1.1.3 两角和与差的正切公式（教案）-人教版《数学 拓展模块一》【上好课】

人教版《数学拓展模块一》 第一章 三角计算 1.1.3 两角和与差的正切公式 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节课是继“两角和与差的正弦、余弦公式”之后的进一步拓展，是三角恒等变换的重要组成部分。正切公式在解决角度叠加、坡度计算、物理矢量合成等问题中有广泛应用，是连接几何与代数的重要工具。 五、学情分析 学生已经掌握两角和与差的正弦、余弦公式，理解正切与正弦、余弦的关系，具备一定的代数变形和逻辑推理能力。但正切公式结构相对复杂，易出现符号错误或忽略定义域条件，需在教学过程中强化理解和记忆。 六、教学目标 1.理解并掌握两角和与差的正切公式的推导过程。能准确运用公式进行化简、求值和简单三角变换。 2.通过公式推导，体会“化归与转化”“从特殊到一般”的数学思想。通过例题与练习，培养逻辑推理和数学运算能力。 3.感受数学公式在实际问题中的应用价值，增强学习兴趣。养成严谨的数学思维习惯，注意公式使用的条件限制。 七、教学重点 两角和与差的正切公式及其灵活运用。 八、教学难点 两角和与差的正切公式推导过程中的代数变形。两角和与差的正切公式使用时的条件限制（分母不为零、正切函数定义域）。 九、教学方法 引导探究法：通过问题引导学生自主推导公式。 讲练结合法：结合例题讲解与课堂练习，强化理解。 案例教学法：引入实际问题，增强应用意识。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 1. 提出问题：“一段路坡度α，转弯后坡度β，整段路综合坡度如何计算？” 2. 引导学生回顾： - sin(α+β)、cos(α-β)公式 - tanθ = sinθ/cosθ 3. 引出课题：今天学习“两角和与差的正切公式”。 引出两角和与差的正切公式。 新知讲授 教师开场： “同学们，我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，今天我们要在此基础上，继续探索正切函数的和角与差角公式。我们的目标是：如何用已知的 tanα和 tanβ来表示 tan(α+β)呢？” 步骤1：引导学生回忆正切定义 提问：“正切函数与正弦、余弦有什么关系？” 学生回答：tanθ= 步骤2：代入已知公式 提问：“谁能写出两角和的正弦和余弦公式？” 学生回答，教师板书： · sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ · cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ 代入得： 步骤3：关键变形——分子分母同除 cosαcosβ 提问：“现在式子中有正弦、余弦，我们怎样才能只出现正切呢？” 提示：“仔细观察分子分母，如果我们同时除以 cosαcosβ，会怎样？” 引导学生逐步变形，得到： 步骤4：推导两角差公式 提问：“有了两角和公式，如何得到两角差公式？” 引导学生思考“替换法”：将 β换成 −β 教师讲解： “这两个公式结构相似，规律明显，我们可以用两句口诀来记忆。” 口诀教学： “分子同加，分母1减积。”“分子同减，分母1加积。” 教师强调： “数学公式不是无条件使用的，正切公式有两条重要的限制。” 条件1：正切函数定义域 α,β,α±β≠kπ+π2, k∈Z 条件2：分母不为零 案例分析 案例1——公式正用（求值） 已知 tanα = 2， tanβ = 3， 求 tan(α+β) 和 tan(α-β) 的值。 解答： tan(α+β) = -1 tan(α-β) = -1/7 案例2——公式逆用（化简） 求值：(1+tan75°) / (1 - tan75°) 解答：观察到 1 = tan45°， 原式 = tan(45°+75°) = tan120° = -√3 案例3——综合应用（给值求值） 已知 tanα = 1/2， tanβ = 1/3，且 α， β∈(0, π/2 )， 求 α+β 的值。 解答：tan(α+β) = 1 ∵ α， β∈(0, π/2)， ∴ α+β∈(0, π)， 又 tan(α+β)=1， ∴ α+β = π/4。 案例4——实际应用 两段斜坡AB和BC的坡度（tan值）分别为 i1=0.5， i2=0.8， 且AB与水平线夹角为α，BC与水平线夹角为β。求从A到C的总体坡度 i （即 tan(α+β)）。 解答： i = tan(α+β) ≈ 2.17。 通过案例来帮助学生更好地理解两角和与差的正切公式。 学以致用 1．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】已知， 则. 故答案为：. 2．若，则 . 【答案】 【详解】∵， ∴ . 故答案为：. 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对两角和与差的正切公式的记忆和运用。 课堂练习 1．的值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】， 故选：. 2．已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 则， ， 所以， 故选：A. 3．“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】当时，此时没有意义，故没有意义，故“”是“”的非充分条件； 由，，可知，故“”是“”的必要条件. 故选：B. 4．若是第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是第二象限角，且，所以， 则，故. 故选：D. 5．已知，，则 . 【答案】 【详解】依题意可知 故答案为：. 6．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， ． 故答案为：. 7．已知，是第三象限角，，求 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 是第三象限角，，， . （2）由（1）知，，，， ，， . 8．（1）求值； （2）求值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1） . （2） = . 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 一、核心公式 二、运用要点 正向用；逆向用；变形用： tanα ± tanβ = tan(α±β)(1 ∓ tanαtanβ) 三、易错提醒 条件检查： α、β、α±β ≠ kπ+π/2（正切要有意义） 分母验证： 计算前确保 1 ∓ tanαtanβ ≠ 0 符号对应： 分子运算符号与角间符号一致 范围确定： 给值求角时要结合角度范围确定唯一值 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 两角和与差的正切公式 1. 推导过程： tan(α+β) = sin(α+β)/cos(α+β) = (sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ−sinαsinβ) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) 2. 公式： tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) tan(α−β) = (tanα−tanβ)/(1+tanαtanβ) 3. 口诀： “分子同加，分母1减积” “分子同减，分母1加积” 4. 条件： α,β,α±β ≠ kπ+π/2 分母 ≠ 0 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 本节课通过引导学生回顾正切定义及两角和的正弦、余弦公式，自然过渡到两角和与差的正切公式的推导，注重过程探究与结构分析，学生对公式的推导路径和符号规律掌握较好，口诀记忆法有效降低了记忆难度。但在公式使用条件的强调上仍显不足，部分学生在练习中忽略定义域与分母不为零的验证，后续教学中应增设辨析环节，通过反例强化条件意识。此外，例题与生活实际的结合激发了学生兴趣，但在公式的逆用与变形应用上部分学生仍存困难，需在课后练习中设计梯度任务，兼顾巩固与拓展。整体上，学生能初步运用公式解决基础问题，但灵活运用能力有待进一步培养。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $