假期作业4 数列的概念、等差数列-【快乐假期】2025-2026学年中职高二数学寒假作业（人教版）

快乐假期 0M= 假期作业4数列的概念、等差数列 有志者，事竟成。 完成日期： 月 日 ●[每日一语]不要站在现在的高度，去判定未来的事情，因为未来的你是会成长的，会有 新的判断和选择， 知识复盘 1.数列的概念 4.等差数列的定义 按照一定次序排成的一列数称为数列； 当一个数列从第二 数列中的每一个数称为这个数列的项， 项起，每一项与它 从开始的项起，从左至右排序，各项按照 前一项的差都等于 其序号依次称为数列的第1项 同一个常数时，就称这个数列为等差数列 (或首项)，第2项，第3项，…，第n项，… 2.数列的分类 这个常数叫做等差数列的公差，一般用 有穷数列：项数有限的数列； 字母d表示， 无穷数列：项数无限的数列. 可知：at1一an=d,则an+1=an十d. 3.数列的表示 2.等差数列的通项公式 一般形式为a1,a2,…,an,…,简记 an=a1+(n-1)d. 为{an}. [注意]等差数列的通项公式中，可以 通常把第n项称为数列的通项公式或第 把an看作n的函数. n项.一个数列的第n项an如果能够用 3.等差数列的前n项和公式 关于n的一个式子来表示，那么这个式 子就称为这个数列的通项公式， S=n(ata,) 2 S。=na1+n(n-1)。 2 素养提升 1.已知数列1,3，√5，√7,3，√11，…， 5.在数列{a}中，已知a1=a,十1，且 a, √2n一1，…，则7是这个数列的 ( a1=1,则a4= ( A.第21项 B.第23项 C.第25项 D.第27项 A.2 c D.29 2.等差数列3,11,19,27，…的通项公式是 6.数列{an}中，an+2=an+1-an,a1=3,a2=5, ( 则a4= ) A.a,=8n+5 B.a=8n-5 A.-3 B.9 C.-5 D.13 C.an=-8n-5 D.an=-8n+5 7.某同学利用寒假进行网络平台勤工俭 3.在数列{an}中，a1=1,an+1=3an-1,则 ) 学，共收人1200元，第一天收入10元， a4= A.5 B.6 C.14 D.15 之后由于技术熟练，从第2天起每天的 4.在等差数列{an}中，若a3=5,a,=1,则 收入都比前一天多10元，该同学一共进 S6= () 行的天数是 () A.60 B.57 C.30 D.27 A.14 B.15 C.16 D.17 ·8· 三0022 富三数) 8数列号，一号引一8…的一个通项公 82680 12.在等差数列{an}中，a2十a=24,a1,=66. (1)求a2o26的值； 式是 (2)2026是否为数列{a,n}中的项？若 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1 是，则为第几项？ =2,S=30,则公差d= 10.在等差数列{an}中，已知a1=3, d=-1,Sn=-4,则n= 11.已知数列{an}的前n项和S,=n2十3n +2,判断{a,}是否为等差数列. eooo快乐痒站55566666660060066000906666 冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学知识，因为球形使身体 的表面积最小，从而散发的热量也最少。 ·9·坐快乐假期 11.解：(1)a2-b=√2ac-c2变形为 a2+c2-b2=√2ac, 所以cosB=a2+c-B=2 2ac 2, 因为B∈(0，)，所以B=军 (②)周为csC-号且Ce0,m, 所以sinC=√1-cosC=7V2 10 sin Bsin C,即5=c 由正弦定理得6 1π7√2 sin 4 10 解得c=7. 12.解：如图所示，设∠ACD=a,∠CDB=B. 北 A 20 人40东 21 在△CBD中，由余弦定理的推论得cosB= BD2+CD-CB=202+21-31= 1 2BD·CD 2×20×2=-7, sing=√1-cos'p=4y5 71 .sina=sin(8-60)=sin Bcos60°-cos Bsin60° -9x分()×9- 在△ACD中，由正弦定理得21 _AD sin60°-sin a :AD=21 sin=15(千米). sin60° .这人还要再走15千米可到达城A. 假期作业4 1.C[因为数列的第n项为W√2n-1,而7=√49= √2×25一1，所以7是该数列的第25项.] 2.B[因为等差数列{an}的首项a1=3,公差d= 11一3=8，所以通项公式为a.=a1十(n-1)d=3 +8(n-1)=8n-5.] 3.C[由题意可得a2=3a1-1=2,a3=3a2-1=5, a4=3a3-1=14.] ·5 00M-= 4.D[依题意，设等差数列{an}的公差为d, 则/a+2d=5 (a1+6d=1 解得，7 1d=-1 S,=6X7+6X5×(-1)=27.] 2 5.C[a+1-a,+ 8n01=1, a=a+2-1+1=2a,=2+分号， a 6.A[由a+2=a+1-an,a1=3,a2=5,可得 a3=a2-a1=2,a4=a3-a2=2-5=-3.] 7.B[记每天的收入为数列{an},则{an}为公差 为10的等差数列，且a1=10, 则10m+mm2-1D×10=1200, 2 解得n=15或-16（舍去）， 故该同学一共进行的天数为15天.] 8.解析：因为2=3-1,8=9-1=32-1， 26=27-1=33-1,80=81-1=34-1, 所以该数列的一个通项公式可以是（一1）+1 .3”-1 3” 答案：(-1)+1.3”-1 9.解析：设等差数列{an}的公差为d, 因为等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2, 所以S=5×2+10d=30,所以公差d=2. 答案：2 10.解析：根据题意，S。=a,+nn,1)d 2 =3n+n2D×(-10=-+m=-4, 2 整理得n2一7n一8=0，解得n=8或n=一1（舍去）. 答案：8 11.解：当n=1时，a1=S1=6;当n≥2时，am=S -S.-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)十 2]=2n十2，：当n=1时，a1=6不满足上式， 16,n=1, ∴.am= :a2-a1≠a3-a4, 2n+2,n≥2. ∴.{an}不是等差数列. 8 三0022 12.解：(1)因为在等差数列{an}中，a2十a5=2a1十 5d=24,a17=a1+16d=66,解得d=4,a1=2, 所以a2026=2+2025X4=8102, (2)由(1)得an=2+4(n-1)=4n-2.令4n-2 =2026,得n=2028∈N”,故2026为数列 4 {an}中的项. 假期作业5 +1 3× 1 1.A[因为a=1,a+1 (3 an 3,所以 3× 3 数列{a,}是以1为首项，号为公比的等比 数列.] 2.D[因为aa4=agag）=号×2=1 所以a2与a4的等比中项是士1.] 3.C[由等比数列求和公式得：S,=3×13) 1-3 -3×(30-1D=1092.] 4.C[根据题意可得a1=S1=1,a2=S2-S, =3-1=2,故数列{a}的公比g-2=2.] 5.B[依题意，设甲、乙、丙分得的米重量分别为 a1,a2,a3,则a1十a2十a3=3a2=180, 且a1-a3=-2d=36, 解得a2=60,d=-18, 所以a1=a2-d=60+18=78.] 6.D[Sn是等比数列{an}的前n项和， a3=3,S3=9, ∴.当公比q=1时，a1=3,此时S3=9满足题意， Taiq-3 当公比q≠1时， a1-g2=g' 1-9 a1=12 解得 1,.首项a1的值为3或12.] 7.C[从第一层开始各层悬挂的灯数构成一个等 差数列{an},其公差为-2，前8项和Sg=64, 设第n层的灯数为an,则由等差数列前n项和 ·5 公式得8a,+87×(-2)=64, 2 解得a1=15,.a4=15+(4-1)×(-2)=9.] 8.解析：因为a是2和4的等差中项，故a=2十4 2 =3,正数b是一2和一8的等比中项，故b= W/(-2)×(-8)=4,所以ab=3×4=12. 答案：12 9.解析：从下向上各层所放铅笔数依次为1,2,3， …,120,从下向上各层所放铅笔数是首项为1， 公差为1的等差数列，所以共放了铅笔1十2十3 ++120=120X(+120)=7260(支). 2 答案：7260 10.解析：等比数列{an}中，若a1=3,an=48,故公 比不为1，则S.=a09=3二484=93→g 1-q1-q =2. 答案：2 11.解：由题意可知：设这三个数为g,a,aq, 三个数成等比数列，它们的积等于8，它们的 和等于一3， axaXaq-8, +a十ag=-3, g 解得a=2,q=-2或a=2,g=- .这三个数分别为一1,2，一4或一4,2，一1. 12.解：(1)设{an}的公比为q(q>1),且a2十a4= 20,a,=8.则/a19+a1g=20, a1g2=8. 消去得g十日营则g=2,或9=（合》 因为q=2,a1=2, 所以{an}的通项公式an=2. (2)易知(-1)-1a,am+1=(-1)”-1·22a+1 则数列{（一1）-122+1}公比为一4. 故a1a2-a2a3十…十(-1)-1·a,a+1 =23-25+22-2°十…十(-1)"-1·22m+1 _21-81-（-4门 1+4 =-(-1.2 5