1.4.1 余弦定理（课件）- 人教版《数学 拓展模块一》【上好课】

1.4.1 余弦定理 第一章 三角计算 人教版 拓展模块一 学习目标 理解余弦定理的推导过程（坐标法），掌握余弦定理的公式及其变形，并能用文字准确叙述。 能运用余弦定理解决“已知两边及其夹角，求第三边”的三角形计算问题，能初步运用余弦定理判断三角形的形状（锐角、直角、钝角）。 通过从实际问题中建立数学模型，体会数学的应用价值，在定理的推导和运用中，提升逻辑推理、数学运算和数学抽象的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 1.4.1 余弦定理 教学引入 教学引入 早在三国时期，数学家刘徽在《海岛算经》中就提出了重差术。 古人通过构造相似三角形，利用简单的测量工具（如矩、表），巧妙地将不可达的距离转化为可测量的线段比例。这种“间接测量”的思想，是人类数学智慧的璀璨结晶。 教学引入 下图为全站仪，集成了光学、机械、电子技术。它通过发射红外激光，结合内置的角度和距离测量系统，能够在几秒钟内精确计算出目标点的三维坐标，实现了从“手工计算”到“自动化测量”的飞跃。 教学引入 A B C AC = 300m BC = 500m AB = ? ∠C = 80° 思考：如何求出AB的距离是多少？ 余弦定理 新知讲授 1.4.1 余弦定理 教学引入 余弦定理是什么？ 甲同学 乙同学 怎么证明余弦定理呢？ 化形为数——坐标法的妙用 新知讲授 回顾——两点间距离公式 AB = 这是平面直角坐标系中计算两点间距离的公式，也是后续推导的基础。 新知讲授——建立平面直角坐标系 第一步：确定原点 选择三角形的一个顶点作为坐标原点，通常选择直角顶点或底边端点。 第二步：建立轴系 以原点为基准，作两条互相垂直的直线作为x轴和y轴，确定正方向。 第三步：标定坐标 根据边长或网格单位，计算并标出其余顶点在坐标系中的具体坐标值。 新知讲授——建立平面直角坐标系 绘制基准图形 在平面内任意选取三个不共线的点，连接形成一个锐角三角形 ABC。这是建立坐标系的基础。 新知讲授——建立平面直角坐标系 坐标原点：设定点A 为坐标原点 (0, 0) 坐标轴设定：将边 AB 放置在 x 轴的正半轴上 点 B 坐标：设 AB 长度为 c，则 B 点坐标为 (c, 0) A(0,0) B(c,0) c 新知讲授——建立平面直角坐标系 过点 C 作 x 轴的垂线 CD，垂足为 D。 在 Rt△ADC 中： 竖边：AD = b · cosA 横边：CD = b · sinA 其中 CA 的长度为 b，角 C 为已知角。 综合上述推导，C点坐标为： C (b·cosA, b·sinA) D 新知讲授 当三角形的三个顶点坐标确定后，我们将从“形”的直观感知，跨越到“数”的精确计算。 通过引入两点间距离公式，我们可以量化边长，进而揭示边与角之间的内在联系，完成从几何图形到代数表达的转化。 新知讲授 根据两点间距离公式可得, a=BC= = = =． 即 a²=b²+c²-2bccosA. 同理可得, b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC． 知识回顾 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍. 在任意△ABC中, 都有 a²= b²+c²-2bccosA, b²= a²+c²-2accosB, c²= a²+b²-2abcosC． 知识回顾 公式也可变形为 cosA = , cosB = , cosC = ． 特别地, 当∠C=90°时, 有c²=a²+b². 因此, 勾股定理是余弦定理的特例． 知识回顾 重要推论：判断三角形形状 观察发现：余弦定理的符号规律 在余弦定理公式中，角的余弦值符号完全由分子(a² + b² - c²)决定。 锐角三角形 若 a² + b² > c² 则 cosC > 0，角C为锐角 直角三角形 若 a² + b² = c² 则 cosC = 0，角C为直角 钝角三角形 若 a² + b² < c² 则 cosC < 0，角C为钝角 知识回顾 锐角三角形判定 若 a² + b² > c²，则 cosC > 0，∠C 为锐角 直角三角形判定 (勾股定理) 若 a² + b² = c²，则 cosC = 0，∠C 为直角(余弦定理的特例) 钝角三角形判定 若 a² + b² < c²，则 cosC < 0，∠C 为钝角 重要推论：判断三角形形状 新知速记 公式回顾 已知两边及夹角 / 三边 适用定理：余弦定理 已知两边及夹角，直接求第三边；已知三边，利用变形公式求角。 a²= b²+c²-2bccosA, b²= a²+c²-2accosB, c²= a²+b²-2abcosC． cosA = , cosB = , cosC = ． 师生交流 拓展思考互动 判断对错 1. 在△ABC中，总有 sin²C + cos²C = 1。 答案：对 2. 已知两边及一角，一定能用余弦定理求出第三边。 答案：错（角必须是夹角） 3. 若 cosA < 0，则边长a一定是最大边。 答案：对（A为钝角） 选择合适的定理 1. 已知：b=5, c=7, A=60°。 答案：余弦定理（两边夹一角） 2. 已知：A=45°， B=60°， c=10。 答案：正弦定理（两角一边） 3. 已知：a=3, b=4, c=5。 答案：余弦定理（三边求角） 案例分析  已知三边，求一角，用余弦定理 案例分析  已知两边一角，求一边，用余弦定理 学以致用 1.4.1 余弦定理 学以致用 学以致用 课堂练习 1.4.1 余弦定理 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 1.4.1 余弦定理 课堂小结 这节课你学会了什么？ 余弦定理 余弦定理公式及适用条件 已知三边，求一角  已知两边一角，求一边 三角形形状的判断 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 1．已知中，，则cosC的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在中，，则. 故选：D. 2．在中，，，，则c的值为（    ） A．5 B． C．7 D．25 【答案】A 【详解】在中，，，， 根据余弦定理， 因，故 ， 解得， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 1．在中，，，，则 . 【答案】0 【详解】由余弦定理得， 【答案】 【详解】中， ， ，即， ， 又由，得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 2．在中，已知三边a，b，c，满足，则 1．在中，，，，则最大内角为 . 【答案】 【详解】由“大边对大角”知，内角最大， 由余弦定理得， . 2．在中，若，则角A的大小为 . 【答案】 【详解】由可知， 由余弦定理， 因为，故. 3．在中，若，则的长为 . 【答案】 【详解】由余弦定理， 即，解得. 4．中角A，B，C对应边分别为a，b，c，，则边 ． 【答案】 【详解】中，， 又因为， 则， 所以， 5．在中，内角，..，的对边分别为，，，已知，，，则的值为 . 【答案】12 【详解】由余弦定理可得， 又，，， 即，解得， 则，故. 6．已知在中，角B为钝角，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的周长为 ． 【答案】/ 【详解】由题知，得， 因为角B为钝角，所以． 由余弦定理可得，解得， 则的周长为． 7．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则值为 ． 【答案】或 【详解】由余弦定理可得， 即，即，解得或， 8．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则最大角的余弦值为 . 【答案】 【详解】因为边最大，所以角最大，由余弦定理得 . $