1.1.1 两角和与差的余弦公式（教案）-人教版《数学 拓展模块一》【上好课】

人教版《数学拓展模块一》 第一章三角计算 1.1.1 两角和与差的余弦公式 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节课是三角计算的开篇内容，以“两角和与差的余弦公式”为核心，是后续学习正弦、正切公式及解三角形问题的基础。公式的推导过程融合了单位圆等知识，体现了数形结合的思想，是训练学生逻辑推理和数学运算能力的良好载体。 五、学情分析 学生已学习过任意角的三角函数、诱导公式、单位圆等内容，具备一定的代数推理与几何直观能力。但在公式的记忆与灵活运用上可能较为生疏，尤其是符号规律容易混淆。教学时应强化公式的结构认知与记忆训练，循序渐进地引导应用。 六、教学目标 1. 理解两角和与差的余弦公式的推导过程，掌握公式的结构特征和记忆方法，准确记忆并能正确书写公式。 2. 能运用公式进行三角函数化简，能根据已知条件完成求值计算，培养逻辑推理和数学运算能力 3. 体会数学的严谨性和逻辑美，提升数学抽象与逻辑推理素养，激发探索精神和学习兴趣。 七、教学重点 两角和与差的余弦公式的推导及初步应用。 八、教学难点 两角和与差的余弦公式的符号规律记忆与灵活运用。 九、教学方法 讲授法、探究法、互动问答法、练习法 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 教师活动： 展示PPT中铁塔测量问题：“同学们，AB是一座直立铁塔的高，BC与AB垂直，现测得∠ACB=15°，BC=350m，那么怎样才能求得铁塔的高呢？” 请两名学生模拟甲、乙同学的思路： 甲同学：cos15° = cos(45°－30°) = cos45°－cos30° 乙同学：cos15° = cos(60°－45°) = cos60°－cos45° 教师提问：“大家觉得哪位同学算得对呢？” 学生活动： 多数学生会直觉认为“可能都对”或“都不对”，但无法确定。 教师引导： “我们不妨用特殊角检验一下。” 板书： 设 α=60°，β=30° cos(60°－30°) = cos30° = cos60°－cos30° = － ≠ 教师总结： “可见，cos(α－β) ≠ cosα－cosβ，两位同学的思路都是错误的。那么，cos(α±β) 到底等于什么？今天我们就一起来揭开这个谜底。” 引出两角和与差的余弦公式。 新知讲授 1. 推导公式 C(α+β) 教师活动： PPT展示单位圆图示，引导学生回顾点的坐标表示： “在单位圆中，角α的终边交圆于点P，坐标是什么？” 学生回答：P(cosα, sinα) “角α+β的终边交圆于点Q呢？” 学生回答：Q(cos(α+β), sin(α+β)) “角－β的终边交圆于点B？” 学生回答：B(cos(－β), sin(－β))，即(cosβ, －sinβ) 教师引导： “向量OP与OB的夹角是多少？” 学生思考后回答：α－(－β) = α+β 教师继续： “那么，我们可以用向量数量积的两种表示来建立等式。” 板书： OP·OB = cosα·cosβ + sinα·(－sinβ) OP·OB = |OP|·|OB|·cos(α+β) = 1·1·cos(α+β) 教师提问： “由此我们可以得到什么等式？” 学生齐答：cos(α+β) = cosαcosβ － sinαsinβ 教师强调： “这就是两角和的余弦公式，记作 C(α+β)。注意，这里的α、β可以是任意角。” 2. 推导公式 C(α－β) 教师提问： “那么，cos(α－β) 该怎么求呢？能否用已得到的公式来推导？” 学生思考后回答： “可以把 β 换成 －β。” 教师引导： “非常好！我们一起来写一下。” 板书： cos[α+(－β)] = cosαcos(－β) － sinαsin(－β) 因为 cos(－β)=cosβ，sin(－β)=－sinβ 所以 cos(α－β) = cosαcosβ + sinαsinβ 教师总结： “这就是两角差的余弦公式，记作 C(α－β)。我们把它和 C(α+β) 放在一起。” 板书展示： C(α+β)：cos(α+β) = cosαcosβ － sinαsinβ C(α－β)：cos(α－β) = cosαcosβ + sinαsinβ 教师提问： “观察这两个公式，右边有什么共同点？符号有什么规律？” 学生回答： “都是‘余弦乘余弦，正弦乘正弦’，但符号一个是减号，一个是加号。” 教师提炼口诀： “我们可以这样记：‘余余正正，符号相反’。意思是：右边是同名函数相乘，但符号与左边角之间的符号相反。左边是‘+’，右边就是‘－’；左边是‘－’，右边就是‘+’。” 3.互动抢答： 教师活动： PPT展示4道填空题，组织学生抢答。 cos75° = cos(45°+30°) = cos45°cos30° ___ sin45°sin30° cos(π/12) = cos(π/4－π/6) = cosπ/4 cosπ/6 ___ sinπ/4 sinπ/6 cos(α+β)cosβ + sin(α+β)sinβ = cos___ cos(α+β)cos(α－β) － sin(α+β)sin(α－β) = cos___ 学生活动： 学生举手或按组抢答。教师点名回答，并追问理由。 教师反馈： “第1题填‘－’，因为公式 C(α+β) 是减号。 第2题填‘+’，因为公式 C(α－β) 是加号。 第3题填‘α’，因为这是公式 C(α－β) 的逆用。 第4题填‘cos2α’，因为这是公式 C[(α+β)+(α－β)] 的应用。” 案例分析 教师活动： 出示例题：“不查表，求 cos15° 的值。” 教师引导： “15°可以写成哪两个特殊角的差？” 学生回答：45°－30° 或 60°－45° 教师板书： cos15° = cos(45°－30°) = cos45°cos30° + sin45°sin30° = ×+ × = 教师强调： “关键步骤是正确选择公式并代入特殊角的三角函数值。计算过程中注意保留根号形式，最后合并。” 通过案例来帮助学生更好地理解两角和与差的余弦公式。 学以致用 1．（　　） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】 故选：C. 2．化简： ． 【答案】/0.5 【分析】根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对两角和与差的余弦公式的记忆和运用。 课堂练习 1．已知，，则= . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系以及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】已知，， 则， ， 两式相加得 ， . 故答案为：. 2．中，，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数各个象限的符号以及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】中， 因，则B为锐角，. 又，有，则A为锐角，. 则 . 故答案为：. 3．若，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据三角函数值的符号判断其所在象限，再根据同角三角函数的关系以及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以，. 又，所以，所以，因此，。 同理，所以，所以. 因为 ，又因为，所以. 故选：A. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和与差的余弦公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】， ， 所以 . 因为，所以，，因此. 故选：D. 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系式和两角和与差的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以，则， 所以， 所以. 故选：B. 6．在平面直角坐标系中，角，均以坐标原点为顶点，轴的正半轴为始边．若点在角的终边上，点在角的终边上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义以及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由点在角的终边上，则，. 又点在角的终边上，则，. 所以． 故选：B． 7．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的平方关系和两角和的余弦公式即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则 . 故选：D． 8．已知，，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据两角和与差的余弦公式易得答案. 【详解】①， ②， 由①+②得：， ， 故答案为：. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 核心： 两角和与差的余弦公式 C(α±β) 方法：记忆方法：口诀法（“余余正正，符号相反”） 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 cos（α + β）＝cos αcos β－sin αsin β． cos（α - β）＝cos αcos β + sin αsin β． 口诀：余余正正，符号相反 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 本节课以问题导入激发认知冲突，通过几何直观推导公式，结合口诀强化记忆，互动环节活跃了课堂气氛。多数学生能理解公式来源并初步应用，但在符号选择和公式逆用上仍需加强。后续应设计更多变式练习，帮助学生从“记忆”走向“活用”，提升数学运算与逻辑推理的熟练度与准确度 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $