假期作业7 平面向量的内积-【快乐假期】2025-2026学年中职高二数学寒假作业（人教版）

快乐假期 0M= 假期作业7 平面向量的内积 锲而不舍，金石可镂。 完成日期： 月 日 ●[每日一语] 在天意时终会明白，有些热爱如若无法代替，那么有些坚强必将绝处逢生. 知识复盘 1.向量的夹角 3.内积的运算律 对于非零向量a和b,作OA=a,O庐=b 已知向量a、b、c和实数入，则： ①a·b=b·a;②(a)b=λ(a·b)=a· 称射线成的夹角为向量a和b的夹角，记 (b);③(a+b)·c=a·c+b·c. 作(a,b〉，当a和b同向时，〈a,b〉=0，当 4.内积的性质 a和b反向时，〈a,b〉=元，因此平面向量 设a、b都是非零向量，e是与b方向相同 的单位向量，0是a与e的夹角，则 夹角的范围为[0，π] ①e·a=a·e=acos0.②a⊥b台a·b 2.向量的内积 =0.③当a与b同向时，a·b=al|b; 已知两个非零向量a与b,我们把数量 当a与b反向时，a·b=-abl. |a|bcos0叫做a与b的内积（或数量 特别地，a·a=a2或a=√a·a. 积)，记作a·b,即a·b=allblcos0,规 ④cos0=日治1a1b1≠0.⑤1a·b 定：零向量与任一向量的数量积为0 ≤alIb. 素养提升 1.已知向量|a=1,|b|=2,且两向量夹角 5.已知单位向量a·b满足a·(b-a)= 为行，则ab= ( 日，则a与b夹角的大小为 A.1 B.2 C.√3 D.-√3 A晋 B. c D. 2.已知向量a·b的夹角为，且a=1, 6.已知a|=1,|b|=2,a与b的夹角为 1b|=√3，则(2a-b)·(a+b)=( 60°，则|a十b ( A.-1-3 A.7 B.7 C.3 D.2√3 7.在四边形ABCD中，若A+CD=0,且 c D-8 |A方-AD1=|A官+A市1，则该四边形是 3.有4个式子：①0·a=0;②0·a=0;③0 -Ai=BA;④|a·bl=a|b|; A.正方形 B.菱形 其中正确的个数为 ( ) C.矩形 D.等腰梯形 A.4 B.3 C.2 D.1 8.当a·b=|a|b|时，向量a与b的位置 4.已知向量a,b的夹角为登a·b=3,b 关系是 =2,则|a ) 9.平面向量a与b的夹角为120°，a=(2, A.2 B.3 C.6 D.12 0),b=1,则2a+b1= ·14 三-022 高三数恐) 10.已知a=4,1b|=1且(2a-3b)·b=3, 12.已知|a|=2,|b|=1,且a-b与a+2b 则向量a,b夹角的余弦值为 互相垂直，求证：a⊥b. 11.已知a=4,|b=5,a与b的夹角为0. 满足下列条件时，分别求a与b的数量积. (1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为 30时. 数学魔术家 1981年的一个夏日，在印度举行了心算比赛.表演者是印度的一位37岁的妇女，她 的名字叫沙贡塔娜.当天，她要以惊人的心算能力与一台先进的电子计算机展开竞赛. 工作人员写出一个201位的大数，让求这个数的23次方根.运算结果，沙贡塔娜只 用了50秒钟就向观众报出了正确的答案.而计算机为了得出同样的答案，必须输入两 万条指令，再进行计算，花费的时间比沙贡塔娜要多得多. 这一奇闻，在国际上引起了轰动，沙贡搭娜被称为“数学魔术家” ·15·假期作业6 1.A[对于(1)，温度与功没有方向，不是向量，故 (1)错误；对于(2)，零向量的方向是任意的，故 (2)错误；对于(3)，零向量的模为0，不是正数， 故(3)错误；对于(4)，非零向量的单位向量的方 向有两个，故(4)错误；] 2.B[对A,单位向量模长相等方向不一定一致， 故A错误； 对B,零向量与任意非零向量共线，故B正确； 对C,平行向量即共线向量，故C错误； 对D,零向量与它的相反向量相等，故D错误.] 3.A[因为相等向量是指长度相等且方向相同的 向量，O为正六边形ABCDEF的中心， D心与OA模相等且方向相同，所以是相等向量， 故A正确； E心与OA只是模相等的向量，故B错误； F♂与OA只是模相等的向量，故C错误； C心与OA只是模相等的向量，故D错误.] 4.B[由长方体的结构特征，有CC=BB, 则AB-A市+CC=D范+CC=Di+BB,=DB.] 5.C [AC-BD+CD-AB+BC=AC+CD+ DB+BA+BC=0+BC=BC.] 6.B[由B市=D心可得D为BC边中，点，如图 所示： B A市=AB+B市=AB+2BC=AB+2(A心 A)=号A+号AC] 7.A[M、P、Q三点共线，则M萨与P夜共线， ∴Mi=λP夜，即4e1+2e2=λ(2e1+te2),得 2,解得=工. 8.解析：满足条件的向量有以下几类： 模长为2的向量有：AC,C才，BD,DB 模长为3的向量有：AD,DA! 答案：AC,CA,B市，D谚，A方，D才 9.解析：0=Oi+A市=0i+A市=Oi+ 青0i-0)=-}0耐+号Oi,故答案为 ·6 sE 3oi+0破. 答案：-30i+40成 10.解析：因为a∥b,所以了入∈R,使得b=a成 立，即e1+6e2=3e1-2λe2. 1k=3入 因为e2,e2不共线，所以 解得=一3 16=-2a' k=-9 答案：一9. 11.解：(1)原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a +7b. (2)原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c. (③)原式=号(a-3b+号b-号a+子b)-是 12.解：因Ai=-4a+3b,BC=2a+3b, 则心=多花=号(A+B)=(-4a十 36)+(2a+3b)]=2(-2a+6b)=-3a+9b, 所以O心=-3a+9b. 假期作业7 1.A[a·b=号=1×2×2=1.] 2.D[(2a-b)·(a+b)=2al2+a·blcos6 π -|b12=2+1×3× 3.C[由向量乘以实数仍然为向量，所以0·a= 0,故①正确，②错误； 由A市+BA=AA=0,所以0-AB=BA,即 ③正确；由a·b=alb||cos,得a·b|= |a|b不一定成立，故④错误.] 4,B[依题意，a…b=a·b·cos牙-a×2 ×2=a=3.] 5.D[a·(b-a)=a·b-a2= 1a1bcos〈a,b》-a2=-,周为a,b为单 位向量，所以c0s〈a,b)=2,因为(a,b)∈[0， ],所以a,b=至] 三0022 6.A[因为a·b=a|1 blcos60°= 1×2×2=1, 所以|a+b|=√a2+2a·b+b2=√1+2+2 =√7.] 7.C[因为|AB-AD|=|A克+AD1,则(A克 AD)2=(A市+AD)2, 即AB2+AD一2A克·AD=AB2+AD+ 2A官·AD,整理可得A官·A方=0， 易知A官、A方均为非零向量，则A范⊥A方， 因为AB+CD=0,则AB∥C市且|A1=|C市1， 所以四边形ABCD为矩形.] 8.解析：设向量a与b的夹角为0，因为a·b|= lal bllcos el,la.b=lalbl, 所以|c0s0=1,此时0=0或π，所以向量a与b 的位置关系是共线 答案：共线 9.解析：|2a+b2=4a2+4a·b+b2=4×4+4a ·|b1cos120°+1=16-4+1=13，所以|2a+b =√/13. 答案√13 10.解析：设向量a,b的夹角为0，因为(2a一3b)·b =2a·b-3|b|2=2×4X1×cos0-3=3,所 以os0=是 答案：是 11.解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则0=0°，a· b=|albcos0°=4×5=20. 若a与b反向，则0=180°，a·b=|a|b|cos180° =4×5×(-1)=-20. (2)a⊥b时，0=90°，a·b=al1b|cos90°=0. (3)当a与b的夹角为30时，a·b=a|bcos30° =4X5×9-10E 12.解析：证明：因为a一b与a十2b互相垂直， 所以(a-b)·(a+2b)=0,即a2+a·b-2b2 =0. 又因为a2=|a|2=2,b2=b12=1,所以a·b =2b2-a2=2×1-2=0. 因为a,b是非零向量，所以a⊥b. ·6 二数恐 假期作业8 1.D[由图象可得A(2,2),B(1,1),所以A= (-1,-1).] 2.D[设D(x,y),则C市=(x,y-1),2A=(2, -2), 根据C市=2AB,得(x,y-1)=(2,-2), 一1=一2解得/=2 即/2-2 y=一1所以点D的坐标 为(2，-1).] 3.B[由题意知AB=(3,2),AC=(1,4),故BC= AC-AB=(1,4)-(3,2)=(-2,2).] 4.B[a十3b=(2+3x,7),a-b=(2-x,-1),因 为(a+3b)∥(a-b),所以(2+3x)×(-1)= 7X(2-x),解得x=4.] 5.D[a=(1,λ)，b+2a=(1,-3),所以b=(1, -3)-2(1,)=(-1,-3-2λ)， 因为a⊥b,所以a·b=-1×1一(3+2入)1=0， 解得入=-1或-2] 6.B[设a与b的夹角为0，因为a=(1,√2)，|b =25,a·b=-3,所以coas9=日治 -3 3x23-2, 1 因为0°≤0≤180°，所以0=120°，即a与b的夹 角是120°，故选：B.] B[由e/b知：b=c且X∈R,则2以=1 ,可 1-4λ=y】 得y=-2,即b=(1,-2),由a⊥b知：x-2= 0,可得x=2,即a=(2,1),所以a十b=(3,一1)， 故a+b|=√/I0,故选：B.] 8.解析：因为向量a=(t,4),b=(1,t)且a∥b, 所以t×t-4X1=0,解得t=士2. 答案：士2 9.解析：由a,b共线，则m2-4=0,得m2=4,即m =士2， 又a与b方向相反，故m=一2， 答案：一2 10.解析：A市=AC+C市=(a,4)+(-1,3)= (a-1,7),由于AB⊥A方、A方∥C市，所以