1.4.2 三角形的面积及正弦定理（课件）- 人教版《数学 拓展模块一》【上好课】

1.4.2 三角形的面积及正弦定理 第一章 三角计算 人教版 拓展模块一 学习目标 理解三角形面积公式与两边及夹角正弦值的关系，掌握正弦定理的内容及其推导过程，了解正弦定理的几种常见变形形式。 熟练运用正弦定理解决“两角一边”和“两边一对角”问题，根据已知边角条件，选择并应用正弦定理求解未知元素 培养从特殊到一般、数形结合的数学思维能力，提升数学建模和逻辑推理素养，体会数学工具的实际应用价值 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 1.4.2 三角形的面积及正弦定理 教学引入 教学引入 如何测量“不可到达”的距离？ 如果我们想测量河对岸一座塔的高度，或者湖心岛到岸边的距离，无法直接丈量，该怎么办？ 能否只用我们手头的测角仪和一段可测量的基线来解决？ 教学引入 思考：除了我们熟知的“底 × 高 ÷ 2” 还有什么更通用的计算方法吗？ 回顾：三角形面积的公式 教学引入 我们知道，三角形的面积为底边与该边对应高乘积的一半． 如果已知三角形的两边及其夹角，如何求三角形的面积呢？ 甲同学 乙同学 教学引入 温故知新：直角三角形的解法 Rt△ABC 中，∠B = 90° 对边 a · 邻边 b · 斜边 c 锐角三角函数关系 正弦：sinA = = 余弦：cosA = = 正切：tanA = = 教学引入 思考：已知一边一角可解直角三角形。那么，对于没有直角的“斜三角形”，边与角的关系又该如何描述？ 教学引入 斜三角形的“边角关系”猜想 情形一：锐角三角形 在锐角△ABC中，各边与其对角的正弦值之比： = ? 情形二：钝角三角形 在钝角△ABC中，各边与其对角的正弦值之比： = ? 思考： 在任意三角形中，边长与对角正弦值的比值是否为常数？如果是，这个常数可能是什么？ 新知讲授 1.4.2 三角形的面积及正弦定理 新知讲授——三角形的面积公式 如图所示，设△中，设 ，作边上的高在 △中，设△的面积为，则 ． 新知讲授 S = 含义：三角形的面积等于任意两边的长度与其夹角的正弦值乘积的一半。“夹角”是关键！ 以 ∠C 为夹角 S = sinC 对应边 a 和 b 以 ∠B 为夹角 S =acsinB 对应边 a 和 c 以 ∠A 为夹角 S = sinA 对应边 b 和 c 新知讲授 例题：在△ABC中，已知 b = 5cm, c = 7cm, ∠A = 60°，求△ABC的面积。 解答 1. 代入公式：S = sinA 2. 代入数值：S = · 5 · 7 · sin60° 3. 计算结果：S = cm² 新知讲授 从面积公式到边角比 等价面积公式 S = sinA= acsinB= sinC 思考： 既然三个式子都等于 S，它们之间也是相等的。如果我们把等式两边同时除以 abc，会得到什么神奇的结果？ 新知讲授 正弦定理的诞生 由三角形的面积公式 S△ABC= sinA= acsinB= sinC, 可得sinA= acsinB, 即 bsinA= asinB． 于是, = ． 同理可得, = ． 因此, = = ． 新知讲授 正弦定理的标准形式 = = 这是一个连比式，知道其中任意三项，可求第四项。 结论 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 新知讲授 外接圆（拓展） 正弦定理外接圆形式 = = = 2R 几何意义 该比值等于三角形外接圆的直径。利用“同弧所对圆周角相等”及直角三角形性质可证。 新知讲授 正弦定理的常见变形 变形一：求边 通过已知角和对边求未知边： a = 变形二：求角 通过已知边和对角求未知角： sinA = 变形三：边角混合 三边比例等于对应角正弦值比例： a : b : c = sinA : sinB : sinC 解题时请根据具体已知条件，灵活选用最合适的变形公式。 新知讲授 何时使用正弦定理？ 1.已知两边及一对角 (SSA) 当已知三角形的两条边和其中一边的对角时，可直接应用正弦定理求角。 2.已知两角及一边 (ASA/AAS) 当已知两个角和任意一条边时，可先求第三个角，再求其余边。 3.边角关系的恒等变换 在三角形恒等式证明中，实现边与角的正弦值之间的灵活转化。 新知讲授 适用情形一 (AAS / ASA)：已知两角及一边 ∠A ∠B c 已知两角 (∠A, ∠B) 及一边 (c) 已知： 三角形的两个角和任意一条边 (AAS 或 ASA) 求解思路： 先利用内角和求第三角，再两次使用正弦定理求剩余两边。 解的性质 三角形形状唯一确定，解是唯一的，不存在多解或无解情况。 新知讲授 适用情形二 (SSA)：已知两边及其中一边的对角 ∠A a b 已知 给定三角形的两条边长，以及其中一条边所对应的角。 解的不确定性 (需讨论) 根据边长与角度的关系，可能出现三种情况： 无解 一解 两解 新知讲授 正弦定理的常见变形 新知速记 正弦定理可以解决下列两类问题： （1）已知三角形的两边和其中一边所对的角, 求其他两角和另一条边; （2）已知三角形的两个角和任意一边, 求其他两边和另一个角． = = = 2R S = sinA= acsinB= sinC 师生交流 拓展思考互动 1.请背诵正弦定理的文字内容。 2.请写出正弦定理的公式（标准形式）。 3.正弦定理的比值还等于什么？（提示：外接圆） 4.已知两角一边，用正弦定理解三角形，解的情况如何？ 案例分析 案例分析 三角形面积公式的应用 案例分析 案例分析 正弦定理解三角形 案例分析 案例分析 正弦定理在外接圆上的应用 案例分析 案例分析 三角形解的个数判断 案例分析 案例分析 大边对大角 学以致用 1.4.2 三角形的面积及正弦定理 学以致用 学以致用 学以致用 学以致用 学以致用 学以致用 学以致用 课堂练习 1.4.2 三角形的面积及正弦定理 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 1.4.2 三角形的面积及正弦定理 课堂小结 这节课你学会了什么？ 三角形的面积公式 及正弦定理 面积公式 正弦定理 实际应用与解的讨论 • AAS/ASA 型：条件确定，唯一解 • SSA 型：需结合图形讨论（无解、一解、两解） = = = 2R S = sinA= acsinB= sinC 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 （1） ， ， . （2） ，. （3） . （4） = . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．在中，，，，则的面积为（    ） A．5 B．15 C．10​ D．20 【答案】A 【详解】在中，，，， 代入面积公式得 ， 又，因此 ， 2．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，， 所以， 由正弦定理，得：， 即. 3．记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 由正弦定理得， 所以， 化简得， 即，解得， 所以，即. 4．在三角形中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】选项，已知两角一边，三角形确定的，只有一解， 选项，已知两边及夹角用余弦定理，只有一解， 选项，已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解， 选项，由正弦定理可知，解得， 因为，则，所以可能为锐角或钝角，有两解. 5．已知中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中，，，， 根据正弦定理，得. 代入数值则. 故或.又，根据“大边对大角”， ，因此. 1．在中，角所对的边分别是，若，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1)3 【详解】（1）∵，且为的内角， 由余弦定理可得：， 则， 即， 解得或（舍去）， 的值为3． 【答案】(2) 【详解】 （2）∵，且为的内角， 为锐角则由同角三角函数的平方关系，得， 所以的面积 . 2．三角形中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，. (1)求的值； (2)求b的值； (3)求的值. 【答案】(1) 【详解】（1）因为在中，， 所以. 又因为，所以， 则， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 【答案】(2) 【详解】（2）根据余弦定理可得：， 将，，代入可得：， 则，解得或（舍）. 综上，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 【答案】(3) 【详解】 （3）根据正弦定理可得：， 将，，代入可得：， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 1．在 中，，，，则b的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】在 中，，，， 由正弦定理可知，，解得， 2．已知中，，，，则其面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】在中，，，， 代入面积公式得， 又 ， 因此， 3．在中，内角的对边分别为，为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且角为三角形内角，可知角为锐角， 所以， 由正弦定理得，即，即，解得. 4．在中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】根据正弦定理可得，， 将，，， 代入可得，，解得， 5．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长 . 【答案】 【详解】因为在中，，，解得， 又因为的外接圆半径为， 由正弦定理得，解得：. 6．的内角A、、所对的边是、、，其面积为.若，则角 . 【答案】 【详解】因为，， 则， ，则， 所以，，解得， 7．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以可得， 所以， 8．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. (1)求角的大小及的面积. (2)求的值. 【答案】(1)，. 【详解】（1）因为，，， 根据余弦定理，得， 又因为角为三角形的内角，因此，所以， 则，所以的面积. 【答案】(2). 【详解】 （2）由，得， 即， 由正弦定理可知，， 解得， 所以. $