1.3 正弦型函数（课件）- 人教版《数学 拓展模块一》【上好课】

1.3 正弦型函数 第一章 三角计算 人教版 拓展模块一 学习目标 理解正弦型函数的概念，掌握其一般形式 y = A sin(ωx + φ) 中参数 A, ω, φ 的几何意义与物理意义。 能根据函数解析式画出正弦型函数的简图，并能通过图像分析函数的性质（周期、振幅、相位）。 通过观察生活中周期变化的现象，培养数学建模的意识和直观想象的核心素养，体会数学与自然、科技的联系。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 1.3 正弦型函数 教学引入 教学引入 钟摆的来回摆动，弹簧的上下振动，摩天轮的旋转，还有我们家里用的交流电的波形。大家仔细观察一下，这些运动有什么共同的特点呢？没错，它们都在不断地重复，具有周期性。而今天我们要学习的正弦型函数，就是描述这种周期现象最有力的数学工具。 钟摆摆动 来回往复，时间间隔固定 弹簧振动 上下振动，周而复始 摩天轮旋转 匀速圆周运动，循环不息 交流电波形 电流强度随时间周期性变化 共同特征：运动具有周期性→ 正弦型函数是描述周期现象的重要数学模型 教学引入 教学引入 知识回顾：正弦函数 y = sinx 定义域：全体实数 R 值域：[-1, 1]，最大值1，最小值-1 周期性：最小正周期 T = 2π 对称性：关于原点对称（奇函数） 教学引入 思考： 如果改变函数的振幅、周期或起点位置，图像会发生怎样的变化？ 如何通过代数形式描述这些几何变换？ 教学引入——物理与电工模型 物理模型：弹簧振子 电工基础：交流电压 教学引入 甲同学 乙同学 左边是物理上弹簧振子的位移图像，右边是电工学中交流电压的波形图。大家可以看到，它们的“形状”都和我们熟悉的正弦曲线很像，但又不完全一样。 这些差异是由什么决定的呢？ 正弦型函数的参数 新知讲授 1.3 正弦型函数 教学引入 形如y=Asin(ωx+φ)  (其中 A, ω, φ都是常数)的函数称为正弦型函数． 在物理学中, 正弦型函数被用来表示简谐振动、正弦式电流等． A称为振幅, ωx+φ称为相位, φ称为初相, T= 称为周期 , f = = 称为频率． 新知讲授——正弦型函数的概念 函数定义： y =Asin(ωx +φ) (A>0, ω>0) 振幅 (A) 决定函数图像的“高矮”，即振动的幅度大小。 角频率 (ω) 决定函数图像的“胖瘦”，即周期的长短。 初相 (φ) 决定函数图像的“左右位置”，即相位的移动。 自变量 (x) 通常表示时间或角度，是函数的输入量。 新知讲授——参数 A (振幅) 的意义 几何意义：纵向伸缩变换 |A| 决定了函数图像在纵向上的伸缩幅度。 |A| > 1：图像被拉伸，波峰更高，波谷更低 0 < |A| < 1：图像被压缩，变得更“矮胖” 物理意义：振动能量 振幅代表振动的强弱程度，通常与能量大小正相关。 声学：振幅越大，声音响度越大 光学/电学：振幅对应光的亮度或电压峰值 y =Asin(ωx +φ) 新知讲授——参数 A (振幅) 的意义 新知讲授——参数 ω (角频率) 的意义 几何意义：决定图像伸缩与周期 ω 决定了函数图像在横向上的伸缩程度。核心公式： T = 物理意义：表示振动快慢 (频率) ω 越大，周期 T 越小，振动越快；反之则越慢。 频率关系：f = y =Asin(ωx +φ) 新知讲授——参数 ω (角频率) 的意义 新知讲授——参数 φ (初相) 的意义 几何意义：决定图像平移 y = sin(x + φ)：图像向左平移 |φ| 个单位 y = sin(x - φ)：图像向右平移 |φ| 个单位 物理意义：表示振动快慢 (频率) 在物理学中，初相 φ 描述了简谐振动开始时的位置或状态，反映了系统的初始相位。 核心口诀：左加右减 y =Asin(ωx +φ) 新知讲授——一般形式与五点法作图 函数一般形式 表达式：y = A sin(ωx + φ) + k （其中 k 决定图像的上下平移量） 五点法作图步骤详解 1. 设变量：令 X = ωx + φ，简化函数形式。 2. 取关键点：给 X 取 0, ，π, , 2π 五个值。 3. 求对应值：分别求出对应的 x 值和 y 值 (y = A sinX + k)。 4. 描点连线：在坐标系中描出五点，用光滑曲线连接。 新知讲授——正弦函数图像变换为正弦型函数图像 方法一：先伸缩，后平移 横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 图像向左或向右 平移 个单位 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 新知讲授——正弦函数图像变换为正弦型函数图像 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 横坐标变为原来的 倍 方法二：先平移，后伸缩 纵坐标不变 图像向左或向右 平移 个单位 新知速记 y = A sin(ωx + φ) 函数形式 y = A sin(ωx + φ) 振幅 |A| 决定图像的“高矮” 值越大，图像纵向拉伸越明显 周期 T (由 ω 决定) 决定图像的“胖瘦” 公式：T = 2π / ω 初相 φ 决定图像的“左右位置” 口诀：左加右减 五点法作图关键 (相位 ωx + φ) 令相位依次等于以下五个特殊值，求出对应的 x 和 y：0, ，π, , 2π。 师生交流 拓展思考互动 1: 振幅 在函数 y = 3 sin(4x + ) 中，振幅 A = __________。 2: 周期 该函数的周期 T = __________。 3: 初相 该函数的初相 φ = __________。 4: 相位 当 x=0 时，相位为 __________。 答案：3； 案例分析 例题：画出函数 y = 2 sin(2x - ) 简图 1. 定参数：振幅 A=2，周期 T=π，初相 φ=- 2. 设变量：令 X = 2x - 3. 取点列表： X 0 π 2π x y 0 2 0 -2 0 4. 描点连线：根据表格坐标描点，并用光滑曲线连接。 案例分析 例题：画出函数 y = 2 sin(2x - ) 简图 案例分析 例题：看图说函数 案例分析 图片提取周期、振幅等信息 学以致用 1.3 正弦型函数 学以致用 学以致用 学以致用 课堂练习 1.3 正弦型函数 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 1.3 正弦型函数 课堂小结 这节课你学会了什么？ 正弦型函数 正弦型函数的概念 正弦型函数的图像变换 振幅 角频率 初相 自变量 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 Lavf52.84.0 函数的部分图像如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，， 所以． 由五点作图法可知，所以， 因为，所以，， 所以函数的解析式为． 1．函数的频率是，则 . 【答案】/0.5 【详解】函数。 则频率，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 2．函数的图像向左平移个单位，得到的函数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若函数的图像向左平移个单位， 根据“左加右减”的原则，得到. 1．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（   ） A．向左平行移动1个单位 B．向右平行移动1个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】A 【详解】选项A中，把函数的图像上所有的点向左平行移动1个单位，便得函数的图像，正确， 选项B中，把函数的图像上所有的点向右平行移动1个单位，便得函数的图像，错误， 选项C中，把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位，便得函数的图像，错误， 选项D中，把函数的图像上所有的点向右平行移动个单位，便得函数的图像，错误， 2．将函数的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，可得函数的图像为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，得到的图像. 3．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知函数， 则最小正周期是， 4．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的最小正周期为. 5．函数的部分图像如图所示，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由图可知，的最小正周期为， 故，即. 6．将函数的图像向左平移个单位，得到，则可以等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图像向左平移个单位，得到， 结合选项，可得. $