假期作业17 二项式定理-【快乐假期】2025-2026学年中职高二数学寒假作业（人教版）

快乐假期 假期作业17二项式定理 恢弘志士之气，不宜妄自菲薄。 完成日期： 月 日 ●[每日一语] 重要的不仅是互相理解，而是在不理解的地方去发现彼此的尊重， 知识复盘 1.二项式定理 2.二项式系数及其性质 (1)定义 (1)(a+b)”的展开式中各项的二项式系数 一般地，对于任意正整数n,都有：(a十b)” C%、C、C号…C%具有如下性质： =Ca”十Ca”-1b十…十C%a-bm+…十 ①对称性：二项展开式中，与首末两端 Cmb"(n∈N*). “等距离”的两项的二项式系数相等，即 这个公式所表示的定理叫做二项式定 Cm=C”m; 理，等号右边的多项式叫做(a十b)”的 ②增减性与最大值：二项式系数在前半 二项展开式.式中的Ca”mb”叫做二项 部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小， 展开式的通项，用T,+1表示，即通项为展 在中间取得最大值.其中，当n为偶数 开式的第m十1项：Tm+1=Ca”"b”,其中 的系数Cm(m=0,1,2,…,n)叫做二项 时，二项展开式中间一项的二项式系数 式系数， C最大；当n为奇数时，二项展开式中 (2)二项式(a十b)”的展开式的特点： 间两项的二项式系数C号，C相等，且 ①项数：共有n十1项，比二项式的次数 最大 大1； (2)各二项式系数之和为2”，即C+C,十C ②二项式系数：第m+1项的二项式系 十C8+C十…十Ch=2”. 数为C”,最大二项式系数项居中； (3)二项展开式中各奇数项的二项式系数 ③次数：各项的次数都等于二项式的幂 之和等于各偶数项的二项式系数之和， 指数n.字母a降幂排列，次数由n到0； 字母b升幂排列，次数从0到n,每一项 即C%+C%+C4+…=C十C%+C%+… 中，a,b次数和均为n. =2-1. (3)二项展开式的通项公式Tm+1=Ca”b” (4)二项式系数与展开式的系数的区别 (m=0,1,2,…,n) 二项展开式中，第m+1项Ca"-mbm的 公式特点：①它表示二项展开式的第 二项式系数是组合数C,展开式的系数 m十1项，该项的二项式系数是Cm; 是单项式Ca”mbm的系数，二者不一 ②字母b的次数和组合数的上标相同. 定相等 素养提升 1.若x+ 的展开式有9项，则自然数 2.在(1一2x)3的展开式中，x的系数为 ( n的值为 ( A.-2 B.2 A.7 B.8 C.9 D.10 C.-6 D.6 ·38· 三022 高二数) 3.已知(x-2)5=a+a1（x-1)+a2(x- 11.已知(1-2x)=a+a1x+十a2x2十a3x 1)2+…+a(x-1)5,则a= ( 十…十awx”(n∈N*),该展开式二项式 A.-1B.0 C.1 D.32 系数和为32. 的二项式展开式中，常数 (1)求n的值； (2)求a十a1十a2十…十an的值. 项是 ( A.504 B.-84C.84 D.-504 (+ 的展开式中系数最大的项是 ( A.第5项 B.第6项 C.第5项、第6项 D.第6项、第7项 6.二项式(1一2x)225展开式中，各项系数的 和为 ( ) A.1 B.-1 12.已知[是+，广(n∈N)的展开式中前 C.2025 D.22025 3项的二项式系数之和等于29. 7.已知二项式x一元) 展开式的二项式系 (1)求n的值； (2)若展开式中x的一次项的系数 数和为64，则展开式中常数项为( 为56，求实数a的值. A.-120 B.-20 C.15 D.20 8.在版-2” 的二项展开式中，所有项的 二项式系数之和为256，则所有项的系数 和等于 9.已知(2+x)m=a,十a1x十a2x2+…十 anx",若a。十a1十a2十…十an=81,则自 然数n等于 10.已知二项式x+1 √E (n∈N*)的展开式 中第四项与第七项的二项式系数相等，则 展开式中常数项为 快乐驿酷 数学的魔力 乌斯克曾痴狂迷恋一个漂亮的女孩子，在无数次被拒绝后绝望，定下了自杀的日 期，决定在午夜钟声响起的时候，告别这个世界，不过在自杀的当天，由于他的效率极 高，在处理完其他所有事情后，还没到午夜，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便 地翻起了数学书， 很快，被库默尔解释柯西等前人证明费马大定理为什么失败的一篇论文吸引，那是 一篇伟大的论文，但他竞然发现了库默尔证明的一个漏洞，一直到黎明，他做出了这个 证明，他自己已也骄傲不止，于是一切皆成烟云. ·39·三0022 (3)可先排丙、丁有A种排法，则甲、乙只有一 种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有 AX1=12(种)，或看作定序问题尼 =12). 假期作业17 1.B[因为+)引 的展开式共有n十1项，所以n 十1=9，所以n=8.] 2.C[由题意知：展开式中含x的项为C·(一2x) =一6x,故x的系数为一6.] 3.A[令x=1,则(1-2)5=a+a1(1-1)+a2(1 -1)2+…十a5(1-1)5=a=-1.] 4.C[根据二项展开式的通项公式Tm+1= C(x2)9-m(-x1)m=(-1)mC0x18-3m, 令18-3m=0,解得m=6, .常数项为T,=(-1)C=84.] 5.B[由(+)”的展开式的通预为T1 C0x0m,知展开式中系数最大的项即二项式 系数最大的项，即C最大，所以m=5,即第6 项的系数最大.] 6.B[令二项式(1-2x)2025中x=1,则各项系数 的和为(1一2×1)2025=（-1)2025=一1.故 选B.] 7.B[根据题意可得2=64，解得n=6, 则(2一)展开式的通项为工1=Cx (-广=-1Dcx令6-2m=0, 得m=3, 所以常数项为T,=Cx(-)'=-C心 6×5×4=-20.] 3×2×1 8解析：（版-圣） 的二项式系数和为2”=256， 可得n=8， 所以（版-） 的所有项的系数和为(1一2)8 =1. 答案：1 9.解析：令x=1,则(2十1)=3=a十a1十a2十…十an =81,所以n=4. 答案：4 10.解析：由题意得C=C, 所以n=9, 的展开式的通项公式为 T=cx(2x”=()”Gx, 令g-m=0,得m=6, 所以常数项为T,=(合)”C-器 答案器 11.解：(1)由题意，结合二项式系数的性质可得， 2"=32,解得n=5. (2)在展开式中令x=1,得-1=a0十a1十a2+ …十an, 即a0十a1十a2十…十an=-l. 12.解：(1)由题设，Cg+C十C=29,整理得 n2+n-56=0,解得n=-8(舍)或n=7. (2)由(1)知：二项式展开式通项为Tm+1= C?(ax2)7-mx是=a7-mCx14+号， 当m=6时为含x的项，故7a=56,解得a=8. 假期作业18 1.C[由随机变量的分布列的性质知0.15+ 0.35+m十0.25=1，解得m=-0.25.] 2.B[X=3表示选出的4个代表中有3个男生1 个安生，周P0X-》-管智-] 3.D[由随机变量服从正态分布N(μ，o),可得 正态曲线的对称轴为x=μ， 因为P(≤c)=P(>c),所以c=4.] 4.D[分布列中出现的所有的概率之和等于 1,0.3+m+0.4=1,m=0.3, ∴.随机变量的数学期望E()=1×0.3十3× 0.3+5×0.4=3.2.] 5.D[因为随机支量B(4,号)， 所以P=3)=C×(号)八×(1-)=器】