假期作业16 计数原理、排列与组合-【快乐假期】2025-2026学年中职高二数学寒假作业（人教版）

三-0022 假期作业16计数原理、排 ●[每日一语] 别和往事过不去，因为它已经主 知识复 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基本形式 一般形式 完成一件事有 完成一件事有n类 两类不同方 不同方案， 案， 在第1类方案中有 在第1类方案 m1种不同的方法， 类 中有m种不 在第2类方案中有 同的方法， m2种不同的方法， 法 在第2类方案 数 中有n种不同 在第n类方案中有 原 的方法， m,种不同的方法，那 理 那么完成这件 么完成这件事共有 事共有 N=m1+m2+… N=m+n种 十m,种不同的方 不同的方法. 法. 完成一件事需要n 完成一件事需 个步骤， 要两个步骤， 做第1步有m1种 分 做第1步有m 不同的方法， 乘 种不同的方法， 做第2步有m2种 做第2步有n 不同的方法， 计 种不同的方法， 原 那么完成这件 做第n步有mn种 理 事共有N=m 不同的方法，那么 ×n种不同的 完成这件事共有N 方法. =m1Xm2X…X mn种不同的方法， 2.排列与排列数 (1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素，并按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个排列， (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同排列的个数，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的排列数，用 符号A表示. ·35 列与组合 积土而为山，积水而为海。 完成日期： 月 日 过去；别和现实过不去，因为你还要过下去， 盘 (3)排列数公式的两种形式 ①A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),其 中m,n∈N*,并且m≤n. ②A=a2T (4)全排列：把n个不同的元素全部取出的 一个排列，叫做n个元素的一个全排 列，全排列数为A”=n!(叫做n的阶 乘).规定：0！=1. 3.组合及组合数的定义 (1)组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素作为一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的组合数，用 符号C表示 (3)排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素 排列问题中元素有序，组合问 不同点 题中元素无序 组合数C与排列数A间存 关系 在的关系：A=CA% (4)组合数公式 组 乘积 C=nn-1)(n-2)…(n-m+1) 合 m! 形式 数 其中m,n∈N,并且m≤n 公 阶乘 n! 式 形式 C=mn！(n-m)刃 规定：C=1. (5)组合数的性质 性质1：C=C%m 性质2：C%+1=CW+CW1 快乐假期 素养 1.书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的动漫书，第3层放 有2本不同的地理书，从书架上任取1本 书，不同的取法总数为 ( A.10 B.24 C.9 D.12 2.从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙 地有2种走法，若从甲地到达丙地必须 经过乙地，则从甲地到丙地的不同走法 的种数为 ) A.5 B.6 C.8 D.12 3.计算C的结果是 A.28 B.14 c n号 4.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日 战争胜利80周年阅兵庆典后，在天安门 广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相 邻且都不站在两端的排法有 ( A.12种 B.24种 C.48种 D.120种 5.某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、 2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐， 则可以配成不同套餐的种数为() A.14 B.64 C.72D.80 6.6名同学安排到3个社区A,B,C参加志 愿者服务，每个社区安排两名同学，其中 甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不 能到C社区，则不同的安排方法种数为 ( A.12 B.9 C.6 D.5 7.从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数 和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位 数，这样的三位数共有 ( ) A.9个 B.24个C.36个D.54个 c0M-= 提升 8.某市的有线电视可以接收中央台12个 频道，本地台8个频道和其他省市40个 频道的节目.若有3个频道正在转播同 一个节目，其余频道正在播放互不相同 的节目，则一台电视可以选看的不同节 目共有 个 9.某班从3名男同学和5名女同学中，选取3 人参加学校的“创文知识”竞赛，要求男女生 都有，则不同的选法共有 种 10.用数字0,1,2,3,4,5,6组成 个没有重复数字并且是5的倍数的五 位数. 11.某电视台连续播放6个广告，其中有3 个商业广告、2个宣传广告和1个公益 广告，要求最后播放的不能是商业广 告，宣传广告与公益广告不能连续播 放，2个宣传广告也不能连续播放，则有 多少种不同的播放方式？ 36· 三0022 意二数樂恐 12.2025蛇年春节档电影《哪吒之魔童闹 (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不 海》，这部电影延续了《魔童降世》的传 在第三位、丁不在第四位； 奇，再次展现了哪吒的勇敢与坚强.现 (3)甲一定在乙的右端（可以不相邻）. 有名同学相约一起去观看该影片，他们 的座位在同一排且连在一起.甲、乙、 丙、丁四名同学排成一排，分别计算满 足下列条件的排法种数： (1)甲不在排头、乙不在排尾； 快乐驿站 悖论问题 我正与同学讨论一悖论问题：村里唯一的理发师每月一定要给自己不理发的人理 发，问理发师的头谁理？真难！若是理发师自己理发，就是给自己理发的人理发，若是 理发师自己不理发，就是不给自己不理发的人理发，好深奥啊！讨论半天毫无结果， 后排同学线某插过来一句话：这还不简单，理发师秃头呗！ ·37·火受快乐假期 (2)若之在复平面内对应的点在第二象限， 则W2a+i-a<0 ,解得a>1十√2. (a-1>0 12.解：a,B为实系数一元二次方程ax2+bx十c =0的两个虚根， x=一b士4ac-Fi,不妨设a=m十i(m,m∈ 2a R),则B=m-mg=g'9∈R,则。∈R, 即m3-3mn2+(3m2n-n3)i∈R, ∴.3m2n=n3,n≠0，∴.n2=3m2, 即4ac-b2=36,化简ac=b2, x=-b生361，若a=-b寸36 2a 2a 州8-云盈号日复. 若a=-b36i 2a 则8-含号-日9 综上所速，合名士 假期作业16 1.C[根据题意可得从书架上任取1本书，有 4种十3种十2种=9种不同的取法.] 2.B[由分步计数原理可知，从甲地到丙地的不 同的走法种数为2X3=6.] &-器-14] 3.B[ 6×5 2 4.B[甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元 素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有 C2AA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的 排法有AA2-C2AA2=24(种).] 5.B[因为备有4种荤菜，8种素菜，2种汤，所以 荤菜有4种选法，素菜有8种选法，汤菜有2种 选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配 制出不同的套餐有4×8×2=64种.] 6.B[当乙、丙中有一人在A社区时有C2CC2= 6种安排方法；当乙、丙两人都在B社区时有 CC=3种安排方法，所以共有9种不同的安排 方法.] 7 00-= 7.D[先从3个偶数中选出1个，再从3个奇数 中选出2个，先选后排，共有CC2A=3×3X6 =54(个).] 8.解析：由题意可得该市的有线电视可接收12十8 十40=60个频道，而其中3个频道播放1个节 目，其余57个频道互不相同，则可选看57+1= 58个节目. 答案：58 9.解析：若1男2女，则有CC=30, 若2男1女，则有CC=15, 合计30+15=45. 答案：45 10.解析：若未位为0，则可组成A个满足题意的 五位数；若末位为5，则可组成AA个满足题 意的五位数，共可组成满足题意的五位数有 A4+AA=660个. 答案：660 11.解：用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则 完成这件事有3类方法. 第1类，宣传广告与公益广告的播放顺序是2， 4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2× 1×1=36种不同的播放方式； 第2类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1， 4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2× 1×1=36种不同的播放方式； 第3类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1， 3,6.同样分6步完成这件事，共有3×3×2× 2×1×1=36种不同的播放方式， 由分类加法计数原理，得6个广告不同的播放 方式共有36+36+36=108种. 12.解：(1)法一：直接排，要分甲排在排尾和甲既 不排在排头也不排在排尾两种情况 若甲排在排尾共有A1A=6种排法. 若甲既不在排头也不在排尾共有A2A2A=8 种排法，由分类计数原理知满足条件的排法共 有A1A+A2A2A=14(种). 法二：也可间接计算：A一2A+A=14(种). (2)可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在 第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁 只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的 所有排法共有3×3×1=9（种）. 三0022 (3)可先排丙、丁有A种排法，则甲、乙只有一 种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有 AX1=12(种)，或看作定序问题尼 =12). 假期作业17 1.B[因为+)引 的展开式共有n十1项，所以n 十1=9，所以n=8.] 2.C[由题意知：展开式中含x的项为C·(一2x) =一6x,故x的系数为一6.] 3.A[令x=1,则(1-2)5=a+a1(1-1)+a2(1 -1)2+…十a5(1-1)5=a=-1.] 4.C[根据二项展开式的通项公式Tm+1= C(x2)9-m(-x1)m=(-1)mC0x18-3m, 令18-3m=0,解得m=6, .常数项为T,=(-1)C=84.] 5.B[由(+)”的展开式的通预为T1 C0x0m,知展开式中系数最大的项即二项式 系数最大的项，即C最大，所以m=5,即第6 项的系数最大.] 6.B[令二项式(1-2x)2025中x=1,则各项系数 的和为(1一2×1)2025=（-1)2025=一1.故 选B.] 7.B[根据题意可得2=64，解得n=6, 则(2一)展开式的通项为工1=Cx (-广=-1Dcx令6-2m=0, 得m=3, 所以常数项为T,=Cx(-)'=-C心 6×5×4=-20.] 3×2×1 8解析：（版-圣） 的二项式系数和为2”=256， 可得n=8， 所以（版-） 的所有项的系数和为(1一2)8 =1. 答案：1 9.解析：令x=1,则(2十1)=3=a十a1十a2十…十an =81,所以n=4. 答案：4 10.解析：由题意得C=C, 所以n=9, 的展开式的通项公式为 T=cx(2x”=()”Gx, 令g-m=0,得m=6, 所以常数项为T,=(合)”C-器 答案器 11.解：(1)由题意，结合二项式系数的性质可得， 2"=32,解得n=5. (2)在展开式中令x=1,得-1=a0十a1十a2+ …十an, 即a0十a1十a2十…十an=-l. 12.解：(1)由题设，Cg+C十C=29,整理得 n2+n-56=0,解得n=-8(舍)或n=7. (2)由(1)知：二项式展开式通项为Tm+1= C?(ax2)7-mx是=a7-mCx14+号， 当m=6时为含x的项，故7a=56,解得a=8. 假期作业18 1.C[由随机变量的分布列的性质知0.15+ 0.35+m十0.25=1，解得m=-0.25.] 2.B[X=3表示选出的4个代表中有3个男生1 个安生，周P0X-》-管智-] 3.D[由随机变量服从正态分布N(μ，o),可得 正态曲线的对称轴为x=μ， 因为P(≤c)=P(>c),所以c=4.] 4.D[分布列中出现的所有的概率之和等于 1,0.3+m+0.4=1,m=0.3, ∴.随机变量的数学期望E()=1×0.3十3× 0.3+5×0.4=3.2.] 5.D[因为随机支量B(4,号)， 所以P=3)=C×(号)八×(1-)=器】