1.2 倍角公式（课件）- 人教版《数学 拓展模块一》【上好课】

1.2 倍角公式 第一章 三角计算 人教版 拓展模块一 学习目标 理解二倍角公式的推导过程，掌握来龙去脉，熟练掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式及其常用变形。 通过两角和公式推导出二倍角公式，体会“特殊化”的数学思想。 培养逻辑推理和数学运算的核心素养，提升解决问题的能力，体会数学公式的简洁美与统一美，增强学习数学的信心。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 1.2 倍角公式 教学引入 机械振动：单摆 如果摆动频率加快，周期变短，其数学模型会如何变化？ 电磁振荡：交流电 高频电流下，电压波形更加密集，sin 2x 与 sin x 有何关联？ 声波 声波的疏密反映了频率的高低，这与三角函数的伸缩变换密切相关。 教学引入 1.7.2013 请看屏幕上的这些图片：单摆的摆动、交流电的电压变化、音乐的声波。这些现象都具有周期性，我们通常用正弦函数来描述它们。但是，如果摆动的频率变快了，电流的频率加倍了，那么描述它们的函数会发生什么变化呢？sin2x和sinx之间，存在着怎样的数学联系呢？这就是我们今天要探究的问题。 ‹#› 教学引入 这些周期性现象常常可以用 y = sin x 这样的函数描述。但如果频率加倍，比如更快的摆动、更高频的电流，其数学模型会变成怎样？sin 2x 与 sin x 有直接的关系吗？ 教学引入 已知：sin α = 3/5，且 α 为锐角 求：能否不求 α，直接快速求出以下值？ sin 2α cos 2α tan 2α 利用已有知识 sin(α+β) 展开计算，过程繁琐。 计算 sin(α+α) 当然可以，但有没有更简洁统一的公式？  二倍角公式 新知讲授 1.2 倍角公式 新知讲授 在两角和的余弦、正弦和正切公式中，当α=β时，我们能得到什么结果呢？ 新知讲授——正弦二倍角公式 (sin2α) 推导 同学们，我们先来回顾一下两角和的正弦公式 sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ 令 β = α，则 α + β = 2α 代入公式：sin(α+β)=sin(α+α) =sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα sin2α = 2 sinα cosα 新知速记——正弦二倍角公式 速记口诀： “正弦二倍，二正余” 解释：正弦的两倍角等于 2 倍的正弦乘以余弦 sin2α = 2 sinα cosα 新知讲授——余弦二倍角公式 (sin2α) 推导 cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ 令 β = α，则 α + β = 2α 代入公式：cos(α + α) = cosα · cosα - sinα · sin cos2α = cos²α - sin²α 同学们，我们先来回顾一下两角和的余弦公式 新知讲授——余弦二倍角公式的变形 1.利用同角三角函数基本关系sin²α + cos²α = 1进行变形 1.消去 sinα 思路：将 sin²α 替换为 1 - cos²α cos2α = 2cos²α - 1 新知讲授——余弦二倍角公式的变形 2.利用同角三角函数基本关系sin²α + cos²α = 1进行变形 2.消去 cosα 思路：将 cos²α 替换为 1 - sin²α cos2α = 1 - 2sin²α 新知速记——余弦二倍角公式 速记口诀： “余方减正方” 解释：基础形式是平方差，另有两种降幂形式。 三种形式完全等价，解题时需根据已知条件灵活选用，简化运算过程。 cos2α = cos²α - sin²α cos2α = 2cos²α - 1 cos2α = 1 - 2sin²α 新知速记——余弦二倍角公式 01. 选择题：cos2α 等于？ A. cos²α+sin²α B. cos²α-sin²α C. 2cos²α 答案：B (cos²α - sin²α) 新知速记——余弦二倍角公式 02. 判断题：cos2α 可以写成 1 - 2sin²α 答案：正确 (对) 新知速记——余弦二倍角公式 03. 判断题：cos2α 可以写成 2cos²α + 1 答案：错误 (错)，应为 2cos²α - 1 新知讲授——正切二倍角公式 (tan2α) 推导 回顾：两角和的正切公式 令 β = α，则 α + β = 2α 代入公式：tan(α + α) 新知速记——正切二倍角公式 速记口诀： “分子是2倍正切，分母是1减正切方。” 正弦公式 (Sin) sin2α = 2sinα cosα 余弦公式 (Cos) cos2α = cos²α - sin²α= 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α 正切公式 (Tan) 新知速记——二倍角家族 概念辨析 相对性 “二倍角”是相对的：4α 是 2α 的二倍角；α 是 α/2 的二倍角。 公式变形 sin 4α = 2 sin2α cos2α cos α = 1 - 2sin² = 2cos² - 1 师生交流 拓展思考互动 1. sin2α = __________ 2. cos2α = __________ - __________ 3. cos2α = 2__________ - 1 4. tan2α = __________ / (1 - __________) 5. 1 - cos2α = __________ （答案：2sinα cosα） （答案：cos²α, sin²α） （答案：cos²α） （答案：2tanα, tan²α） （答案：2sin²α） 案例分析 例1 已知 α是第二象限角，求sin2α、cos2α和tan2α的值． 案例1——直接应用求值 案例分析 所以 解答：因为α是第二象限角，所以 于是，有 又因为 注意符号判断与公式选择 案例分析 案例2——公式运用与化简 案例分析 案例2——公式运用与化简 解答： 注意公式灵活应用，有时会涉及到公式逆用 案例分析 案例2——公式运用与化简 化简 (sin θ - cos θ)² 分析：展开平方项，得到 1 - 2sinθcosθ； 逆用二倍角公式 (2sinθcosθ = sin2θ) 答案：1 - sin2θ 公式逆用 案例分析 案例3 —— 恒等式证明 解答： 学以致用 1.2 倍角公式 学以致用 学以致用 课堂练习 1.2 倍角公式 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 1.2 倍角公式 课堂小结 这节课你学会了什么？ 二倍角公式 sin2α = 2 sinα cosα cos2α = cos²α - sin²α；cos2α = 2cos²α - 1；cos2α = 1 - 2sin²α 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 Lavf57.25.100 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 2．已知，且，则 . 【答案】 【详解】因为，且， 根据可得：. 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 1．角的终边上有一点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知角的终边上有一点， 则， 利用三角函数定义知， ， ， 所以， 2．若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以. 3．已知，且α在第一象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且在第一象限， 所以， 则. 4．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角终边经过点， 即， 所以. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 6．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角终边在直线上， 可设角终边上任意一点的坐标为， 所以， 当时，，， 则， 当时，，， ， 综上所述，. 7．函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为函数， 根据正弦型函数的性质，当时，函数取得最小值，最小值为. 8．已知，且是第一象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 且是第一象限角，，， 所以，所以， 则. $