第4卷 指数函数与对数函数 四川省（对口招生）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）（原卷版+解析版）

编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第4卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一） 指数函数 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1；②底数a是大于0且不等于1的常数. 2．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 3．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. （二）对数函数 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). 2．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【真题精讲】 考点01 指数运算和对数运算 1.（2024年对口招生） （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 25 【答案】C 【分析】利用完全平方公式和对数的基本运算性质求解. 【解析】 . 故选：C 2. （2023年对口招生）设，，其中，是正实数，则（ ） A.2 B.4 C.10 D.25 【答案】A 【分析】本题考查指对互化及对数的运算法则，等公式及法则，是基础题. 【解析】∵，∴，∵，∴，∴， ∴选A. 3. （2022年职教师资和高职班对口考试）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【分析】通过逆用完全平方公式及运用及等性质即可化简求值. 【解析】 ∴选B. 考点02比较大小 2. （2024年对口招生）已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可求解. 【解析】由题意得，因为幂函数在上是增函数，又指数函数在定义域上是增函数. 所以，又，所以. 故选：C. 考点03函数的图像 1. （2025年对口招生） 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】结合分段函数解析式，逐段分析即可判断. 【解析】当时，单调递增，故排除A、B选项； 当时，单调递减，故排除D选项； 所以C选项正确.故选：C. 2. （2023年对口招生）已知函数的部分图象如下图所示，则函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由图象向右平移1个单位得出图象，再将图象关于x轴对称翻折得出图象.本题考查图象的平移变换及对称翻折变换. 【解析】由的图象向右平移1个单位得出图象，如图A所示，然后将的图象关于x轴对称翻折得出图象，如图B所示. ∴选B. 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）函数的图像大致是（ ） 【答案】A 【分析】首先根据奇偶性排除C、D，然后根据分段函数当时，，单调递增，即可得出答案。 【解析】∵ ∴定义域为，关于原点对称。 ∵ ∴为偶函数，图像关于轴对称。排除C、D ∵当时，，单调递增。排除B。 ∴选A。 考点04函数恒成立问题 2. （2023年对口招生）已知函数. （1）若，求的最大值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的最大值为4（2）实数的取值范围为. 【分析】本题主要考查对数的运算法则，复合函数的值域问题及函数恒成立问题, 综合考查了学生的数形结合思想，转化与化归思想，数学运算等核心素养，是综合题. 【解析】（1）∵， ∴ . ∵，∴，∴，∴， ∴， ∴的最大值为4. （2）∵对任意，都有恒成立， ∴， ∴， 解①：，∴， 解②：∵=，=，， ∴， 令，∴，∴，∴，∴.∵， ∴，∴，∴，∴，∴，∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 考点05复合函数的单调性 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的单调递减区间是（ ） A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) 【答案】A 【分析】本题主要考查复合函数的单调性，内函数y=x-1为增函数，外函数对数函数底数为0.5＜1单调递减，复合后原函数单调递减，则有x-1＞0，x＞1；则答案为A。 考点06抽象函数 1.（2022年职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 【答案】(Ⅰ) ， （Ⅱ）单调递减。 【分析】(Ⅰ)根据条件及，通过赋值法即可求出与的值。（Ⅱ）函数在在定义域上单调递减 【解析】(Ⅰ)令，得，则； 令，得，则； 令，得，则，可得； 令，得，则，可得； （Ⅱ）函数在在定义域上单调递减。证明如下： 令，得成立.∴,∴函数在为奇函数. 当时，成立,为奇函数. 故当时，成立; 令,且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵当时， ∴ ∴ ∴ ∴函数在在定义域上单调递减. 【举一反三】 1．比较， ，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断值的范围，进而比较大小即可. 【解析】以为底的指数函数在上为增函数，则，则 以为底的对数函数在上为增函数，则，则， 综上； 故选：D. 2．方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则求解. 【解析】， 所以，可化为, 解得或, 当时，, 因为真数大于0，故舍去，所以． 故选：B. 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）log2 6 -log2 3 + lg5 + lg2 = . 【答案】2 【分析】本题考查对数的运算，log2 6 -log2 3 + lg5 + lg2 =1+1=2。 4．如图，对应四个函数的图像，其中对应函数的图像，记为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的图像与性质，反函数定义，及函数图像对称的性质即可求解. 【解析】因为与关于轴对称，对应函数，所以对应函数为； 因为与关于直线对称，那么与对应函数互为反函数， 因为对应函数，则对应函数为； 因为与关于轴对称，对应函数，所以对应函数为． 综上，选项A正确． 故选：A. 5．已知函数，若，则（    ） A．16 B． C．16或 D．2或 【答案】C 【分析】利用分段函数性质，对参数进行分类讨论解方程，即可求得或. 【解析】根据题意可知，当时，，解得； 当时，，解得. 综上，或. 故选：C 【拓展提升】 1． 选择题 1．函数在上的最小值为，最大值为，则 （     ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据题意结合对数函数的单调性求出，即可得解. 【解析】因为，在是减函数. 在区间上： 当时，取得最大值； 当时， 取得最小值， 因此，， 故选：. 2.方程的解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用数形结合，判断函数与的图像交点的个数即可. 【解析】方程解的个数等价于函数与的图像交点的个数，如图所示，两函数共有个交点， 所以方程的解有个. 故选：C 2． 填空题 3． 若，则 . 【解析】因为, 所以, 故答案为:. 4.已知函数（，且）在上恒有，则实数a的取值范围为 . 【解析】当时， 在上是增函数， 因为函数在上恒有， 所以，所以，所以. 当时，在上是减函数， 因为函数在上恒， 所以，所以，即，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为 ：. 5．若函数在区间上的最大值为2，则实数 . 【解析】令，则在上的最大值，最小值. 当时，是增函数，，得； 当时，是减函数，，得（舍去）. 故. 故答案为：2. 三．解答题 6．已知函数且的图像经过点， (1)求函数的解析表达式； (2)当x取何值时，取得最大值或最小值，并求最值． 【解析】（1）已知函数且， 将点代入得，， 得，解得， 因为，所以， 所以. （2）令， 则有， 又， 所以当时，有最小值为， 即，时，则. 所以当时，取得最小值为. 7.（1）已知，求的最小值与最大值. （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，令，因为，则， 因为，所以，， 又， 所以当时，，当时，. 即当时，函数的最小值为，最大值为. （2）因为，即， 令，因为，则， 则上式可化为在上恒成立， 因为在上为增函数，所以恒成立， 所以，即的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第4卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一） 指数函数 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1；②底数a是大于0且不等于1的常数. 2．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 3．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. （二）对数函数 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). 2．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【真题精讲】 考点01 指数运算和对数运算 1.（2024年对口招生） （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 25 2. （2023年对口招生）设，，其中，是正实数，则（ ） A.2 B.4 C.10 D.25 3. （2022年职教师资和高职班对口考试）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 考点02比较大小 2. （2024年对口招生）已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 考点03函数的图像 1. （2025年对口招生） 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 2. （2023年对口招生）已知函数的部分图象如下图所示，则函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）函数的图像大致是（ ） 考点04函数恒成立问题 2. （2023年对口招生）已知函数. （1）若，求的最大值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 考点05复合函数的单调性 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的单调递减区间是（ ） A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) 考点06抽象函数 1.（2022年职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 【举一反三】 1．比较， ，的大小（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）log2 6 -log2 3 + lg5 + lg2 = . 4．如图，对应四个函数的图像，其中对应函数的图像，记为，则（   ）    A． B． C． D． 5．已知函数，若，则（    ） A．16 B． C．16或 D．2或 【拓展提升】 1． 选择题 1．函数在上的最小值为，最大值为，则 （     ） A． B．1 C．0 D．2 2.方程的解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2． 填空题 3． 若，则 . 4.已知函数（，且）在上恒有，则实数a的取值范围为 . 5．若函数在区间上的最大值为2，则实数 . 三．解答题 6．已知函数且的图像经过点， (1)求函数的解析表达式； (2)当x取何值时，取得最大值或最小值，并求最值． 7.（1）已知，求的最小值与最大值. （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $