专题05 直线的斜截式方程-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题05 直线的斜截式方程 一、知识梳理 （1）直线的斜截式方程 若直线的斜率为，与轴的交点是，将定点代入直线的点斜式方程，可得 . 化简得： 该方程称为直线的斜截式方程，其中称为直线在轴上的截距，也可以称为直线的纵截距. 同理，直线与轴交点的横坐标，称为直线的横截距. 注意：斜截式方程的使用前提是直线的斜率存在，且直线与轴有交点；若直线斜率不存在（垂直于轴），无法用斜截式表示. （2）斜截式与点斜式的关系 1.斜截式是点斜式的特例：当点斜式中的定点为轴上的点时，点斜式可化简为斜截式； 2.点斜式可转化为斜截式：将点斜式展开整理，即，令，即可化为斜截式形式. （3）斜截式方程中参数的几何意义 1.斜率：决定直线的倾斜程度，时直线倾斜角为锐角，时倾斜角为钝角，时直线与轴平行（或重合）； 2.纵截距：直线与轴交点的纵坐标，交点坐标为；当时，直线过原点，斜截式方程为. （4）特殊直线的斜截式方程 1.与轴平行（或重合）的直线：斜率，方程为（为纵截距）；当时，为轴所在直线，方程为； 2.过原点的直线（非垂直于轴）：纵截距，方程为； 3.与轴平行（或重合）的直线：斜率不存在，无斜截式方程，方程为（为常数）. 二、题型精练 题型1 已知斜率和纵截距，求直线的斜截式方程 【典例1】．已知直线的斜率，纵截距，则该直线的斜截式方程为（　） A． B． C． D． 【典例2】．已知直线的斜率，且与轴交于点，则其斜截式方程为______. 题型2 直线的点斜式转化为斜截式方程 【典例1】．将直线的点斜式方程转化为斜截式方程为（　） A． B． C． D． 【典例2】．将直线的点斜式方程转化为斜截式方程为______. 题型3 已知直线上两点，求直线的斜截式方程 【典例1】．已知直线经过点和，则该直线的斜截式方程为（　） A． B． C． D． 【典例2】．已知直线经过点和，则其斜截式方程为______. 题型4 由斜截式方程求斜率、纵截距及相关点坐标 【典例1】．直线的斜截式方程为，则该直线的斜率和纵截距分别为（　） A．，4 B．，4 C．，-4 D．，-4 【典例2】．已知直线的斜截式方程为，则该直线的斜率为______，纵截距为______，直线经过的定点为______. 题型5 斜截式方程的综合应用（判断点是否在直线上） 【典例1】．已知直线的斜截式方程为，判断点和是否在该直线上. 题型6 利用斜截式解决直线平行问题 【典例1】．已知直线：，直线与平行，且纵截距，则直线的斜截式方程为（　） A． B． C． D． 三、知识检测 1．直线的斜截式方程的使用前提是（ ） A．直线的斜率存在 B．直线的斜率不存在 C．直线过原点 D．直线与轴相交 2．已知直线的斜率，纵截距，则其斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 3．直线的斜率和纵截距分别为（ ） A．，7 B．，-7 C．，7 D．，-7 4．已知直线与轴交于点，且斜率，则其斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 5．将点斜式方程转化为斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 6．下列直线中，有斜截式方程的是（ ） A．垂直于轴的直线 B．垂直于轴的直线 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且垂直于轴的直线 7．已知直线经过点和，则其斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 8．直线的纵截距为（ ） A．5 B．0 C． D．不存在 9．已知直线：，直线与平行，且过点，则的方程为（ ） A． B． C． D． 10．将点斜式方程转化为斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 11．已知直线的斜截式方程为，则该直线与轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 12．已知直线经过点和，则其斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 13．下列直线中，过原点的是（ ） A． B． C． D． 14．已知直线经过点，则斜率的值为（ ） A．2 B．-2 C．10 D．-10 15．直线的斜率和纵截距分别为（ ） A．3，0 B．0，3 C．不存在，3 D．3，不存在 16．已知直线的斜截式方程为，则该直线的斜率为______. 17．直线经过点，且斜率，则其斜截式方程为______. 18．将点斜式方程转化为斜截式方程为______. 19．已知直线经过点，则纵截距______. 20．直线与直线平行，且与轴交于点，则直线的斜截式方程为______. 21．已知直线经过点和，则其斜截式方程为______. 22．判断点是否在直线上，结果为______（填“在”或“不在”）. 23．已知直线的斜截式方程为，则该直线经过的定点为______，倾斜角为______（填“锐角”“钝角”或“直角”）. 24．已知直线：，若直线经过点，求： （1）斜率的值；（2）直线与轴的交点坐标. 25．已知直线经过点，且与直线平行，求该直线的斜截式方程，并判断点是否在该直线上. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线的斜截式方程 一、知识梳理 （1）直线的斜截式方程 若直线的斜率为，与轴的交点是，将定点代入直线的点斜式方程，可得 . 化简得： 该方程称为直线的斜截式方程，其中称为直线在轴上的截距，也可以称为直线的纵截距. 同理，直线与轴交点的横坐标，称为直线的横截距. 注意：斜截式方程的使用前提是直线的斜率存在，且直线与轴有交点；若直线斜率不存在（垂直于轴），无法用斜截式表示. （2）斜截式与点斜式的关系 1.斜截式是点斜式的特例：当点斜式中的定点为轴上的点时，点斜式可化简为斜截式； 2.点斜式可转化为斜截式：将点斜式展开整理，即，令，即可化为斜截式形式. （3）斜截式方程中参数的几何意义 1.斜率：决定直线的倾斜程度，时直线倾斜角为锐角，时倾斜角为钝角，时直线与轴平行（或重合）； 2.纵截距：直线与轴交点的纵坐标，交点坐标为；当时，直线过原点，斜截式方程为. （4）特殊直线的斜截式方程 1.与轴平行（或重合）的直线：斜率，方程为（为纵截距）；当时，为轴所在直线，方程为； 2.过原点的直线（非垂直于轴）：纵截距，方程为； 3.与轴平行（或重合）的直线：斜率不存在，无斜截式方程，方程为（为常数）. 二、题型精练 题型1 已知斜率和纵截距，求直线的斜截式方程 【典例1】．已知直线的斜率，纵截距，则该直线的斜截式方程为（　） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查斜截式方程的直接应用，直接将斜率和纵截距代入斜截式公式即可. 详解：由斜截式公式，，，代入得. 故选：B. 【典例2】．已知直线的斜率，且与轴交于点，则其斜截式方程为______. 答案： 分析：直线与轴交点的纵坐标即为纵截距，再代入斜截式公式即可. 详解：由题意得纵截距，斜率，代入斜截式得. 故此题填. 题型2 直线的点斜式转化为斜截式方程 【典例1】．将直线的点斜式方程转化为斜截式方程为（　） A． B． C． D． 答案：A 分析：将点斜式方程展开，合并常数项，整理为的形式即可. 详解：展开点斜式得，移项整理得. 故选A. 【典例2】．将直线的点斜式方程转化为斜截式方程为______. 答案： 分析：先去括号展开点斜式，再通过移项将方程整理为斜截式的标准形式. 详解：展开得，移项整理得. 故此题填. 题型3 已知直线上两点，求直线的斜截式方程 【典例1】．已知直线经过点和，则该直线的斜截式方程为（　） A． B． C． D． 答案：A 分析：先根据两点斜率公式求斜率，点在轴上，其纵坐标即为纵截距，再代入斜截式公式. 详解：斜率，点为直线与轴交点，纵截距，故斜截式方程为. 故选A. 【典例2】．已知直线经过点和，则其斜截式方程为______. 答案： 分析：先求直线斜率，再任选一点代入点斜式，最后转化为斜截式；或先求斜率，再设斜截式代入点的坐标求. 详解：方法一：斜率，取点，点斜式为，整理得； 方法二：设斜截式为，代入得，解得，故方程为. 故此题填. 题型4 由斜截式方程求斜率、纵截距及相关点坐标 【典例1】．直线的斜截式方程为，则该直线的斜率和纵截距分别为（　） A．，4 B．，4 C．，-4 D．，-4 答案：B 分析：直接根据斜截式标准形式，对应得出斜率和纵截距. 详解：在中，，，即斜率为，纵截距为4. 故选B. 【典例2】．已知直线的斜截式方程为，则该直线的斜率为______，纵截距为______，直线经过的定点为______. 答案：5；0； 分析：斜截式可化为，故，；纵截距为0时，直线与轴交于原点. 故此题依次填5；0；. 题型5 斜截式方程的综合应用（判断点是否在直线上） 【典例1】．已知直线的斜截式方程为，判断点和是否在该直线上. 答案：点在直线上，点不在直线上 分析：将点的横坐标代入斜截式方程，计算出对应的纵坐标，若与点的实际纵坐标相等，则点在直线上；否则不在. 详解：将的横坐标代入方程：，与实际纵坐标相等，故在直线上； 将的横坐标代入方程：，故不在直线上. 题型6 利用斜截式解决直线平行问题 【典例1】．已知直线：，直线与平行，且纵截距，则直线的斜截式方程为（　） A． B． C． D． 答案：A 分析：两直线平行，斜率相等，再结合已知纵截距，代入斜截式公式即可. 详解：直线与平行，故的斜率，又纵截距，因此的斜截式方程为. 故选A. 三、知识检测 1．直线的斜截式方程的使用前提是（ ） A．直线的斜率存在 B．直线的斜率不存在 C．直线过原点 D．直线与轴相交 答案：A 分析：考查斜截式方程的适用条件. 详解：斜截式由点斜式推导而来，要求直线斜率存在（）. 正确选项是A. 2．已知直线的斜率，纵截距，则其斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：C 分析：直接代入斜截式公式. 详解：，，代入得. 正确选项是C. 3．直线的斜率和纵截距分别为（ ） A．，7 B．，-7 C．，7 D．，-7 答案：B 分析：根据斜截式标准形式对应斜率和纵截距. 详解：中，，. 正确选项是B. 4．已知直线与轴交于点，且斜率，则其斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：直线与轴交点的纵坐标为纵截距，再代入斜截式公式. 详解：纵截距，，故方程为. 正确选项是B. 5．将点斜式方程转化为斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：展开点斜式，整理为的形式. 详解：展开得，移项得. 正确选项是A. 6．下列直线中，有斜截式方程的是（ ） A．垂直于轴的直线 B．垂直于轴的直线 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且垂直于轴的直线 答案：B 分析：有斜截式方程的前提是斜率存在，判断各选项直线斜率是否存在. 详解：垂直于轴的直线斜率不存在，无斜截式；垂直于轴的直线斜率，斜率存在，有斜截式. 正确选项是B. 7．已知直线经过点和，则其斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：先求斜率，点在轴上，纵坐标为纵截距，再代入斜截式. 详解：斜率，纵截距，故方程为. 正确选项是A. 8．直线的纵截距为（ ） A．5 B．0 C． D．不存在 答案：B 分析：将化为标准斜截式，对应纵截距. 详解：，故纵截距. 正确选项是B. 9．已知直线：，直线与平行，且过点，则的方程为（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：两直线平行斜率相等，点为与轴交点，纵坐标为纵截距. 详解：的斜率，纵截距，故方程为. 正确选项是B. 10．将点斜式方程转化为斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：展开并整理点斜式为斜截式标准形式. 详解：展开得，移项得. 正确选项是A. 11．已知直线的斜截式方程为，则该直线与轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：C 分析：斜截式中纵截距为直线与轴交点的纵坐标，交点横坐标为0. 详解：纵截距，故与轴交点为. 正确选项是C. 12．已知直线经过点和，则其斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：先求斜率，再设斜截式代入点的坐标求. 详解：斜率，设方程为，代入得，解得，故方程为. 正确选项是A. 13．下列直线中，过原点的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：过原点的直线纵截距，斜截式为. 详解：只有的纵截距，过原点. 正确选项是B. 14．已知直线经过点，则斜率的值为（ ） A．2 B．-2 C．10 D．-10 答案：A 分析：将点的坐标代入斜截式方程，解方程求. 详解：代入得，解得. 正确选项是A. 15．直线的斜率和纵截距分别为（ ） A．3，0 B．0，3 C．不存在，3 D．3，不存在 答案：B 分析：直线是与轴平行的直线，斜率，可化为. 详解：，故，. 正确选项是B. 16．已知直线的斜截式方程为，则该直线的斜率为______. 答案： 分析：直接根据斜截式标准形式对应斜率. 故答案为. 17．直线经过点，且斜率，则其斜截式方程为______. 答案： 分析：过原点的直线纵截距，代入斜截式公式即可. 详解：，，故方程为. 故答案为. 18．将点斜式方程转化为斜截式方程为______. 答案： 分析：展开点斜式，合并常数项整理为斜截式. 详解：展开得，移项得. 故答案为. 19．已知直线经过点，则纵截距______. 答案：2 分析：将点的坐标代入斜截式方程，解方程求. 详解：代入得，解得. 故答案为2. 20．直线与直线平行，且与轴交于点，则直线的斜截式方程为______. 答案： 分析：两直线平行斜率相等，结合纵截距代入斜截式公式. 详解：直线的斜率，纵截距，故方程为. 故答案为. 21．已知直线经过点和，则其斜截式方程为______. 答案： 分析：点在轴上，纵坐标为纵截距，先求斜率再代入斜截式. 详解：斜率，纵截距，故方程为. 故答案为. 22．判断点是否在直线上，结果为______（填“在”或“不在”）. 答案：在 分析：将横坐标代入直线方程，计算纵坐标与点的实际纵坐标比较. 详解：时，，与的纵坐标相等，故点在直线上. 故答案为在. 23．已知直线的斜截式方程为，则该直线经过的定点为______，倾斜角为______（填“锐角”“钝角”或“直角”）. 答案：；钝角 分析：纵截距为0，直线过原点；斜率，倾斜角为钝角. 故答案依次为；钝角. 24．已知直线：，若直线经过点，求： （1）斜率的值；（2）直线与轴的交点坐标. 答案：（1）；（2） 分析：（1）将点的坐标代入方程求；（2）斜截式中，与轴交点为. 详解：（1）代入得，解得；（2）纵截距，故与轴交点为. 25．已知直线经过点，且与直线平行，求该直线的斜截式方程，并判断点是否在该直线上. 答案：斜截式方程为；点在该直线上 分析：先根据平行求斜率，再设斜截式代入点求；将点的横坐标代入方程验证. 详解：两直线平行，斜率，设斜截式为，代入得，解得，故方程为； 将代入方程得，与点的纵坐标相等，故点在该直线上. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $