1.1.3 两角和与差的正切公式（课件）- 人教版《数学 拓展模块一》【上好课】

1.1.3 两角和与差的正切公式 第一章 三角计算 人教版 拓展模块一 学习目标 理解并掌握两角和（Tα+β）与两角差（Tα-β）的正切公式的推导过程及其结构特征。 能准确、灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值及解决简单的三角恒等变换问题。 通过公式的推导和应用，体会从特殊到一般、化归与转化的数学思想，培养逻辑推理和数学运算的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 1.1.3 两角和与差的正切公式 教学引入 教学引入 同学们，在实际工程和生活中，我们常常需要处理角度叠加的问题。例如，已知一段路的坡度是α，转了个弯后坡度变为β，那么整段路的‘综合坡度’该如何计算呢？这和我们学过的正切函数密切相关。 教学引入 我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式。 今天，我们将在此基础上，探索两角和与差的正切公式。 教学引入 知识回顾： 两角和的正弦：sin(α+β) = ? 两角差的余弦：cos(α-β) = ? 正切与正弦、余弦的关系：tanθ = ? 答案：sinαcosβ + cosαsinβ；cosαcosβ + sinαsinβ；sinθ / cosθ (其中 cosθ ≠ 0) 新知讲授 1.1.3 两角和与差的正切公式 新知讲授——两角和的正切公式 甲同学 乙同学 根据前面学习的内容，两角和的正切公式应该如何推导呢？ 我们的目标是：用 tanα 和 tanβ 表示 tan(α+β)。可以用tan(α+β) = sin(α+β) / cos(α+β) 接下来怎么办呢？ (提示：分子分母同时除以 cosαcosβ) 新知讲授——两角和的正切公式 新知讲授——两角和的正切公式 （Tα+β） 教学引入 两角差的正切公式又该怎么办呢？ 将 β 替换为 -β，利用 tan(-β) = -tanβ。 新知讲授 （Tα-β） 新知速记 记忆口诀： “分子同加，分母1减积。”“分子同减，分母1加积。” 适用条件： α， β， α+β ≠ kπ + π/2 (k∈Z)， 且 1 - tanαtanβ ≠ 0。 α， β， α-β ≠ kπ + π/2 (k∈Z)， 且 1 + tanαtanβ ≠ 0。 （Tα+β） （Tα-β） 新知速记 新知速记 tan(α+β) = ____________  tan(α-β) = ____________  使用公式时，要确保分母 ________。 公式中的角必须使 ________ 有意义。 答案：(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)）；(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)；不为零；tanα, tanβ, tan(α±β) 新知讲授 符号规律： 分子运算符号与左边角间符号一致（同加同减），分母符号与分子运算符号相反（加对减，减对加）。 “1”的重要性： 分母中的“1”是公式的标志，不要漏写。 公式的结构特征与辨析 新知讲授 由 T(α+β) 变形可得：tanα + tanβ = tan(α+β)(1 - tanαtanβ) 由 T(α-β) 变形可得：tanα - tanβ = tan(α-β)(1 + tanαtanβ) 公式的变形与应用拓展 这些变形在解决“知和求积”或“知积求和”问题时非常有用。 新知讲授 例： (tan15° + tan30°) / (1 - tan15°tan30°) = tan(15°+30°) = tan45° = 1 公式的逆向使用 公式不仅可以从左到右展开，还可以从右到左‘合并’，实现化简。 新知讲授 当 α = β 时，两角和的正切公式变成了什么？ tan2α = (2tanα) / (1 - tan²α) —— 二倍角的正切公式。 如果 α + β = π/4，你能发现什么关系？ tanα+tanβ+tanαtanβ=1 特例探究 师生交流 “公式快问快答”竞赛 同学们，咱们已经学习了两角和与差的正切公式，接下来大家对以下题目进行抢答： 直接背诵： “请A组同学背诵 tan(α-β) 的公式。” 挖空补全： tan(75°) = tan(45°+30°) = (___ + ___) / (1 - ___*___) 判断正误： tan(α+β) = (tanα+tanβ) / (1+tanαtanβ) （错误，应乘-1） 条件判断： “tan( + ) 能用这个公式求吗？为什么？” （不能，因为 tan不存在） 案例分析 案例1——公式正用（求值） 已知 tanα = 2， tanβ = 3， 求 tan(α+β) 和 tan(α-β) 的值。 解答： tan(α+β) = -1 tan(α-β) = - 案例分析  识别公式结构是逆用的关键 案例2——公式逆用（化简） 求值：(1+tan75°) / (1 - tan75°) 解答：观察到 1 = tan45°， 原式 = tan(45°+75°) = tan120° = - 案例分析 案例3——综合应用（给值求值）  已知 tanα = ， tanβ = ，且 α， β∈(0, )， 求 α+β 的值。 解答：tan(α+β) = = = 1 ∵ α， β∈(0, )， ∴ α+β∈(0, π)， 又 tan(α+β)=1， ∴ α+β = 。  根据角的范围确定大小 案例分析 两段斜坡AB和BC的坡度（tan值）分别为 i1=0.5， i2=0.8， 且AB与水平线夹角为α，BC与水平线夹角为β。求从A到C的总体坡度 i （即 tan(α+β)）。 解答： i = tan(α+β) ≈ 2.17。 案例4——实际应用 学以致用 1.1.3 两角和与差的正切公式 学以致用 学以致用 课堂练习 1.1.3 两角和与差的正切公式 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 1.1.3 两角和与差的正切公式 课堂小结 这节课你学会了什么？ 一、核心公式 二、运用要点 正向用；逆向用；变形用： tanα ± tanβ = tan(α±β)(1 ∓ tanαtanβ) 三、易错提醒 条件检查： α、β、α±β ≠ kπ+π/2（正切要有意义） 分母验证： 计算前确保 1 ∓ tanαtanβ ≠ 0 符号对应： 分子运算符号与角间符号一致 范围确定： 给值求角时要结合角度范围确定唯一值 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 Lavf58.46.101 1．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】已知， 则. 故答案为：. 2．若，则 . 【答案】 【详解】∵， ∴ . 【答案】B 【详解】， 故选：. 1．的值为（ ） A． B． C．1 D． 2．已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 则， ， 所以， 故选：A. 3．“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】当时，此时没有意义，故没有意义，故“”是“”的非充分条件； 由，，可知，故“”是“”的必要条件. 故选：B. 4．若是第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是第二象限角，且，所以， 则，故. 故选：D. 5．已知，，则 . 【答案】 【详解】依题意可知 故答案为：. 6．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， ． 故答案为：. 7．已知，是第三象限角，，求 (1)； (2). 【答案】(1) 【详解】（1），，， 是第三象限角，，， 【答案】(2) 【详解】 （2）由（1）知，，，， ，， . 8．（1）求值； （2）求值. 【答案】（1） 【详解】（1） . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 【答案】（2）. 【详解】 （2） = . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 $