1.1.2 两角和与差的正弦公式（课件）- 人教版《数学 拓展模块一》【上好课】

1.1.2 两角和与差的正弦公式 第一章 三角计算 人教版 拓展模块一 学习目标 理解两角和与差的正弦公式的推导过程。掌握公式 sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ 的结构特征，并能进行正用、逆用和变形应用。 能通过联系已学的两角和与差的余弦公式及诱导公式，完成对正弦公式的推导，体会化归与转化的数学思想。能运用公式解决简单的三角函数求值、化简、证明及实际问题。 通过自主探究和合作学习，培养逻辑推理、数学运算的核心素养，感受数学公式的对称与和谐之美。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 1.1.2 两角和与差的正弦公式 教学引入 教学引入 同学们，看这个机械臂从初始位置旋转α角，再在其末端旋转β角的动画过程。提问：末端工具最终的倾斜角度（相对于水平线）的正弦值如何计算？ 教学引入 我们已经知道 cos(α+β) 的公式，那么 sin(α+β) 呢？它是否也等于 sinα + sinβ？ 分析：我们仍然可以通过特殊角进行检验： 设 α=60°， β=30°。 sin(30°+ 30°) = sin60° = √3/2 sin30°+ sin30° =1/2 + 1/2=1 结论：sin(α+β) ≠ sinsα + sinβ 教学引入 问题提出： 上节课，我们学习了余弦公式，那么可以通过什么方法得到正弦公式呢？之前学过什么内容可以实现正余弦之间的转换？ 诱导公式可以实现正余弦之间的转化 教学引入 接下来，我们一起揭开sin(α±β) 的神秘面纱！ 新知讲授 1.1.2 两角和与差的正弦公式 新知讲授 思路：利用诱导公式将正弦转化为余弦。 公式推导——sin(α+β) 新知讲授 思路：在 sin(α+β) 公式中，用 -β 替换 β。 公式推导——sin(α+β) 新知速记 记忆口诀： “正余余正，符号同前” 解释：“正弦” = “正（弦）余（弦）混合”，“符号”与左边角的运算符号一致。 知识回顾 同学们，我们完成了本节课的知识点教学，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： sin(α+β) = ____ cosβ + ____ sinβ sin(α-β) = sinα ____ - ____ sinβ sin75° = sin(45°+30°) = sin45°____30° + ____45°sin30° 答案：sinα，cosα；cosβ，cosα；cos，cos. 案例分析 题目：求 sin15° 的值。 答案：sin15 =sin(45°−30°) （将15°拆分成两个特殊角的差） =sin45°cos30°−cos45°sin30° （应用两角差的正弦公式） = （代入特殊角的三角函数值） ​ 案例1——公式正用（求值） 案例分析  识别公式结构是逆用的关键 题目：化简 sin23°cos37° + cos23°sin37° 答案： 原式 = sin(23°+37°) = sin60° = 案例2——公式逆用（化简） 案例分析 案例3——综合应用（给值求值）  需先求出 cosα, sinβ。强调象限对符号的影响。 案例分析 案例4——简单证明 案例分析 案例4——简单证明 师生交流——“公式记忆王”挑战赛 拓展思考互动 方式：抽签。随机抽取每组的2名同学。 题目： （对A组同学）请完整背诵 sin(α+β) 的公式。 （对B组同学）请完整背诵 sin(α-β) 的公式。 （对A组另一同学）请说出记忆这两个公式的口诀。 （对B组另一同学）请快速写出 sin(α+β) 和 cos(α+β) 公式，并指出它们结构上的不同。 全班分为A、B两组。题目分为“必背题”和“抢答题”。 师生交流——“公式记忆王”挑战赛 拓展思考互动 【答案】 （对A组同学）请完整背诵 sin(α+β) 的公式。 答： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ （对B组同学）请完整背诵 sin(α-β) 的公式。 答： sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ 全班分为A、B两组。题目分为“必背题”和“抢答题”。 师生交流——“公式记忆王”挑战赛 拓展思考互动 （对A组另一同学）请说出记忆这两个公式的口诀。 答： 口诀是 “正余余正，符号相同”。 “正余余正”：指等式右边是 正（弦）·余（弦） 与 余（弦）·正（弦） 的乘积组合。 “符号相同”：指右边两项之间的运算符号（+ 或 −）与左边角之间的符号（+ 或 −）保持一致。 ​ 全班分为A、B两组。题目分为“必背题”和“抢答题”。 师生交流——“公式记忆王”挑战赛 拓展思考互动 （对B组另一同学）请快速写出 sin(α+β) 和 cos(α+β) 公式，并指出它们结构上的不同。 答： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ​ 全班分为A、B两组。题目分为“必背题”和“抢答题”。 师生交流——“公式记忆王”挑战赛 拓展思考互动 （对B组另一同学）请快速写出 sin(α+β) 和 cos(α+β) 公式，并指出它们结构上的不同。 答：结构上的不同： 正弦公式 sin(α+β)sin(α+β)：右边是 “异名函数相乘”（正弦×余弦 + 余弦×正弦），符号与左边角间符号 相同（这里是“+”）。 余弦公式 cos(α+β)cos(α+β)：右边是 “同名函数相乘”（余弦×余弦 − 正弦×正弦），符号与左边角间符号 相反（左边是“+”，右边是“−”）。 ​ 全班分为A、B两组。题目分为“必背题”和“抢答题”。 学以致用 1.1.2 两角和与差的正弦公式 学以致用 学以致用 课堂练习 1.1.2 两角和与差的正弦公式 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 1.1.2 两角和与差的正弦公式 课堂小结 这节课你学会了什么？ 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 Lavf57.25.100 3．已知，均为锐角，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，均为锐角， ，，可得 ，； 故. 故答案为： 4．求证： (1)； (2)． 【答案】（1）右边==左边， 所以原等式成立. （2）右边==左边， 所以原等式成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为两角差的正弦公式：， 所以. 故选：D. 2．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A. 1．已知，且，则 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，则，所以， 所以 . 故答案为：. 2．若函数，且，则 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 故上式. 故答案为：. 3．的值为 ． 【答案】/ 【详解】 ． 故答案为：. 4． ． 【答案】 【详解】， ， 则， 故答案为：. 5． . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 6．( ) 【答案】正确 【详解】， 故 . 故答案为：正确. 7．的值为( ) 【答案】正确 【详解】 ， 故答案为：正确. 8．平面直角坐标系中，已知角，且． (1)求； (2)若角的终边与角的终边关于y轴对称，求． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 所以，即， 又，所以，解得； 因为，所以； （2）因为角的终边与角的终边关于y轴对称， 取， 由（1）知，， 所以；， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 $