1.1.1 两角和与差的余弦公式（课件）- 人教版《数学 拓展模块一》【上好课】

1.1.1 两角和与差的余弦公式 第一章 三角计算 人教版 拓展模块一 学习目标 理解两角和与差的余弦公式的推导过程，掌握公式的结构特征和记忆方法，准确记忆并能正确书写公式。 能运用公式进行三角函数化简，能根据已知条件完成求值计算，培养逻辑推理和数学运算能力 体会数学的严谨性和逻辑美，提升数学抽象与逻辑推理素养，激发探索精神和学习兴趣 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 1.1.1 两角和与差的余弦公式 教学引入 教学引入 同学们，AB是一座直立铁塔的高，BC与AB垂直，现测得∠ACB=15°，BC=350m，那么怎样才能求得铁塔的高呢? 教学引入 AB很容易求出来，因为BC与AB垂直，所以只要利用三角函数中的正切函数 ,得出即可。但是在计算tan15°的值时，两位同学出现了分歧： 教学引入 甲同学 乙同学 思考：哪位同学算的对呢？ 教学引入 分析：我们可以通过特殊角进行检验： 设 α=60°， β=30°。 cos(60°-30°) = cos30° = cos60° - cos30° =- 结论： cos(α-β) ≠ cosα – cosβ， 两位同学都是错误的！ 教学引入 问题提出： 事实上，我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值， 能否根据这些值来求cos15°的值？ 一般地，怎样根据α和β的三角函数值正确求出cos（α+β）的值？ 新知讲授 1.1.1 两角和与差的余弦公式 新知讲授 我们首先研究角α和β均为锐角的情况． 如图所示，以坐标原点为中心作单位圆， 并设单位圆与x轴的正半轴交于点A（1，0），以Ox为始边作角α，α＋β, －β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，B，则点P，Q，B的坐标分别可表示为 P（cos α，sin α）， Q（cos（α＋β），sin（α＋β））， B（cos（－β），sin（－β））． 新知讲授 易证得 △QOA △POB，则 ＝ ，即 = 两边平方，得 2－2 cos(α＋β ) ＝ 2－2cosα cosβ＋2sinα sinβ， cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β） 　　若把锐角α，β推广到任意角，此公式仍然成立． 新知讲授 请同学们思考： cos（α - β）怎么计算呢？ 可以将公式 C(α+β) 中的 β 替换为 -β 新知讲授 因为 cos(-β) = cosβ， sin(-β) = -sinβ。 代入 C(α+β)： cos[α+(-β)] = cosα cos(-β) – sinα sin(-β) cos(α-β) = cosα cosβ – sinα * (-sinβ) cos（α - β）＝cos αcos β + sin αsin β． （Cα - β） 　　若把锐角α，β推广到任意角，此公式仍然成立． 新知速记 cos（α + β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β） cos（α - β）＝cos αcos β + sin αsin β． （Cα - β） 记忆口诀： “余余正正，符号相反” 解释：等号右边是同名三角函数积的组合（余弦乘余弦，正弦乘正弦），但符号与左边角之间的运算符相反：左边是“+”，右边是“-”；左边是“-”，右边是“+” 师生交流 拓展思考互动 同学们，咱们已经学习了两角和与差的余弦公式，接下来大家对以下题目进行抢答： cos75° = cos(45°+30°) = cos45°cos30° ___ sin45°sin30° cos() = cos( - ) = cos cos ___ sin sin cos(α+β)cosβ + sin(α+β)sinβ = cos___ cos(α+β)cos(α-β) - sin(α+β)sin(α-β) = cos___ 答案：-，+， [(α+β)-β] = α， [(α+β)+(α-β)] = cos2α 案例分析  将非特殊角拆分为两个特殊角的和或差 案例1——公式正用（求值） 案例分析  识别公式结构是逆用的关键 2. 化简 cos23°cos37° - sin23°sin37° 【答案】原式 = cos(23°+37°) = cos60° = 案例2——公式逆用（化简） 案例分析 案例3——综合应用（给值求值） 案例分析  需先求出 cosα, sinβ。强调象限对符号的影响。 学以致用 1.1.1 两角和与差的余弦公式 学以致用 学以致用 课堂练习 1.1.1 两角和与差的余弦公式 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 1.1.1 两角和与差的余弦公式 课堂小结 一个核心： 两角和与差的余弦公式 C(α±β) 记忆方法：口诀法（“余余正正，符号相反”） cos（α + β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β） cos（α - β）＝cos αcos β + sin αsin β． （Cα - β） 这节课你学会了什么？ 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ​， 故选：B. 2．已知，，则的值为 . 【答案】 【分析】对已知式子进行平方处理，根据同角三角函数的平方关系与两角差的余弦公式求解即可. 【详解】∵，， ∴①， ②， ①②可得，， 即， ∴. 故答案为：. 【答案】C 【详解】. 故选：C. 1．（　　） A． B．1 C．0 D． 2．化简： ． 【答案】/0.5 【详解】. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 1．已知，，则= . 【答案】 【详解】已知，， 则， ， 两式相加得， . 故答案为：. 2．中，，则 . 【答案】 【详解】中， 因，则B为锐角，. 又，有，则A为锐角，. 则 . 故答案为：. 3．若，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，所以，. 又，所以，所以，因此，。 同理，所以，所以. 因为，又因为，所以. 故选：A. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以. 因为，所以，，因此. 故选：D. 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则， 所以， 所以. 故选：B. 6．在平面直角坐标系中，角，均以坐标原点为顶点，轴的正半轴为始边．若点在角的终边上，点在角的终边上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在角的终边上，则，. 又点在角的终边上，则，. 所以． 故选：B． 7．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 则 . 故选：D． 8．已知，，则的值为 . 【答案】0 【详解】①， ②， 由①+②得：， ， 故答案为：. $