(x)=1e,且P(70≤≤ 0√2元 100)=0.7.若参加此次联考的学生共 有80000人，则数学成绩超过100分的 人数大约为 11.李明上学有时坐公交车，有时骑自行 车，他各记录了50次坐公交车和骑自 行车所花的时间（样本数据），经数据分 析得到如下结果： 坐公交车：平均用时30min,方差为36 骑自行车：平均用时34min,方差为4 ·42· 三0022 12.某公司为招聘新员工设计了一个面试 (2)求乙正确完成 方案：应聘者从6道备选题中一次性随 面试题数？的分布 机抽取3道题，按照题目要求独立完 列及其期望. 成.规定：至少正确完成其中2道题便 可通过.已知6道备选题中应聘者甲有 4道题能正确完成，2道题不能完成；应 聘者乙每题正确完成的概率都是号，且 每题正确完成与否互不影响. (1)求甲恰好正确完成2道面试题的 概率； 快乐驿站 欧拉放羊 欧拉小时候因为问老师天上的星星有多少颗，就被老师赶回了家，而小欧拉回家后 无事，就帮助爸爸放羊，但他一面放羊，一面读书，其中也有不少数学书，羊渐渐增多，原 来的羊圈有些小，爸爸决定建造一个新的羊圈，他用尺子量出了一块长方形的土地，长 40米，宽15米，面积正好是600平方米. 可是正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，若要围成长40米， 宽15米的羊圈，不够用，但小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心面积小于原 来的计划，父亲不相信小欧拉会有办法，便没有理他，小欧拉急了，大声说，只要稍稍移 动一下羊圈的桩子就行了. 父亲听了直摇头，可小欧拉却坚持要求尝试，最后父亲终于同意了，小欧拉便移动 羊圈的桩子弄成了边长为25米的正方形，如此圈成的羊圈，篱笆不多不少，面积甚至更 大了一些，虽然这个问题很简单，而且圈成圆形的面积会更大，但在这个时期，年纪轻轻 的小欧拉，着实是天才一般的表现. 父亲心里感到非常高兴，孩子比自己聪明，将来一定大有出息，让这么聪明的孩子 放羊实在是可惜了，后来，他想办法让小欧拉认识了大数学家伯努利，通过这位数学家 的推荐，小欧拉成了巴塞尔大学的学生，这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大 学生 ·43·三0022 (3)可先排丙、丁有A种排法，则甲、乙只有一 种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有 AX1=12(种)，或看作定序问题尼 =12). 假期作业17 1.B[因为+)引 的展开式共有n十1项，所以n 十1=9，所以n=8.] 2.C[由题意知：展开式中含x的项为C·(一2x) =一6x,故x的系数为一6.] 3.A[令x=1,则(1-2)5=a+a1(1-1)+a2(1 -1)2+…十a5(1-1)5=a=-1.] 4.C[根据二项展开式的通项公式Tm+1= C(x2)9-m(-x1)m=(-1)mC0x18-3m, 令18-3m=0,解得m=6, .常数项为T,=(-1)C=84.] 5.B[由(+)”的展开式的通预为T1 C0x0m,知展开式中系数最大的项即二项式 系数最大的项，即C最大，所以m=5,即第6 项的系数最大.] 6.B[令二项式(1-2x)2025中x=1,则各项系数 的和为(1一2×1)2025=（-1)2025=一1.故 选B.] 7.B[根据题意可得2=64，解得n=6, 则(2一)展开式的通项为工1=Cx (-广=-1Dcx令6-2m=0, 得m=3, 所以常数项为T,=Cx(-)'=-C心 6×5×4=-20.] 3×2×1 8解析：（版-圣） 的二项式系数和为2”=256， 可得n=8， 所以（版-） 的所有项的系数和为(1一2)8 =1. 答案：1 9.解析：令x=1,则(2十1)=3=a十a1十a2十…十an =81,所以n=4. 答案：4 10.解析：由题意得C=C, 所以n=9, 的展开式的通项公式为 T=cx(2x”=()”Gx, 令g-m=0,得m=6, 所以常数项为T,=(合)”C-器 答案器 11.解：(1)由题意，结合二项式系数的性质可得， 2"=32,解得n=5. (2)在展开式中令x=1,得-1=a0十a1十a2+ …十an, 即a0十a1十a2十…十an=-l. 12.解：(1)由题设，Cg+C十C=29,整理得 n2+n-56=0,解得n=-8(舍)或n=7. (2)由(1)知：二项式展开式通项为Tm+1= C?(ax2)7-mx是=a7-mCx14+号， 当m=6时为含x的项，故7a=56,解得a=8. 假期作业18 1.C[由随机变量的分布列的性质知0.15+ 0.35+m十0.25=1，解得m=-0.25.] 2.B[X=3表示选出的4个代表中有3个男生1 个安生，周P0X-》-管智-] 3.D[由随机变量服从正态分布N(μ，o),可得 正态曲线的对称轴为x=μ， 因为P(≤c)=P(>c),所以c=4.] 4.D[分布列中出现的所有的概率之和等于 1,0.3+m+0.4=1,m=0.3, ∴.随机变量的数学期望E()=1×0.3十3× 0.3+5×0.4=3.2.] 5.D[因为随机支量B(4,号)， 所以P=3)=C×(号)八×(1-)=器】 人受快乐假职 6.A[因为随机变量X~N(μ，7)，且P(X<2) =P(X>6), 所以由对称性知么=25=4，由正态分布 2 X~N(μ，7)，知方差D(X)=7,A正确，BCD 错误.] 7.D[由题意得：从一个装有4个白球和3个红 球的袋子中取出一个球，是红球的概率为3干4 3 =号，因为是有放回的取球，所以X一 B5,) 所以D(X)=5×号×1-)-89] 8.解析：X=1表示的结果是抽取的2台彩电有甲 型和乙型彩电各一台， 故所求概率P(X=1)= CC4=3 答案 9,解折：徐题态，动十品十品-名=1，解得a=2, 所以P(X=1)=3a-6 11 答案：后 10.解析：总体密度函数为f(x)=1 e22, G√2元 .4=85, 由P(70≤X≤100)=0.7， 得P(X>100)=1-0.7=0.15, 2 .∴.超过100分的人数大约为80000×0.15 =12000. 答案：12000 11.解：(1)李明平时选择骑自行车更稳妥， 由已知得坐公交车平均用时30min,骑自行车 平均用时34min,差距不大；但是坐公交车的 方差为36，骑自行车的方差为4，由于方差越 小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小，则 坐公交车所花费的时间不稳定，即李明平时选 择骑自行车更稳妥. 0M- (2)由图(a)中X和Y的概率密度曲线可知 P(X>38)>P(Y>38), 由此可知，如果某天有38min可用，那么李明 坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概 率，应选骑自行车； 由图(a)中X和Y的概率密度曲线可知 P(X>34)<P(Y>34), 由此可知，如果某天有34min可用，那么李明 坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概 率，应选坐公交车. 12.解：(1)由题意得： 设甲正确完成面试的题数为5，则专可能的取 值为1,2,3.P(g=2)=C2C=3. C85 (2)设乙正确完成面试的题数为，则？可能的 取值为0,1,2,3. P(=0)=c8×(传)°=7 P=1D=c×(号八×()‘-品 P=2=c×()八×（传）=号 P)-c×(- 应聘者乙正确完成题数？的分布列为 0 1 2 5 1 6 12 8 27 27 27 27 B3,号)， E()=3X 3-2 假期作业19 1.C[中位数是从小到大排序后，中间两位数的 平均侦4结4-4.] 2.B[依题意这组数据一共有5个数，中位数为 8,则从小到大排列8的前面有2个数，后面也 有2个数， 又因为唯一的众数为9，则有两个9，其余数字 均只出现一次，则最大数字为9，