假期作业13 直线与平面的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年中职高二数学寒假作业（人教版）

-0022 假期作业13直线与平面的位置关系 运筹帷幄之中，决胜千里之外。 完成日期： 月 日 ●[每日一语]心里最崇拜谁，不必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己. 知识复盘 1.直线与平面的位置关系 直线与平面平行的性质定理 (1)直线在平面内一有无数个公共点； 如果一条直线和一个平面平行， (2)直线与平面相交—有且只有一个公 文字 那么经过这条直线的任一平面 共点； (3)直线与平面平行一没有公共点. 语言 和这个平面的交线与这条直线 当直线与平面相交或平行时，直线不在 平行 平面内，也称为直线在平面外.直线a m∥a,m二3，a∩B=n→m//n 在平面a外可用a寸a来表示. 符号 2.空间中直线与平面位置关系的符号表示 语言 和图形表示 B 图形 直线a与 直线 位置 直线a在 e 平面a相 与平面 语言 关系 平面a内 交 a平行 4.线面垂直的定义 有且只有 有无数个 没有公 如果一条直线和一 公共点 一个公共 公共点 共点 个平面内的任何一 点 条直线都垂直，那 符号 aCa a∩a=A 么称这条直线和这个平面互相垂直.这 表示 a∥a 条直线称为这个平面的垂线，这个平面 图形 称为这条直线的垂面，直线与平面的交点 表示 称为垂足.直线l与平面a垂直记作l⊥a. 3.线面平行的证明 5.直线与平面垂直的判定定理 直线与平面平行的判定定理 如果一条直线和一个平面内 文字 如果平面外的一条直线与这个 的两条相交直线都垂直，那么 文字 语言 平面内的一条直线平行，那么这 该直线与此平面垂直 语言 条平面外直线与这个平面平行. 符号 l⊥a,l⊥b,aCa,bCa,a∩b= 符号 语言 mta,nca,且m∥n,→m∥a. 语言 A→l⊥a 图形 图形 语言 语言 27. 火必快乐假期 6.直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面相交但不垂直，就称直 线是平面的斜线.斜线与平面的交点称 为斜足，经过斜线上不是斜足的一点作 规定：当直线在平面内或直线与平面平 平面的垂线，连接垂足与斜足的直线称 行时，它与平面所成的角是0；当直线与 为斜线在这个平面上的射影 平面垂直时，它与平面所成的角为分.于 (2)线面角的定义：平面的一条斜线和它在 平面上的射影所成的锐角， 是，直线与平面所成的角的范围为[0，]， 素养提升 1.如果直线aC平面a,直线bC平面B, △ABC,△PBC中，直角三角形的个数是 且a∥B,则a与b ( A.共面 A.1 B.2 C.3 D.4 B.平行 6.下列命题正确的是 ) C.是异面直线 A.一直线与平面平行，则它与平面内任 D.可能平行，也可能是异面直线 一直线平行 2.在长方体ABCD一AB1C1D1的六个面 B.一直线与平面平行，则平面内有且只 中，与直线BB,垂直的面的个数有 有一条直线与已知直线平行 ( C.一直线与平面平行，则平面内有无数 A.1 B.2 C.3 D.4 直线与已知直线平行，它们在平面内 3.若直线L∥平面α，则过l作一组平面与α 彼此平行 相交，记所得的交线分别为a,b,c,…,那 D.一直线与平面平行，则平面内任意直 么这些交线的位置关系为 线都与已知直线异面 A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 7.已知在长方体ABCD一 C.都相交但不一定交于同一点 AB1CD中，AB=AD=1, D.都平行或交于同一点 AA1=2,那么直线A,C与 4.下列说法正确的是 平面AA,D1D所成角的正 D A.如果两条平行线中的一条垂直于一个 弦值为 ( ) 平面，那么另一条也垂直于这个平面 B.35 C.3 D. B.垂直于同一平面的两直线不一定平行 A.6 6 6 ·3 C.过一点有无数条直线和一个平面垂直 8.如图所示，已知AF⊥ D.过一点有两个平面和一条直线垂直 平面ABCD,DE⊥平 5.如图所示，AB是圆O的 面ABCD,且AF= 直径，C是异于A,B两点 DE,AD=6,则EF= 的圆周上的任意一点， PA垂直于圆O所在的平 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1与 面，则△PAB,△PAC, 平面ABCD所成角的大小为 ·28· 三0022 禽三致类) 10.在正方体ABCD-AB1C1D1中，过 12.已知四棱锥P-ABCD中，AB∥CD, A1,C1,B三点的平面与底面ABCD的 AB LBC,AB-PA=4,BC=CD=2, 交线为l,则直线1与A1C1的位置关系 PB=2√6，PD=2√2， 为 .（填“平行”“相交”或“异面”) 11.如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD 为正方形，E为PB的中点.证明：PD ∥平面EAC. (1)求证：AD⊥BP; (2)求直线PC与平面PBD所成角的正 弦值. 快乐驿站 无理数的发现 古希腊有个毕达哥拉斯学派在数学研究上有很大成绩，不过该学派有一个信条：宇 宙间的一切数都能归结为整数或整数之比，但毕氏的一个门徒希伯索斯，在研究等腰直 角三角形斜边与一直角边之比时，发现其比不能用整数或整数之比表述，便很吃惊，但 这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的根基，所以被禁止传播。 但真理是封不住的，不管其他的毕氏门徒如何反对，希伯索斯还是与别人对无理数 进行了讨论，这样无理数也进入了人们的视野，闯入了数的圣地，使数的概念又扩展了 一步，无理数是稠密的，任何两个有理数之间，不管它们多么接近，都存在着无限多个无 理数，但他本人却因为违背学派而被抛入大海处死. ·29·壁快乐假明 8.解析：平面是无限延展的，没有长度、厚度，通常 用平行四边形表示平面，但平面不是平行四边 形.题中只有③正确， 答案：1. 9.解析：若c∥b,因为c∥a,则a∥b,与已知a、b是 异面直线矛盾， 所以直线c与直线b不平行， 则当直线c与直线b在同一平面时，则相交，当 直线c与直线b不在同一平面时，则异面， 答案：相交或异面. 10.解析：与直线A1B相交的有AB1,BC1,A1F, EF1,CD1与直线AB平行的有DE1,剩余的 BC,AF1,CD,D1E,E1F与直线A1B异面， 共5条. 答案：5 11.解析：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、 CC、DD'、D'C'、BC'所在直线分别与直线 BA'是异面直线； (2)由BB∥CC可知，∠BBA'为异面直线 BA'与CC'的夹角，∠BBA'=45°，所以直线 BA'和CC的夹角为45° 12.解析：(1)由图易得AB与DD1异面； (2)由图易得DE与BC异面； (3)连接D,G与EB, D D 因为E,G分别是棱AA1,CC1的中点， 所以A,E=CG,由勾股定理得：D,E=BG,BE =DG, 故四边形D1EBG为平行四边形，所以D1E与 BG共面； (4)连接DC,EF, 因为E,F分别是棱AA1,AB的中点，所以EF ∥AB, 又因为A1B∥D,C,所以EF∥DC,所以D1E 与CF共面 C B D .6 00-= 假期作业13 1.D[a∥B,说明a与b无公共点，∴.a与b可能 平行也可能是异面直线.] 2.B[如图所示，仅有平面ABCD和平面 A1B1C1D1与直线BB1垂直. D B 3.A[由直线l∥平面a,过1作平面B且a∩B= a,则l∥a,同理可知l∥b,l∥c,…, ∴.a∥b∥c∥…，即交线均平行.] 4.A[根据直线与平面垂直的性质定理与判定定 理知：选项B应是垂直于同一平面的两直线平 行；选项C应是过一点有且只有一条直线和一 个平面垂直；选项D应是过一点有且只有一个 平面和一条直线垂直.故答案为A.] 5.D[.AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°，即 BC⊥AC. ∴.△ABC为直角三角形， 又，PA⊥⊙O所在平面，AC,AB,BC都在⊙O 所在平面内， ∴.PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,.△PAC、 △PAB是直角三角形， 又.PA∩AC=A,PA⊥BC,AC⊥BC,且PA, ACC平面PAC,,.BC⊥平面PAC .PCC平面PAC,∴.BC⊥PC,.△PBC是直 角三角形， 从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC均为直角 三角形.] 6.C[根据直线与平面平行的性质逐一判断即 可.一直线与平面平行，则它与平面内任一直线 平行或异面，故A不正确； 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已 知直线平行，它们在平面内彼此平行，故C正 确，B不正确； 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已 知直线平行或异面，故D不正确.] 三-0022 7.A[根据长方体性质知：CD⊥ D 面AA1D1D, 故∠CAD为AC与平面 AA1D1D所成的角， AA1=2,AB=AD=1→CA1= √12+12+22=√6， D 所以sin∠CA,D-R=5] 8.解析：，AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD, 则AF/DE, 又，AF=DE,则四边形AFED为平行四边形， ∴.EF=AD=6. 答案：6. 9.解析：由于BB1⊥平面 D ABCD,故∠BAB1即为 B, AB1与平面ABCD所 成角， 因为BB1=AB,所以 ∠BAB,=F, 故AB,与平面ABCD所成角为至 答案：晋 10.解析：根据正方体的性 D 质可知：AC1∥AC, 由于AC1寸平面AB CD,ACC平面ABCD, D: 所以AC∥平面ABCD, 由于平面A,C,B∩平 B 面ABCD=L,ACC平面A1CB,所以L∥AC. 答案：平行 11.解析：连接BD,交AC于O,连接EO, 因为底面ABCD为正方形，所以O为BD的 中点， B 因为E为PB的中，点，所以EO是△PBD的中 位线，所以EO∥PD, 因为EOC平面EAC,PD￠平面EAC, 所以PD∥平面EAC. ·67 高三数 12.解析：(1)在梯形ABCD中，AB⊥BC,AB=4, BC=CD=2, 可算得AD= (AB (2 +BC=2√2，BD= √BC2+CD=2√2， 所以AD2+BD=AB2,所以AD⊥BD, 在△PAD中，PA=4,PD=AD=2√2，满足 PA2=AD2+PD2,所以AD⊥PD, 又因为PDC平面PBD,BDC平面PBD,且 PD∩BD=D, 所以AD⊥平面PBD,又因为BPC平面 PBD,所以AD⊥BP; (2)由(1)证明可知，AD⊥平面PBD,因为AD C平面ABCD, 则平面PBD⊥平面ABCD,取BD中，点O,连 OP,OC, 因为BC=CD,所以OC⊥BD,又因为OCC平 面ABCD,且平面PBD∩平面ABCD=BD, 所以OC⊥平面PBD,所以∠OPC就是PC与 平面PBD所成的角， 在△BCD中，易得OC=√2， 在△PBD中，PB=2√6，BD=PD=2√2，则 cos∠PDB=PD±BD-PB=8+8-24 2XPDXBD 2X22X2√2 ∴.OP2=PD2+DP2-2 PDX DOXcos.∠PDB =8+2-2×22×E×(合)=14，计算可 得OP=√14， _2 所以sin∠OPC=PC4中2， 所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值 为②