专题03 直线的倾斜角及斜率-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题03 直线的倾斜角及斜率 一、知识梳理 （1）直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，我们把直线向上的方向与轴正方向所夹的最小正角叫作直线的倾斜角，通常用表示. 特别地：若直线与x轴平行或重合，规定其倾斜角为. 倾斜角的取值范围：（弧度制为）. （2）直线的斜率 倾斜角的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作，即： 特别地：当（直线垂直于x轴）时，无意义，直线的斜率不存在. （3）直线的斜率公式 若直线经过两个不同的点、，则直线的斜率公式为： 注： 1. 若，则直线垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在； 2. 斜率公式与两点的先后顺序无关，即. （4） 特殊直线的倾斜角与斜率 直线位置特征 倾斜角 斜率 与x轴平行/重合 0 与x轴正方向成锐角 正数（） 垂直于x轴（与y轴平行/重合） 不存在 与x轴正方向成钝角 负数（） 二、题型精练 题型1 求直线的倾斜角 【典例1】．下图中，能表示直线的倾斜角大小的是 （　）    A．① B．①② C．①③ D．②④ 【典例2】．直线的倾斜角为 ． 题型2 已知倾斜角求直线的斜率 【典例1】．已知直线的倾斜角分别为下列角度，求对应的斜率： （1）；（2）；（3） 【典例2】．若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______，直线与______轴平行或重合. 题型3 利用两点坐标求直线的斜率 【典例1】．已知直线经过点和，则该直线的斜率为（ ） A．2 B． C．-2 D． 【典例2】．已知直线经过点M（−3，5）和N（2，−1），则该直线的斜率为______，倾斜角为______（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【典例3】．若直线经过点和，则该直线的斜率（ ） A．0 B． C．不存在 D．1 题型4 倾斜角与斜率的综合应用 【典例1】．若直线的斜率k>0，则该直线的倾斜角α的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例2】．已知直线经过点和，且直线的斜率为2，求实数的值. 三、知识检测 1．直线倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．下列直线中，斜率为0的是（ ） A．垂直于x轴的直线 B．垂直于y轴的直线 C．与x轴成的直线 D．与y轴成的直线 3．已知直线的倾斜角为，则其斜率为（ ） A． B． C． D． 4．直线经过点和，则该直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 5．若直线的斜率不存在，则该直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 6．已知直线经过点和，则其斜率为（ ） A．2 B．-2 C． D． 7．若直线的斜率，则其倾斜角为（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 8．直线经过点和，则该直线的特征为（ ） A．与x轴平行 B．与y轴平行 C．斜率为1 D．倾斜角为 9．已知直线的倾斜角为，则其斜率为（ ） A． B． C． D． 10．若直线经过点和，且斜率为1，则的值为（ ） A． B． C． D． 11．已知直线的斜率为，则其倾斜角为（ ） A． B． C． D． 12．与x轴重合的直线，其倾斜角为______，斜率为______. 13．已知直线的斜率为1，则其倾斜角为______. 14．直线经过点和，则该直线的斜率为______. 15．已知直线经过点和，斜率为2，则______. 16．求下列直线的斜率以及（1）（2）倾斜角： （1）经过点和；（2）经过点和； （3）经过点和. 17．已知直线经过点和，且斜率为，求实数的值. 18．已知三点、、在同一条直线上，求实数的值. 19．若直线的倾斜角从变为，求该直线斜率的变化. 20．已知直线经过点，且斜率为，求直线上另一个满足横坐标为3的点Q的坐标. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线的倾斜角及斜率 一、知识梳理 （1）直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，我们把直线向上的方向与轴正方向所夹的最小正角叫作直线的倾斜角，通常用表示. 特别地：若直线与x轴平行或重合，规定其倾斜角为. 倾斜角的取值范围：（弧度制为）. （2）直线的斜率 倾斜角的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作，即： 特别地：当（直线垂直于x轴）时，无意义，直线的斜率不存在. （3）直线的斜率公式 若直线经过两个不同的点、，则直线的斜率公式为： 注： 1. 若，则直线垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在； 2. 斜率公式与两点的先后顺序无关，即. （4） 特殊直线的倾斜角与斜率 直线位置特征 倾斜角 斜率 与x轴平行/重合 0 与x轴正方向成锐角 正数（） 垂直于x轴（与y轴平行/重合） 不存在 与x轴正方向成钝角 负数（） 二、题型精练 题型1 求直线的倾斜角 【典例1】．下图中，能表示直线的倾斜角大小的是 （　）    A．① B．①② C．①③ D．②④ 答案：C 分析：本题考查直线的倾斜角概念，根据倾斜角的定义进行判断即可. 详解：倾斜角为直线与x轴正方向的夹角，①符合倾斜角定义，③中的对顶角大小与倾斜角大小相等，也符合题意，而②④不满足倾斜角的定义，故错误. 故选：C． 【典例2】．直线的倾斜角为 ． 答案： 分析：本题考查直线的倾斜角，根据直线倾斜角的定义求解即可. 详解：因为直线x=1与x轴垂直，所以其倾斜角为． 故此题填. 题型2 已知倾斜角求直线的斜率 【典例1】．已知直线的倾斜角分别为下列角度，求对应的斜率： （1）；（2）；（3） 答案：（1）；（2）；（3）不存在 分析：本题考查斜率定义式应用，直接代入斜率定义式计算. 详解： （1）； （2）； （3），斜率不存在. 【典例2】．若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______，直线与______轴平行或重合. 答案：0；x 分析：本题考查特殊倾斜角的斜率特征，直接根据定义和特殊直线的性质求解. 详解： 由，结合特殊直线的特征，斜率为0的直线与x轴平行或重合. 故此题填. 题型3 利用两点坐标求直线的斜率 【典例1】．已知直线经过点和，则该直线的斜率为（ ） A．2 B． C．-2 D． 答案：A 分析：本题考查两点斜率公式的直接应用，将两点坐标代入公式计算即可. 详解：由两点斜率公式得，， 故选A. 【典例2】．已知直线经过点M（−3，5）和N（2，−1），则该直线的斜率为______，倾斜角为______（填“锐角”“直角”或“钝角”） 答案：；钝角 分析：先代入斜率公式计算斜率，再根据斜率的正负判断倾斜角的类型. 详解：斜率，因为，所以倾斜角为钝角. 故此题填；钝角 【典例3】．若直线经过点和，则该直线的斜率（ ） A．0 B． C．不存在 D．1 答案：C 分析：判断两点横坐标是否相等，若相等则直线垂直于x轴，斜率不存在.. 详解：点和的横坐标均为5，即，根据斜率公式的注意事项，该直线斜率不存在. 故选C. 题型4 倾斜角与斜率的综合应用 【典例1】．若直线的斜率k>0，则该直线的倾斜角α的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据特殊直线的倾斜角与斜率的关系，斜率为正对应倾斜角为锐角. 详解： 当时，，结合倾斜角的取值范围，可得. 故选A. 【典例2】．已知直线经过点和，且直线的斜率为2，求实数的值. 答案：3 分析：根据两点斜率公式列出关于的方程，解方程即可求出. 详解： 由两点斜率公式得，，即， 两边同乘得，，解得. 三、知识检测 1．直线倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查倾斜角的取值范围. 详解： 倾斜角的取值范围：（弧度制为）. 因此正确选项是B. 2．下列直线中，斜率为0的是（ ） A．垂直于x轴的直线 B．垂直于y轴的直线 C．与x轴成的直线 D．与y轴成的直线 答案：B 分析：本题考查特殊直线的倾斜角与斜率. 详解：斜率为0的直线与x轴平行或重合，即垂直于y轴 因此正确选项是B. 3．已知直线的倾斜角为，则其斜率为（ ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查直线斜率. 详解： 正确选项是C. 4．直线经过点和，则该直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查特殊角的斜率，两点纵坐标相等，故直线AB与x轴平行. 详解：两点纵坐标相等，直线与x轴平行，倾斜角为，斜率. 正确选项是A. 5．若直线的斜率不存在，则该直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查直线斜率与倾斜角的关系. 详解： 斜率不存在的直线垂直于x轴，倾斜角为. 正确选项是C. 6．已知直线经过点和，则其斜率为（ ） A．2 B．-2 C． D． 答案：A 分析：本题考查直线斜率公式. 详解：将和代入公式 故本题选A. 7．若直线的斜率，则其倾斜角为（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 答案：C 分析：本题考查特殊直线的倾斜角与斜率，斜率为负，倾斜角小于0. 详解：斜率为负时，，结合倾斜角范围，为钝角. 正确选项是C. 8．直线经过点和，则该直线的特征为（ ） A．与x轴平行 B．与y轴平行 C．斜率为1 D．倾斜角为 答案：B 分析：本题考查两点坐标与直线位置关系、斜率存在性判断，通过两点横纵坐标的关系判断直线特征——若两点横坐标相等，直线垂直于x轴（斜率不存在），平行于y轴；若纵坐标相等，直线平行于x轴（斜率为0）. 详解：已知点M(5,7)和N(5,-3)，两点横坐标相等，所以直线垂直于x轴，与y轴平行. 正确选项是B. 9．已知直线的倾斜角为，则其斜率为（ ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查直线斜率的概念，. 详解：. 正确选项是D. 10．若直线经过点和，且斜率为1，则的值为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查本题考查直线斜率公式,将两点和和斜率k=1代入公式，列方程求解. 详解：将两点和和斜率k=1代入公式，,解得. 正确选项是A. 11．已知直线的斜率为，则其倾斜角为（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查直线斜率与倾斜角的关系以及直线倾斜角的取值范围. 详解：，且，，故倾斜角为60°， 正确选项是B. 12．与x轴重合的直线，其倾斜角为______，斜率为______. 答案：；0 分析：本题考查特殊直线的倾斜角和斜率特征. 详解：与x轴重合的直线平行于x轴，倾斜角为0°，斜率k=tan0°=0. 故答案为；0. 13．已知直线的斜率为1，则其倾斜角为______. 答案： 分析：本题考查斜率与倾斜角的逆用，由k=tanα=1，结合α的范围，找到对应的锐角. 详解：因且0°≤<180°，tan45°=1，故倾斜角为. 故答案为. 14．直线经过点和，则该直线的斜率为______. 答案：3 分析：本题考查直线斜率公式，将A、B两点代入公式，计算时注意正负号的处理. 详解：将和代入. 故答案为： 15．已知直线经过点和，斜率为2，则______. 答案： 分析：本题考查直线斜率公式，代入两点P(1,m)、Q(2,4)和斜率k=2，列方程求m. 详解：由，解得． 故答案为： 16．求下列直线的斜率以及问题（1）（2）倾斜角： （1）经过点和；（2）经过点和； （3）经过点和. 答案：（1）斜率，倾斜角；（2）斜率不存在，倾斜角； （3）斜率. 分析：本题考查不同类型直线的斜率与倾斜角计算. 详解：（1）点和：纵坐标相等，，倾斜角； （2） 点和：横坐标相等，斜率不存在，倾斜角； （3） 将点和代入直线斜率公式 17．已知直线经过点和，且斜率为，求实数的值. 答案：7 分析：本题考查直线斜率公式，将和,代入公式求解. 详解：由两点斜率公式得 ， 即 ， 解得 故答案为： 18．已知三点、、在同一条直线上，求实数的值. 答案：6 分析：本题考查三点共线的条件（任意两点斜率相等）因A、B、C共线，故 ，先求，再列方程求. 详解：因为A、B、C共线，所以， ，， 则 ， 解得 19．若直线的倾斜角从变为，求该直线斜率的变化. 答案：从变为 分析：本题考查倾斜角与斜率的对应关系、正切函数值计算 . 详解：时，； 时，，故斜率从变为. 20．已知直线经过点，且斜率为，求直线上另一个满足横坐标为3的点Q的坐标. 答案： 分析：本题考查直线斜率公式，设Q(3,y)，代入P(-2,4)和斜率k=-1，列方程求 y. 详解：设，由斜率公式得 ， 即 ， 解得 ， 故. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $